Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 1
Diketahui suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}+x-2$ bersisa $ax+b$ dan dibagi ${{x}^{2}}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$. Jika $f(-2)=7$, maka ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ = …
A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 E. 5
Pembahasan:
Yang dibagi = Pembagi x Hasil bagi + Sisa
Suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}+x-2$ bersisa $ax+b$, maka:
$f(x)$ = (${{x}^{2}}+x-2$)Hasil + $ax+b$
$f(x)$ = $(x+2)(x-1)$Hasil + $ax+b$
$f(-2)$ = $(-2+2)(-2-1)$Hasil + $-2a+b$
$f(-2)$ = $-2a+b=7$ … persamaan (1)
$f(1)$ = $(1+2)(1-1)$Hasil + $a+b$
$f(1)$ = $a+b$ … persamaan (2)
Suku banyak $f(x)$ dibagi ${{x}^{2}}-4x+3$ bersisa $2bx+a-1$, maka:
$f(x)$ = (${{x}^{2}}-4x+3$)Hasil + $2bx+a-1$
$f(x)$ = $(x-1)(x-3)$Hasil + $2bx+a-1$
$f(1)$ = $(1-1)(1-3)$Hasil + $2b+a-1$
$f(1)$ = $2b+a-1$ substitusi ke persamaan (2), maka:
$2b+a-1=a+b$
$b=1$
Substitusi ke persamaan (1), maka:
$-2a+b=7\Leftrightarrow -2a+1=7\Leftrightarrow a=-3$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{(-3)}^{2}}+{{1}^{2}}=10$
Kunci: B
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 2
Himpunan penyelesaian $16-{{x}^{2}}\le |x+4|$ yaitu …
A. {$x\in R:-4\le x\le 4$}
B. {$x\in R:-4\le x\le 3$}
C. {$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 4$}
D. {$x\in R:0\le x\le 3$}
E. {$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 3$}
Pembahasan:
(i) Untuk $x\ge -4$ maka:
$16-{{x}^{2}}\le |x+4|$
$16-{{x}^{2}}\le x+4$
$12-{{x}^{2}}-x\le 0$
${{x}^{2}}+x-12\ge 0$
$(x+4)(x-3)\ge 0$
$x\le -4$ atau $x\ge 3$
yang memenuhi syarat $x\ge -4$ yaitu $x\ge 3$.
(ii) Untuk $x\le 4$, maka:
$16-{{x}^{2}}\le |x+4|$
$16-{{x}^{2}}\le -(x+4)$
$20-{{x}^{2}}+x\le 0$
${{x}^{2}}-x-20\ge 0$
$(x-5)(x+4)\ge 0$
$x\le -4$ atau $x\ge 5$
yang memenuhi syarat $x\le 4$ yaitu $x\le -4$
Dari i) dan (ii) diperoleh:
{$x\in R:x\le -4$ atau $x\ge 3$}
Kunci: E
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 3
Jika ${{x}_{1}}$ atau ${{x}_{2}}$ memenuhi persamaan $2{{\sin }^{2}}x-\cos x=1$, $0\le x\le \pi $, nilai ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ yaitu …
A. $\frac{\pi }{3}$ B. $\frac{2\pi }{3}$ C. $\pi $ D. $\frac{4}{3}\pi $ E. $2\pi $
Pembahasan:
$2{{\sin }^{2}}x-\cos x=1$
$2(1-{{\cos }^{2}}x)-\cos x=1$
$2{{\cos }^{2}}x+\cos x-1=0$
$(2\cos x-1)(\cos x+1)=0$
$\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{1}}={{60}^{o}}$ atau
$\cos x=-1\Leftrightarrow {{x}_{2}}={{180}^{o}}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{60}^{o}}+{{180}^{o}}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{240}^{o}}=\frac{{{240}^{o}}}{{{180}^{o}}}\pi =\frac{4}{3}\pi $
Kunci: D
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 4
Jika $\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{b{{x}^{3}}+27}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$, nilai $a+b$ untuk $a$ dan $b$ bilangan bundar positif yaitu …
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{ax}+\frac{1}{3}}{b{{x}^{3}}+27}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$
$\underset{x\to -3}{\mathop{\lim }}\,\frac{3+ax}{3ax(b{{x}^{3}}+27)}=-\frac{1}{{{3}^{5}}}$
Untuk $x=-3$ maka:
$3+ax=0\Leftrightarrow 3-3a=0\Leftrightarrow a=1$
Untuk $x=-3$ maka:
$b{{x}^{3}}+27=0\Leftrightarrow b.{{(-3)}^{3}}+27=0\Leftrightarrow b=1$
$a+b=1+1=2$
Kunci: E
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 5
Jika $f(x)$ fungsi kontinu di interval $[1,30]$ dan $\int\limits_{6}^{30}{f(x)dx}=30$, maka $\int\limits_{1}^{9}{f(3y+3)dy}$ = …
A. 5 B. 10 C. 15 D. 18 E. 27
Pembahasan:
Misal:
$\int\limits_{y=1}^{y=9}{f(3y+3)dy}$
$x=3y+3$ maka $\frac{dx}{dy}=3\Leftrightarrow dy=\frac{1}{3}dx$
$y=1\Rightarrow x=6$
$y=9\Rightarrow x=30$
$\int\limits_{1}^{9}{f(3y+3)dy}=\int\limits_{6}^{30}{f(x).\frac{1}{3}dx}$
$=\frac{1}{3}\int\limits_{6}^{30}{f(x)dx}$
$=\frac{1}{3}.30=10$
Kunci: B
Pada balok ABCD.EFGH, dengan AB = 6, BC = 3, dan CG = 2, titik M, N, dan O masing-masing terletak pada rusuk EH, FG, dan AD. Jika 3EM = EH, FN = 2NG, 3DO = 2DA, dan $\alpha$ yaitu bidang irisan balok yang melalui M, N, dan O, perbandingan luas bidang $\alpha$ dengan luas permukaan balok yaitu …
A. $\frac{\sqrt{35}}{36}$ B. $\frac{\sqrt{37}}{36}$ C. $\frac{\sqrt{38}}{36}$ D. $\frac{\sqrt{39}}{36}$ E. $\frac{\sqrt{41}}{36}$
Pembahasan:
Berdasarkan info soal, maka sanggup dibentuk gambar sebagai berikut:
Bidang $\alpha$ yaitu bidang MNN’O (berupa persegipanjang)
Perhatikan segitiga MM’N siku-siku di titik M, dengan MM’ = 6 cm, M’N = 1 cm, maka:
$MN=\sqrt{{{6}^{2}}+{{1}^{1}}}=\sqrt{37}$
Luas bidang $\alpha$ adalah:
$=N'N\times MN$
$=2\sqrt{37}$
Luas permukaan balok adalah:
$=2(p.l+p.t+l.t)$
$=2(6.3+6.2+3.2)=72$
$\frac{\alpha }{L.balok}=\frac{2\sqrt{37}}{72}=\frac{\sqrt{37}}{36}$
Kunci: B
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 7
Diberikan kubus ABCD.EFGH. Sebuah titik P terletak pada rusuk CG sehingga CP : PG = 5 : 2. Jika $\alpha $ yaitu sudut terbesar antara rusuk CG dan bidang PBD, maka $\sin \alpha $ = …
A. $-\frac{7\sqrt{11}}{33}$ B. $-\frac{7\sqrt{11}}{44}$ C. $\frac{7\sqrt{11}}{33}$ D. $\frac{7\sqrt{11}}{44}$ E. $\frac{7\sqrt{11}}{55}$
Pembahasan:
Karena CP : PG = 5 : 2 untuk mempermudah perhitungan misalkan panjang rusuk kubus 14 cm, maka CP = 10 cm dan PG = 4 cm. Perhatikan gambar berikut ini!
Sudut terbesar antara rusuk CG dan bidang PBD yaitu $\alpha $, dengan $\alpha ={{180}^{o}}-\angle CPQ$
$CQ=7\sqrt{2}$, CP = 10, maka:
$PQ=\sqrt{C{{Q}^{2}}+C{{P}^{2}}}$
$PQ=\sqrt{{{(7\sqrt{2})}^{2}}+{{10}^{2}}}$
$PQ=3\sqrt{22}$
$\sin \alpha =\sin ({{180}^{o}}-\angle CPQ)$
$\sin \alpha =\sin \angle CPQ$
$\sin \alpha =\frac{CQ}{PQ}$
$\sin \alpha =\frac{7\sqrt{2}}{3\sqrt{22}}$
$\sin \alpha =\frac{7}{3\sqrt{11}}\times \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=\frac{7\sqrt{11}}{33}$
Kunci: C
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 8
Jika ${{3}^{x}}+{{5}^{y}}=18$, nilai maksimum ${{3}^{x}}{{.5}^{y}}$ yaitu …
A. 72 B. 80 C. 81 D. 86 E. 88
Pembahasan:
${{3}^{x}}+{{5}^{y}}=18$
Misal: ${{3}^{x}}=a$ dan ${{3}^{y}}=b$ , maka
$a+b=18\Leftrightarrow a=18-b$ nilai maksimum $ab=...?$
$L=a.b$
$L=a(18-a)$
$L=18a-{{a}^{2}}$
Maksimum/minimum, maka $L'=0$
$18-2a=0\Leftrightarrow a=9$
$L=18a-{{a}^{2}}\Leftrightarrow L=18.9-{{9}^{2}}=81$
Kunci: C
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 9
Diketahui $sx-y=0$ yaitu garis singgung sebuah lingkaran yang titik pusatnya di kuadran ketiga dan berjarak 1 satuan ke sumbu-$x$. Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-$x$ dan titik pusatnya dilalui garis $x=-2$, nilai $3s$ yaitu …
A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{4}{3}$ C. 3 D. 4 E. 6
Pembahasan:
Berdasarkan info soal, maka sanggup dibentuk gambar sebagai berikut!
Dari gambar diperoleh:
Lingkaran melalui berpusat di titik (-2,-1) dan berjari-jari 1, maka persamaan lingkarannya adalah:
${{(x+2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}={{1}^{2}}$, $y=sx$
${{(x+2)}^{2}}+{{(sx+1)}^{2}}=1$
${{x}^{2}}+4x+4+{{s}^{2}}{{x}^{2}}+2sx+1=1$
$({{s}^{2}}+1){{x}^{2}}+(2s+4)x+4=0$, syarat menyinggung $D=0$,
${{b}^{2}}-4ac=0$
${{(2s+4)}^{2}}-4({{s}^{2}}+1)4=0$
$4{{s}^{2}}+16s+16-16{{s}^{2}}-16=0$
$-12{{s}^{2}}+16s=0$
$-4s(3s-4)=0$
$-4s=0$ atau $3s=4$
Kunci: D
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 10
Jika kurva $y=(a-2){{x}^{2}}+\sqrt{3}(1-a)x+a-2$ selalu berada di atas sumbu-$x$, bilangan bundar terkecil $a-2$ yang memenuhi yaitu …
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 E. 10
Pembahasan:
$y=(a-2){{x}^{2}}+\sqrt{3}(1-a)x+a-2$ maka:
$A=a-2$, $B=\sqrt{3}(1-a)$, $C=a-2$,
Selalu berada di atas sumbu-X (definit positif), maka:
(1) $A > 0\Leftrightarrow a-2 > 0\Leftrightarrow a>2$
(2) $D < 0$
$B^2-4AC < 0$
${{[\sqrt{3}(1-a)]}^{2}}-4(a-2)(a-2) < 0$
$3(1-2a+{{a}^{2}})-4({{a}^{2}}-4a+4) < 0$
$3-6a+3{{a}^{2}}-4{{a}^{2}}+16a-16 < 0$
$-{{a}^{2}}+10a-13 < 0$
${{a}^{2}}-10a+13 > 0$, dengan rumus abc maka:
$a=\frac{10\pm \sqrt{48}}{2}$
$a=\frac{10\pm 4\sqrt{3}}{2}$
$a=5\pm 2\sqrt{3}$
$a < 5-2\sqrt{3}$ atau $a > 5+2\sqrt{3}$
Dari (1) dan (2) diperoleh batas nilai $a$ adalah:
$a > 5+2\sqrt{3}\Leftrightarrow a > 5+\sqrt{12}$
$a-2 > 5+\sqrt{12}-2$, alasannya diminta bilangan bundar terkecil, maka:
$a-2=5+\sqrt{16}-2=7$
Kunci: B
Jika $a+b-c=2$, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4{{c}^{2}}=2$, dan $ab=\frac{3}{2}{{c}^{2}}$, nilai $c$ yaitu …
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 6
Pembahasan:
$a+b-c=2$
$a+b=2+c$
${{(a+b)}^{2}}={{(2+c)}^{2}}$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab={{c}^{2}}+4c+4$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4{{c}^{2}}=2$
-----------------------------------(-)
$2ab+4{{c}^{2}}={{c}^{2}}+4c+2$
$3{{c}^{2}}-4c+2ab-2=0$, diketahui $ab=\frac{3}{2}{{c}^{2}}$
$3{{c}^{2}}-4c+2.\frac{3}{2}{{c}^{2}}-2=0$
$6{{c}^{2}}-4c-2=0$
$3{{c}^{2}}-2c-1=0$
$(3c+1)(c-1)=0$
$c=-\frac{1}{3}$ atau $c=1$
Kunci: B
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 12
Jika ${{S}_{n}}$ yaitu jumlah hingga suku ke-n dari barisan geometri, ${{S}_{1}}+{{S}_{6}}=1024$ dan ${{S}_{3}}\times {{S}_{4}}=1023$, maka $\frac{{{S}_{11}}}{{{S}_{8}}}$ = …
A. 3 B. 16 C. 32 D. 64 E. 254
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 13 hingga nomor 15.
Petunjuk C yaitu pilihlah:
A. Jika (1), (2), (3) benar.
B. Jika (1) dan (3) benar.
C. Jika (2) dan (4) benar.
D. Jika hanya (4) yang benar.
E. Jika semuanya benar.
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 13Petunjuk C yaitu pilihlah:
A. Jika (1), (2), (3) benar.
B. Jika (1) dan (3) benar.
C. Jika (2) dan (4) benar.
D. Jika hanya (4) yang benar.
E. Jika semuanya benar.
Jika vektor $\vec{u}=(2,-1,2)$ dan $\vec{v}=(4,10,-8)$, maka …
(1) $\vec{u}+k\vec{v}$ tegak lurus $\vec{u}$ jika $k=\frac{17}{18}$
(2) sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ yaitu sudut tumpul.
(3) $||pro{{y}_{{\vec{u}}}}\vec{v}||=6$
(4) Jarak antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ sama dengan $||\vec{u}+\vec{v}||$
Pembahasan:
Pernyataan (1)
$\vec{u}+k\vec{v}$ tegak lurus $\vec{u}$, maka:
$(\vec{u}+k\vec{v}).\vec{u}=0$
$\left( \begin{matrix} 2+4k \\ -1+10k \\ 2-8k \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=0$
$4+4k+1-10k+4-16k=0$
$-22k=-9\Leftrightarrow k=\frac{9}{22}$,
Pernyataan (1) SALAH
Pernyataan (2)
$\cos (u,v)=\frac{u.v}{|u||v|}$
$\cos (u,v)=\frac{\left( \begin{matrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 4 \\ 10 \\ -8 \\ \end{matrix} \right)}{\sqrt{4+1+4}.\sqrt{16+100+64}}$
$\cos (u,v)=\frac{8-10-16}{3.6\sqrt{5}}$
$\cos (u,v)=\frac{-18}{18\sqrt{5}}$, alasannya nilainya negatif maka sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ yaitu sudut tumpul. Pernyataan (2) BENAR.
Berdasarkan petunjuk C, tanpa mengecek pernyataan (4) maka opsi yang memenuhi yaitu C.
Kunci: C
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 14
Jika $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$, $a > 0$, dan $a,b\in R$, maka …
(1) nilai minimum lokal $y=b-\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$
(2) nilai maksimum lokal $y=b+\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$
(3) $y$ stasioner ketika $x={{a}^{\frac{1}{2}}}$
(4) naik pada interval $\left[ -\infty ,-{{a}^{\frac{1}{2}}} \right]$
Pembahasan:
$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$
$\frac{dy}{dx}={{x}^{2}}-a=0$, alasannya $a > 0$ maka:
$(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})=0$
$x=-\sqrt{a}$ atau $x=\sqrt{a}$,
Dari gambar garis bilangan, maka: pernyataan (3) dan (4) BENAR.
$y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-ax+b$
$x=-\sqrt{a}\Rightarrow y=b+\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$ (nilai maksimum lokal), pernyataan (1) BENAR.
$x=\sqrt{a}\Rightarrow y=b-\frac{2}{3}{{a}^{\frac{3}{2}}}$ (nilai minimum lokal), pernyataan (2) BENAR.
Kunci: E
Matematika IPA SIMAK UI 2018 No. 15
Jika $\alpha =-\frac{\pi }{12}$, maka …
(1) ${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =\frac{6}{8}$
(2) ${{\sin }^{6}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =\frac{12}{16}$
(3) ${{\cos }^{4}}\alpha =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$
(4) ${{\sin }^{4}}\alpha =\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$
Pembahasan:
$\alpha =-\frac{\pi }{12}=-{{15}^{o}}$
$\sin {{15}^{o}}=\sin ({{45}^{o}}-{{30}^{o}})$
$\sin {{15}^{o}}=\sin {{45}^{o}}\cos {{30}^{o}}-\cos {{45}^{o}}\sin {{30}^{o}}$
$\sin {{15}^{o}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2}.\frac{1}{2}$
$\sin {{15}^{o}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
${{\sin }^{2}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}$
${{\sin }^{2}}{{15}^{o}}=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$
${{\sin }^{4}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{2-\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}=\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$, pernyataan (4) BENAR.
Dengan cara yang sama:
$\cos {{15}^{o}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
${{\cos }^{2}}{{15}^{o}}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
${{\cos }^{4}}{{15}^{o}}={{\left( \frac{2+\sqrt{3}}{4} \right)}^{2}}=\frac{7}{16}-\frac{1}{4}\sqrt{3}$, pernyataan (3) SALAH.
Dengan logika, menurut petunjuk C maka kita sudah sanggup memilih opsi yang memenuhi yaitu D.
Kunci: D
Artikel Terkait: |