SIMAK UI 2017. Postingan ini sudah pastilah ngebahas soal dan pembahasan SIMAK UI. Dan postingan ini untuk melengkapi Catatan Matematika b4ngrp, tentu di dibarengi cita-cita kiranya juga bermanfaat buat adik-adik sekalian yang kepengen kali masuk UI. kembali dan tidak bosan-bosannya aku mengingatkan bahwa berguru itu HARUS, lantaran berguru ialah salah satu perjuangan kasatmata menuju keberhasilan. Tetap semangat dan konsisten. Zaman now sudah yummy dan mudah, materi berguru sudah tersedia banyak, salah satunya ya ini blog Catatan Matematika. Oh iya, demi perkembangan blog ini mohon bantu share ke teman-temannya, semoga manfaat dan kebergunaan blog ini semakin nyata. Atas keikhlasannya aku ucapkan banyak terima kasih. Semoga adik-adik di mudahkan oleh Allah dalam belajarnya. Amin.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 E. 16
Pembahasan:
$\begin{align} {{7}^{f}} &=8 \\ {{({{6}^{e}})}^{f}} &=8 \\ {{({{5}^{d}})}^{ef}} &=8 \\ {{({{4}^{c}})}^{def}} &=8 \\ {{({{3}^{b}})}^{cdef}} &=8 \\ {{({{2}^{a}})}^{bcdef}} &=8 \\ {{2}^{abcdef}} &={{2}^{3}} \\ abcdef &=3 \end{align}$
Jawaban: B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Pembahasan:
${{\left( \frac{2{{x}^{2}}-5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-2x}}=1$
${{\left( \frac{2{{x}^{2}}-5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-2x}}={{\left( \frac{2{{x}^{2}}-5}{3} \right)}^{0}}$
1) ${{x}^{2}}-2x=0$
$x(x-2)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=0\vee {{x}_{2}}=2$
2) $\frac{2{{x}^{2}}-5}{3}=1$
$2{{x}^{2}}-5=3$
$2{{x}^{2}}=8$
${{x}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}_{3}}=-2$
Nilai x yang memenuhi {-2, 0, 2} ada sebanyak 3.
Jawaban: C
A. (1,3) dan (1,-3)
B. (1,-3) dan (2,0)
C. (2,0) dan (1,-3)
D. (1,3) dan (4,0)
E. (2,0) dan (4,0)
Pembahasan:
${{y}_{1}}={{x}^{2}}-6x+8$ dan ${{y}_{2}}=-{{(x-3)}^{2}}+1$
$\begin{align} {{y}_{1}} &={{y}_{2}} \\ {{x}^{2}}-6x+8 &=-{{(x-3)}^{2}}+1 \\ {{x}^{2}}-6x+8 &=-({{x}^{2}}-6x+9)+1 \\ {{x}^{2}}-6x+8 &=-{{x}^{2}}+6x-9+1 \\ 2{{x}^{2}}-12x+16 &=0 \\ {{x}^{2}}-6x+8 &=0 \\ (x-2)(x-4) &=0 \end{align}$
$x=2$ atau $x=4$
Substitusi ke: $y=-{{(x-3)}^{2}}+1$
$x=2\to y=-{{(2-3)}^{2}}+1=0\to (2,0)$
$x=4\to y=-{{(4-3)}^{2}}+1=0\to (4,0)$
Jawaban: E
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6
Pembahasan:
$\begin{matrix} \left. \frac{3}{a}+\frac{5}{b}=-20 \right|\times 1 \\ \left. \frac{2}{a}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3} \right|\times 5 \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \frac{3}{a}+\frac{5}{b}=-20 \\ \frac{10}{a}-\frac{5}{b}=-\frac{5}{3} \\ \end{matrix}$
--------------- (+)
$\frac{13}{a}=\frac{-65}{3}\Leftrightarrow a=-\frac{3}{5}$
$\frac{2}{a}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3}$
$\frac{2}{-\frac{3}{5}}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3}$
$-\frac{10}{3}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{b}=-\frac{10}{3}+\frac{1}{3}$
$\frac{1}{b}=-3\Leftrightarrow b=-\frac{1}{3}$
Misal, $x$ ialah bilangan lingkaran nonnegatif yang lebih kecil atau sama dengan $\frac{1}{-a+b}$ maka:
$0\le x\le \frac{1}{\frac{3}{5}-\frac{1}{3}}$
$0\le x\le \frac{15}{4}$
$0\le x\le 3,75;\,x\in B.Bulat$
x = {0, 1, 2, 3}
banyak bilangan x ada 4.
Jawaban: D
A. $-3 < y < -1$
B. $y < -3$ atau $y > -1$
C. $y < 12$ atau $y > 16$
D. $12 < y < 16$
E. $y < -3$ atau $y > 16$
Pembahasan:
$\begin{align} \frac{2x-5}{x+3} & \ge \frac{x-4}{x+1} \\ \frac{2x-5}{x+3}-\frac{x-4}{x+1} &\ge 0 \\ \frac{(2x-5)(x+1)-(x+3)(x-4)}{(x+3)(x+1)} &\ge 0 \\ \frac{2{{x}^{2}}-3x-5-{{x}^{2}}+x+12}{(x+3)(x+1)} &\ge 0 \\ \frac{{{x}^{2}}-2x+7}{(x+3)(x+1)} &\ge 0 \end{align}$
${{x}^{2}}-2x+7>0$ (definit positf), lantaran D < 0 dan a > 0 sehingga:
$(x+3)(x+1) > 0$
$x < -3$ atau $x > -1$
Substitusi ke: $y=-2x+10$
$x < -3 \Rightarrow y > -2(-3)+10 \Leftrightarrow y > 16$
atau
$x > -1 \Rightarrow y < -2(-1)+10 \Leftrightarrow y < 12$
$y < 12$ atau $y > 16$
Jawaban: C
Daerah penyelesaian III pada gambar merupakan solusi dari sistem pertidaksamaan linier …
A. $\begin{align} x+2y & \le 8 \\ 3x-2y & \le 0 \end{align}$
B. $\begin{align} x+2y & \le 8 \\ 2x-3y & \ge 0 \end{align}$
C. $\begin{align} x+2y & \ge 8 \\ 3x-2y & \le 0 \end{align}$
D. $\begin{align} x+2y & \ge 8 \\ 2x-3y & \le 0 \end{align}$
E. $\begin{align} x+2y & \ge 8 \\ 3x-2y & \ge 0 \end{align}$
Pembahasan:
Jawaban: A
A. 382 B. 392 C. 402 D. 412 E. 422
Pembahasan:
Barisan ini ialah barisan bilangan bertingkat dua, maka:
$\begin{align} {{U}_{n}} &= a+(n-1)b+\frac{(n-1)(n-2)c}{2} \\ {{U}_{20}} &= 4+19.4+\frac{19.18.2}{2} \\ &= 4+76+342 \\ {{U}_{20}} &= 422 \end{align}$
Jawaban: E
A. $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
B. $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b-c)$
C. $(a-b)(b-c)(c-a)(a-b+c)$
D. $(a-b)(b-c)(c+a)(a-b-c)$
E. $(a-b)(b-c)(c+a)(a-b+c)$
Pembahasan:
$|A|=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{3}} & {{b}^{3}} & {{c}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} \\ {} \\ {} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 & 1 \\ a & b \\ {{a}^{3}} & {{b}^{3}} \\ \end{matrix} \right|$
$|A|=b{{c}^{3}}+c{{a}^{3}}+a{{b}^{3}}-b{{a}^{3}}-c{{b}^{3}}-a{{c}^{3}}$
$|A|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Jawaban: A
A. $\frac{1}{8}$ B. $\frac{3}{8}$ C. $\frac{5}{8}$ D. $\frac{6}{8}$ E. $\frac{7}{8}$
Pembahasan:
Setiap keluarga mempunyai 3 anak, maka kemungkinan-kemungkinannya adalah:
S = {LLL, LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}
n(S) = 8
A = minimal mempunyai 1 anak perempuan
A = {LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}
n(A) = 7
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{8}$
Jawaban: E
A. 45 B. 190 C. 225 D. 235 E. 250
Pembahasan:
Pembahasan:
Pembahasan:
a = 1 maka b = {2, 3, 4, 5, 6}, ada sebanyak 5 pasang (a,b).
a = 2 maka b = {3, 4, 5, 6, 7}, ada sebanyak 5 pasang (a,b).
a = 3 maka b = {4, 5, 6, 7, 8}, ada sebanyak 5 pasang (a,b).
….
a = 45 maka b = {46, 47, 48, 49, 50}, ada sebanyak 5 pasang (a,b)
a = 46 maka b = {47, 48, 49, 50} ada sebanyak 4 pasang (a,b)
a = 47 maka b = {48, 49, 50} ada sebanyak 3 pasang (a,b)
a = 48 maka b = {49, 50} ada sebanyak 2 pasang (a,b).
a = 49 maka b = 50, ada sebanyak 1 pasang (a,b)
Kaprikornus banyaknya = 45 x 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 235
Jawaban: D
A. $2:3$
B. $3:4$
C. $1:\sqrt{3}$
D. $2:\sqrt{3}$
E. $1:2\sqrt{3}$
Pembahasan:
Untuk mempermudah perhitungan! Kita misalkan panjang sisi persegi ialah 1 satuan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut!
Segitiga BEF ialah segitiga sama sisi, maka:
$\begin{align} EF &= BE \\ E{{F}^{2}} &= B{{E}^{2}} \\ 2{{(1-x)}^{2}} &= {{x}^{2}}+1 \\ 2(1-2x+{{x}^{2}}) &= {{x}^{2}}+1 \\ 2{{x}^{2}}-4x+2 &= {{x}^{2}}+1 \\ {{x}^{2}}-4x+1 &= 0 \end{align}$
$\begin{align} x &= \frac{4-\sqrt{16-4.1.1}}{2.1} \\ &= \frac{4-2\sqrt{3}}{2} \\ x &= 2-\sqrt{3} \\ AE &= 2-\sqrt{3} \end{align}$
$\begin{align} BE^2 &= {{x}^{2}}+1 \\ & ={{(2-\sqrt{3})}^{2}}+1 \\ & =4-4\sqrt{3}+3+1 \\ & =8-4\sqrt{3} \\ BE^2 &= 4(2-\sqrt{3}) \end{align}$
$\begin{align} \frac{L\Delta ABE}{L\Delta BEF} &= \frac{\frac{1}{2}AB.AE}{\frac{1}{2}B{{E}^{2}}.\sin {{60}^{o}}} \\ & =\frac{\frac{1}{2}.1.(2-\sqrt{3})}{\frac{1}{2}.4(2-\sqrt{3}).\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & =\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ & =1:2\sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: E
A. 0 B. 10 C. 900 D. 1900 E. 8000
Pembahasan:
$\log ({{x}^{3}})-\log ({{y}^{2}})=4$
$3.\log x-2.\log y=4$ … pers (1)
$\log ({{x}^{4}})+\log ({{y}^{3}})=11$
$4.\log x+3.\log y=11$ … pers (2)
Pers (1) kali 3 dan pers (2) kali 2 maka:
$9.\log x-6.\log y=12$
$8.\log x+6.\log y=22$
-------------------------- (+)
$\begin{align} 17.\log x &= 34 \\ \log x &= 2 \\ x &= 100 \end{align}$
$\log x=2$ Substitusi ke:
$\begin{align} 4.\log x+3.\log y &=11 \\ 4.2+3.\log y &=11 \\ 3.\log y &=3 \\ \log y &=1 \\ y &=10 \end{align}$
${{y}^{2}}-x={{10}^{2}}-100=0$
Jawaban: A
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 13 hingga nomor 15
(1) rata-rata = 10
(2) median = 10
(3) standar deviasi = $\frac{1}{2}\sqrt{62}$
(4) variansi = $\frac{62}{4}$
Pembahasan:
5, 9, 10, 10, 16
(1) rata-rata:
$\bar{x}=\frac{5+9+10+10+16}{5}=10$. Pernyataan (1) benar.
(2) median = nilai tengah = 10. Pernyataan (2) benar.
(3) Standar deviasi (sampel):
$\begin{align} Sd &=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}}}{n-1}} \\ &= \sqrt{\frac{{{(5-10)}^{2}}+{{(9-10)}^{2}}+{{(10-10)}^{2}}+{{(10-10)}^{2}}+{{(16-10)}^{2}}}{5-1}} \\ &= \sqrt{\frac{25+1+0+0+36}{4}} \\ Sd &= \frac{1}{2}\sqrt{62} \end{align}$
Pernyataan (3) benar.
(4) Varians $=S{{d}^{2}}=\frac{62}{4}$. Pernyataan (4) benar.
Jawaban: E (semua benar)
(1) $f(0)=0$
(2) $f(1)=1$
(3) $f(-x)=-f(x)$
(4) $f(-x)=f(x)$
Pembahasan:
$f\left( \frac{x+y}{x-y} \right)=\frac{f(x)+y}{f(x)-y}$
Misalkan:
$p=\frac{x+y}{x-y}$ maka $-p=-\left( \frac{x+y}{x-y} \right)$
$f\left( -p \right)=-\left( \frac{f(x)+y}{f(x)-y} \right)=\frac{y+f(x)}{y-f(x)}$
$\begin{align} f\left( -p \right) &= -\left( \frac{f(x)+y}{f(x)-y} \right) \\ &= \frac{y+f(x)}{y-f(x)} \\ &= -f\left( \frac{x+y}{x-y} \right) \\ f(-p) &= -f(p) \end{align}$
ganti $x=p$, maka:
$f(-p)=-f(p)\Leftrightarrow f(-x)=-f(x)$. Pernyataan (3) BENAR.
Untuk $y=0$ maka:
$\begin{align} f\left( \frac{x+y}{x-y} \right) &= \frac{f(x)+y}{f(x)-y} \\ f\left( \frac{x+0}{x-0} \right) &= \frac{f(x)+0}{f(x)-0} \\ f(1) &= \frac{f(x)}{f(x)} \\ f(1) &=1 \end{align}$
Pernyataan (2) BENAR.
Untuk $y=-x$ maka:
$\begin{align} f\left( \frac{x+y}{x-y} \right) &= \frac{f(x)+y}{f(x)-y} \\ f\left( \frac{x-x}{x+x} \right) &= \frac{f(x)-x}{f(x)+x} \\ f(0) &= \frac{f(x)-x}{f(x)+x} \end{align}$
Andaikan $f(0)=0$ maka:
$f(0) = \frac{f(x)-x}{f(x)+x}=0$
$f(x)-x = 0$
$f(x) = x$
$f(0) = 0$. Pernyataan (1) BENAR
Jawaban: A (1, 2, dan 3 BENAR)
(1) Jika $f''(c)=0$ atau tidak terdefinisi di $c$ dan $c$ ada di tempat asal $f$, maka $f$ mempunyai titik belok di $x=c$.
(2) Jika $f(x)$ ialah fungsi linear dengan kemiringan positif dan $[a,b]$ ialah interval tutup, maka $f(x)$ akan mempunyai maksimum pada interval tersebut di $f(b)$.
(3) Jika $f'(0)=0$, maka $f(x)$ merupakan fungsi konstan.
(4) Jika $f'(c)=0$ atau tidak terdefinisi di $c$ dan $c$ ada di tempat asal $f$, maka $f$ mempunyai titik kritis di $x=c$.
Pembahasan:
(1) bila $f''(c)=0$ dan $f'''(c)\ne 0$, maka $(c,f(c))$ ialah titik belok. Pernyataan (1) salah.
(2) benar
(3) bila $f'(0)=0$ maka $f(x)$ belum tentu linear (contoh: $f(x)={{x}^{2}}$, $f(x)=\sqrt{x}$, dll). Pernyataan (3) salah.
(4) benar
Jawaban: C (Pernyataan 2 dan 4 benar).
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 1
Jika ${{2}^{a}}=3$, ${{3}^{b}}=4$, ${{4}^{c}}=5$, ${{5}^{d}}=6$, ${{6}^{e}}=7$, ${{7}^{f}}=8$, maka $abcdef$ = …A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 E. 16
Pembahasan:
$\begin{align} {{7}^{f}} &=8 \\ {{({{6}^{e}})}^{f}} &=8 \\ {{({{5}^{d}})}^{ef}} &=8 \\ {{({{4}^{c}})}^{def}} &=8 \\ {{({{3}^{b}})}^{cdef}} &=8 \\ {{({{2}^{a}})}^{bcdef}} &=8 \\ {{2}^{abcdef}} &={{2}^{3}} \\ abcdef &=3 \end{align}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 2
Jika ${{\left( \frac{2{{x}^{2}}-5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-2x}}=1$, maka banyaknya nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut ialah …A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Pembahasan:
${{\left( \frac{2{{x}^{2}}-5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-2x}}=1$
${{\left( \frac{2{{x}^{2}}-5}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-2x}}={{\left( \frac{2{{x}^{2}}-5}{3} \right)}^{0}}$
1) ${{x}^{2}}-2x=0$
$x(x-2)=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}=0\vee {{x}_{2}}=2$
2) $\frac{2{{x}^{2}}-5}{3}=1$
$2{{x}^{2}}-5=3$
$2{{x}^{2}}=8$
${{x}^{2}}=4\Leftrightarrow {{x}_{3}}=-2$
Nilai x yang memenuhi {-2, 0, 2} ada sebanyak 3.
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 3
Titik potong kurva-kurva $y={{x}^{2}}-6x+8$ dan $y=-{{(x-3)}^{2}}+1$ ialah …A. (1,3) dan (1,-3)
B. (1,-3) dan (2,0)
C. (2,0) dan (1,-3)
D. (1,3) dan (4,0)
E. (2,0) dan (4,0)
Pembahasan:
${{y}_{1}}={{x}^{2}}-6x+8$ dan ${{y}_{2}}=-{{(x-3)}^{2}}+1$
$\begin{align} {{y}_{1}} &={{y}_{2}} \\ {{x}^{2}}-6x+8 &=-{{(x-3)}^{2}}+1 \\ {{x}^{2}}-6x+8 &=-({{x}^{2}}-6x+9)+1 \\ {{x}^{2}}-6x+8 &=-{{x}^{2}}+6x-9+1 \\ 2{{x}^{2}}-12x+16 &=0 \\ {{x}^{2}}-6x+8 &=0 \\ (x-2)(x-4) &=0 \end{align}$
$x=2$ atau $x=4$
Substitusi ke: $y=-{{(x-3)}^{2}}+1$
$x=2\to y=-{{(2-3)}^{2}}+1=0\to (2,0)$
$x=4\to y=-{{(4-3)}^{2}}+1=0\to (4,0)$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 4
Jika $\frac{3}{a}+\frac{5}{b}=-20$ dan $\frac{2}{a}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3}$, maka banyaknya bilangan lingkaran nonnegatif yang lebih kecil atau sama dengan $\frac{1}{-a+b}$ ialah …A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 6
Pembahasan:
$\begin{matrix} \left. \frac{3}{a}+\frac{5}{b}=-20 \right|\times 1 \\ \left. \frac{2}{a}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3} \right|\times 5 \\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} \frac{3}{a}+\frac{5}{b}=-20 \\ \frac{10}{a}-\frac{5}{b}=-\frac{5}{3} \\ \end{matrix}$
--------------- (+)
$\frac{13}{a}=\frac{-65}{3}\Leftrightarrow a=-\frac{3}{5}$
$\frac{2}{a}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3}$
$\frac{2}{-\frac{3}{5}}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3}$
$-\frac{10}{3}-\frac{1}{b}=-\frac{1}{3}$
$\frac{1}{b}=-\frac{10}{3}+\frac{1}{3}$
$\frac{1}{b}=-3\Leftrightarrow b=-\frac{1}{3}$
Misal, $x$ ialah bilangan lingkaran nonnegatif yang lebih kecil atau sama dengan $\frac{1}{-a+b}$ maka:
$0\le x\le \frac{1}{\frac{3}{5}-\frac{1}{3}}$
$0\le x\le \frac{15}{4}$
$0\le x\le 3,75;\,x\in B.Bulat$
x = {0, 1, 2, 3}
banyak bilangan x ada 4.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 5
Jika $x$ memenuhi $\frac{2x-5}{x+3} \ge \frac{x-4}{x+1}$, maka nilai $y=-2x+10$ terletak pada ….A. $-3 < y < -1$
B. $y < -3$ atau $y > -1$
C. $y < 12$ atau $y > 16$
D. $12 < y < 16$
E. $y < -3$ atau $y > 16$
Pembahasan:
$\begin{align} \frac{2x-5}{x+3} & \ge \frac{x-4}{x+1} \\ \frac{2x-5}{x+3}-\frac{x-4}{x+1} &\ge 0 \\ \frac{(2x-5)(x+1)-(x+3)(x-4)}{(x+3)(x+1)} &\ge 0 \\ \frac{2{{x}^{2}}-3x-5-{{x}^{2}}+x+12}{(x+3)(x+1)} &\ge 0 \\ \frac{{{x}^{2}}-2x+7}{(x+3)(x+1)} &\ge 0 \end{align}$
${{x}^{2}}-2x+7>0$ (definit positf), lantaran D < 0 dan a > 0 sehingga:
$(x+3)(x+1) > 0$
$x < -3$ atau $x > -1$
Substitusi ke: $y=-2x+10$
$x < -3 \Rightarrow y > -2(-3)+10 \Leftrightarrow y > 16$
atau
$x > -1 \Rightarrow y < -2(-1)+10 \Leftrightarrow y < 12$
$y < 12$ atau $y > 16$
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 6
Daerah penyelesaian III pada gambar merupakan solusi dari sistem pertidaksamaan linier …
A. $\begin{align} x+2y & \le 8 \\ 3x-2y & \le 0 \end{align}$
B. $\begin{align} x+2y & \le 8 \\ 2x-3y & \ge 0 \end{align}$
C. $\begin{align} x+2y & \ge 8 \\ 3x-2y & \le 0 \end{align}$
D. $\begin{align} x+2y & \ge 8 \\ 2x-3y & \le 0 \end{align}$
E. $\begin{align} x+2y & \ge 8 \\ 3x-2y & \ge 0 \end{align}$
Pembahasan:
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 7
Jika diberikan barisan 4, 8, 14, 22, 32, …, maka suku ke-20 dari barisan tersebut ialah …A. 382 B. 392 C. 402 D. 412 E. 422
Pembahasan:
Barisan ini ialah barisan bilangan bertingkat dua, maka:
$\begin{align} {{U}_{n}} &= a+(n-1)b+\frac{(n-1)(n-2)c}{2} \\ {{U}_{20}} &= 4+19.4+\frac{19.18.2}{2} \\ &= 4+76+342 \\ {{U}_{20}} &= 422 \end{align}$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 8
Jika $A=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{3}} & {{b}^{3}} & {{c}^{3}} \\ \end{matrix} \right]$ maka det(A) = …A. $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
B. $(a-b)(b-c)(c-a)(a+b-c)$
C. $(a-b)(b-c)(c-a)(a-b+c)$
D. $(a-b)(b-c)(c+a)(a-b-c)$
E. $(a-b)(b-c)(c+a)(a-b+c)$
Pembahasan:
$|A|=\left| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ {{a}^{3}} & {{b}^{3}} & {{c}^{3}} \\ \end{matrix} \right|\left. \begin{matrix} {} \\ {} \\ {} \\ \end{matrix}\begin{matrix} 1 & 1 \\ a & b \\ {{a}^{3}} & {{b}^{3}} \\ \end{matrix} \right|$
$|A|=b{{c}^{3}}+c{{a}^{3}}+a{{b}^{3}}-b{{a}^{3}}-c{{b}^{3}}-a{{c}^{3}}$
$|A|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 9
Jika setiap keluarga mempunyai 3 orang anak, maka probabilitas keluarga tersebut mempunyai minimal 1 anak wanita ialah …A. $\frac{1}{8}$ B. $\frac{3}{8}$ C. $\frac{5}{8}$ D. $\frac{6}{8}$ E. $\frac{7}{8}$
Pembahasan:
Setiap keluarga mempunyai 3 anak, maka kemungkinan-kemungkinannya adalah:
S = {LLL, LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}
n(S) = 8
A = minimal mempunyai 1 anak perempuan
A = {LLP, LPL, PLL, LPP, PLP, PPL, PPP}
n(A) = 7
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{7}{8}$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 10
Banyaknya pasangan $(a,b)$ dengan $a$ dan $b$ dua bilangan berbeda dari himpunan $\{1,2,...,50\}$, $|a-b| \le 5$, dan $a < b$ ialah …A. 45 B. 190 C. 225 D. 235 E. 250
Pembahasan:
Pembahasan:
Pembahasan:
a = 1 maka b = {2, 3, 4, 5, 6}, ada sebanyak 5 pasang (a,b).
a = 2 maka b = {3, 4, 5, 6, 7}, ada sebanyak 5 pasang (a,b).
a = 3 maka b = {4, 5, 6, 7, 8}, ada sebanyak 5 pasang (a,b).
….
a = 45 maka b = {46, 47, 48, 49, 50}, ada sebanyak 5 pasang (a,b)
a = 46 maka b = {47, 48, 49, 50} ada sebanyak 4 pasang (a,b)
a = 47 maka b = {48, 49, 50} ada sebanyak 3 pasang (a,b)
a = 48 maka b = {49, 50} ada sebanyak 2 pasang (a,b).
a = 49 maka b = 50, ada sebanyak 1 pasang (a,b)
Kaprikornus banyaknya = 45 x 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 235
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 11
Pada persegi ABCD, titik E terletak pada sisi AD dan titik F terletak pada sisi CD sehingga segitiga BEF sama sisi. Perbandingan luas segitiga ABE dan segitiga BEF ialah …A. $2:3$
B. $3:4$
C. $1:\sqrt{3}$
D. $2:\sqrt{3}$
E. $1:2\sqrt{3}$
Pembahasan:
Untuk mempermudah perhitungan! Kita misalkan panjang sisi persegi ialah 1 satuan.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut!
Segitiga BEF ialah segitiga sama sisi, maka:
$\begin{align} EF &= BE \\ E{{F}^{2}} &= B{{E}^{2}} \\ 2{{(1-x)}^{2}} &= {{x}^{2}}+1 \\ 2(1-2x+{{x}^{2}}) &= {{x}^{2}}+1 \\ 2{{x}^{2}}-4x+2 &= {{x}^{2}}+1 \\ {{x}^{2}}-4x+1 &= 0 \end{align}$
$\begin{align} x &= \frac{4-\sqrt{16-4.1.1}}{2.1} \\ &= \frac{4-2\sqrt{3}}{2} \\ x &= 2-\sqrt{3} \\ AE &= 2-\sqrt{3} \end{align}$
$\begin{align} BE^2 &= {{x}^{2}}+1 \\ & ={{(2-\sqrt{3})}^{2}}+1 \\ & =4-4\sqrt{3}+3+1 \\ & =8-4\sqrt{3} \\ BE^2 &= 4(2-\sqrt{3}) \end{align}$
$\begin{align} \frac{L\Delta ABE}{L\Delta BEF} &= \frac{\frac{1}{2}AB.AE}{\frac{1}{2}B{{E}^{2}}.\sin {{60}^{o}}} \\ & =\frac{\frac{1}{2}.1.(2-\sqrt{3})}{\frac{1}{2}.4(2-\sqrt{3}).\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & =\frac{1}{2\sqrt{3}} \\ & =1:2\sqrt{3} \end{align}$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 12
Jika $x$ dan $y$ memenuhi $\log ({{x}^{3}})-\log ({{y}^{2}})=4$ dan $\log ({{x}^{4}})+\log ({{y}^{3}})=11$, maka ${{y}^{2}}-x$ = …A. 0 B. 10 C. 900 D. 1900 E. 8000
Pembahasan:
$\log ({{x}^{3}})-\log ({{y}^{2}})=4$
$3.\log x-2.\log y=4$ … pers (1)
$\log ({{x}^{4}})+\log ({{y}^{3}})=11$
$4.\log x+3.\log y=11$ … pers (2)
Pers (1) kali 3 dan pers (2) kali 2 maka:
$9.\log x-6.\log y=12$
$8.\log x+6.\log y=22$
-------------------------- (+)
$\begin{align} 17.\log x &= 34 \\ \log x &= 2 \\ x &= 100 \end{align}$
$\log x=2$ Substitusi ke:
$\begin{align} 4.\log x+3.\log y &=11 \\ 4.2+3.\log y &=11 \\ 3.\log y &=3 \\ \log y &=1 \\ y &=10 \end{align}$
${{y}^{2}}-x={{10}^{2}}-100=0$
Jawaban: A
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 13 hingga nomor 15
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 13
Jika dalam sebuah kantor diambil sampel sebanyak 5 orang dan setiap hari masing-masing memakai komputer selama 5, 9, 10, 10, 16 jam, maka …(1) rata-rata = 10
(2) median = 10
(3) standar deviasi = $\frac{1}{2}\sqrt{62}$
(4) variansi = $\frac{62}{4}$
Pembahasan:
5, 9, 10, 10, 16
(1) rata-rata:
$\bar{x}=\frac{5+9+10+10+16}{5}=10$. Pernyataan (1) benar.
(2) median = nilai tengah = 10. Pernyataan (2) benar.
(3) Standar deviasi (sampel):
$\begin{align} Sd &=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{\left( {{x}_{i}}-\bar{x} \right)}^{2}}}}{n-1}} \\ &= \sqrt{\frac{{{(5-10)}^{2}}+{{(9-10)}^{2}}+{{(10-10)}^{2}}+{{(10-10)}^{2}}+{{(16-10)}^{2}}}{5-1}} \\ &= \sqrt{\frac{25+1+0+0+36}{4}} \\ Sd &= \frac{1}{2}\sqrt{62} \end{align}$
Pernyataan (3) benar.
(4) Varians $=S{{d}^{2}}=\frac{62}{4}$. Pernyataan (4) benar.
Jawaban: E (semua benar)
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 14
Diketahui bahwa $f\left( \frac{x+y}{x-y} \right)=\frac{f(x)+y}{f(x)-y}$ untuk $x\ne y$ dengan $x$ dan $y$ bilangan bulat. Pernyataan yang BENAR berikut ini ialah …(1) $f(0)=0$
(2) $f(1)=1$
(3) $f(-x)=-f(x)$
(4) $f(-x)=f(x)$
Pembahasan:
$f\left( \frac{x+y}{x-y} \right)=\frac{f(x)+y}{f(x)-y}$
Misalkan:
$p=\frac{x+y}{x-y}$ maka $-p=-\left( \frac{x+y}{x-y} \right)$
$f\left( -p \right)=-\left( \frac{f(x)+y}{f(x)-y} \right)=\frac{y+f(x)}{y-f(x)}$
$\begin{align} f\left( -p \right) &= -\left( \frac{f(x)+y}{f(x)-y} \right) \\ &= \frac{y+f(x)}{y-f(x)} \\ &= -f\left( \frac{x+y}{x-y} \right) \\ f(-p) &= -f(p) \end{align}$
ganti $x=p$, maka:
$f(-p)=-f(p)\Leftrightarrow f(-x)=-f(x)$. Pernyataan (3) BENAR.
Untuk $y=0$ maka:
$\begin{align} f\left( \frac{x+y}{x-y} \right) &= \frac{f(x)+y}{f(x)-y} \\ f\left( \frac{x+0}{x-0} \right) &= \frac{f(x)+0}{f(x)-0} \\ f(1) &= \frac{f(x)}{f(x)} \\ f(1) &=1 \end{align}$
Pernyataan (2) BENAR.
Untuk $y=-x$ maka:
$\begin{align} f\left( \frac{x+y}{x-y} \right) &= \frac{f(x)+y}{f(x)-y} \\ f\left( \frac{x-x}{x+x} \right) &= \frac{f(x)-x}{f(x)+x} \\ f(0) &= \frac{f(x)-x}{f(x)+x} \end{align}$
Andaikan $f(0)=0$ maka:
$f(0) = \frac{f(x)-x}{f(x)+x}=0$
$f(x)-x = 0$
$f(x) = x$
$f(0) = 0$. Pernyataan (1) BENAR
Jawaban: A (1, 2, dan 3 BENAR)
Matematika Dasar SIMAK UI 2017 No. 15
Pernyataan yang BENAR mengenai turunan fungsi ialah …(1) Jika $f''(c)=0$ atau tidak terdefinisi di $c$ dan $c$ ada di tempat asal $f$, maka $f$ mempunyai titik belok di $x=c$.
(2) Jika $f(x)$ ialah fungsi linear dengan kemiringan positif dan $[a,b]$ ialah interval tutup, maka $f(x)$ akan mempunyai maksimum pada interval tersebut di $f(b)$.
(3) Jika $f'(0)=0$, maka $f(x)$ merupakan fungsi konstan.
(4) Jika $f'(c)=0$ atau tidak terdefinisi di $c$ dan $c$ ada di tempat asal $f$, maka $f$ mempunyai titik kritis di $x=c$.
Pembahasan:
(1) bila $f''(c)=0$ dan $f'''(c)\ne 0$, maka $(c,f(c))$ ialah titik belok. Pernyataan (1) salah.
(2) benar
(3) bila $f'(0)=0$ maka $f(x)$ belum tentu linear (contoh: $f(x)={{x}^{2}}$, $f(x)=\sqrt{x}$, dll). Pernyataan (3) salah.
(4) benar
Jawaban: C (Pernyataan 2 dan 4 benar).
Baca juga: |
Sumber http://www.catatanmatematika.com