Berikut ini saya share soal dan pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI Tahun 2012 untuk materi berguru teman-teman berlatih soal-soal SIMAK UI, sehingga peluang untuk sanggup diterima semakin besar. Sebelum membaca pembahasan ini, sebaiknya kalian d0wnl0ad soalnya terlebih dahulu, dijawab secara mandiri, sehabis itu kau periksa tanggapan kau melalui pembahasan ini.
Download Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2012 Kode 223
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 1
Jika $4\sin x-\frac{4}{\cos x}=-1$, maka diskriminan dari persamaan kuadrat $(\sin x){{a}^{2}}+\sqrt{\cos x}.a-\cos x=0$ yakni …
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$4\sin x-\frac{4}{\cos x}=-1$
$4\sin x.\cos x-4=-\cos x$
$4\sin x.\cos x+\cos x=4$
Diskriminan dari persamaan:
$(\sin x){{a}^{2}}+\sqrt{\cos x}.a-\cos x=0$
$A=\sin x$, $B=\sqrt{\cos x}$, $C=-\cos x$
$D={{B}^{2}}-4AC$
$D={{(\sqrt{\cos x})}^{2}}-4.\sin x.(-\cos x)$
$D=\cos x+4.\sin x.\cos x$
$D=4$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 2
Jika f(2) = 3, f ‘(2) = 4, g(2) = 2, dan g’(2) = 5, maka untuk x = 2, nilai dari $\frac{\frac{d}{dx}[{{f}^{2}}(x)+{{g}^{3}}(x)]}{\frac{d}{dx}[f(g(x))]}$ yakni …
A. 3,6 B. 4,2 C. 4,8 D. 5,6 E. 7
Pembahasan:
f(2) = 3, f ‘(2) = 4, g(2) = 2, dan g’(2) = 5
$\frac{\frac{d}{dx}[{{f}^{2}}(x)+{{g}^{3}}(x)]}{\frac{d}{dx}[f(g(x))]}$
$=\frac{2f(x).f'(x)+3{{g}^{2}}(x).g'(x)}{g'(x).f'(g(x))}$
x = 2, maka:
$=\frac{2f(2).f'(2)+3{{g}^{2}}(2).g'(2)}{g'(2).f'(g(x2))}$
$=\frac{2.3.4+{{3.2}^{2}}.5}{5.4}=4,2$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 3
Jika ${{(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)}^{2}}$ diuraikan dan disederhakan, maka banyaknya suku yang berbeda yakni …
A. 10 B. 20 C. 45 D. 55 E. 100
Pembahasan:
Banyak suku dari ${{(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)}^{2}}$ adalah:
Suku yang terdiri dari satu variabel ada sebanyak:
${}_{10}{{C}_{1}}=\frac{10!}{1!.(10-1)!}=\frac{10.9!}{1.9!}=10$
Suku yang terdiri dari dua variabel ada sebanyak:
${}_{10}{{C}_{2}}=\frac{10!}{2!.(10-2)!}=\frac{10.9.8!}{2.1.8!}=45$
Jadi, banyak suku seluruhnya yakni 10 + 45 = 55.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 4
Ahmad dan Aisyah sahabat satu sekolah di sebuah Sekolah Menengan Atas di kota Depok. Saat ini mereka duduk di kelas 1. Mereka mencatat jumlah seluruh siswa kelas 1 di sekolah mereka. Aisyah mencatat, 5/17 dari temannya di kelas 1 yakni laki-laki, sedangkan berdasarkan catatan Ahmad, 2/7 dari temannya di kelas 1 yakni laki-laki. Jika catatan mereka berdua tidak salah, maka banyaknya jumlah siswa wanita kelas 1 di sekolah mereka yakni …
A. 35 B. 55 C. 65 D. 85 E. 120
Pembahasan:
Misal, jumlah siswa seluruhnya = n, dan banyak siswa pria = L maka:
Data Aisyah:
5/17 dari temannya, sahabat Aisyah = n -1 maka:
$\frac{5}{17}(n-1)=L$
Data Ahmad:
2/7 dari temannya (n – 1) di kelas 1 yakni pria (L-1, lantaran Ahmad tidak termasuk), maka:
$\frac{2}{7}(n-1)=L-1$
$\frac{2}{7}(n-1)+1=L$
$\frac{2}{7}(n-1)+1=\frac{5}{17}(n-1)$
$\left( \frac{2}{7}-\frac{5}{17} \right)(n-1)=-1$
$\left( \frac{-1}{119} \right)(n-1)=-1$
$n-1=119\Leftrightarrow n=120$
$L=\frac{5}{17}(n-1)\Leftrightarrow L=\frac{5}{17}(120-1)=35$
Perempuan = 120 - 35 = 85 orang.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 5
Jika $-3\le x\le 4$, $-2\le y\le 5$, $4\le z\le 10$, dan $w=z-xy$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $w$ yakni …
A. 10 B. 16 C. 18 D. 25 E. 30
Pembahasan:
$-3\le x\le 4$
$-2\le y\le 5$
$4\le z\le 10$
$w=z-xy$ maka supaya w maksimum maka nilai z = 10,
Agar w maksimum maka xy harus minimum
Itu diperoleh bila x = -3 dan y = 5, maka xy = -15
${{w}_{maks}}=z-xy\Leftrightarrow w=10-(-15)=25$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 6
Jika $\sqrt{2+2\cos 2x}=\frac{3}{\sqrt{1+4\cos 2x}}$ untuk $0 < x < 2\pi$, $4\cos 2x\ne -1$, maka jumlah nilai x yang memenuhi yakni ….
A. ${{720}^{o}}$
B. ${{480}^{o}}$
C. ${{390}^{o}}$
D. ${{360}^{o}}$
E. ${{240}^{o}}$
Pembahasan:
$\sqrt{2+2\cos 2x}=\frac{3}{\sqrt{1+4\cos 2x}}$
$2+2\cos 2x=\frac{9}{1+4\cos 2x}$
Misal: cos 2x = p, maka:
$2+2p=\frac{9}{1+4p}$
$2+8p+2p+8{{p}^{2}}=9$
$8{{p}^{2}}+10p-7=0$
$(4p+7)(2p-1)=0$
$p=-\frac{7}{4}$ atau $p=\frac{1}{2}$
$p=-\frac{7}{4}\Rightarrow \cos 2x=-\frac{7}{4}(TM)$
$p=\frac{1}{2}$, maka:
$\cos 2x=\frac{1}{2}$
$\cos 2x=\cos {{60}^{o}}$
$2x=\pm {{60}^{o}}+k{{.360}^{o}}$
$x=\pm {{30}^{o}}+k{{.180}^{o}}$
$k=0\Rightarrow {{x}_{1}}={{30}^{o}}$
$k=1\Rightarrow {{x}_{2}}={{210}^{o}},{{x}_{3}}={{150}^{o}}$
$k=2\Rightarrow {{x}_{4}}={{330}^{o}}$
Jumlah semua x adalah:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}={{720}^{o}}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 1
Jika $4\sin x-\frac{4}{\cos x}=-1$, maka diskriminan dari persamaan kuadrat $(\sin x){{a}^{2}}+\sqrt{\cos x}.a-\cos x=0$ yakni …
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$4\sin x-\frac{4}{\cos x}=-1$
$4\sin x.\cos x-4=-\cos x$
$4\sin x.\cos x+\cos x=4$
Diskriminan dari persamaan:
$(\sin x){{a}^{2}}+\sqrt{\cos x}.a-\cos x=0$
$A=\sin x$, $B=\sqrt{\cos x}$, $C=-\cos x$
$D={{B}^{2}}-4AC$
$D={{(\sqrt{\cos x})}^{2}}-4.\sin x.(-\cos x)$
$D=\cos x+4.\sin x.\cos x$
$D=4$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 2
Jika f(2) = 3, f ‘(2) = 4, g(2) = 2, dan g’(2) = 5, maka untuk x = 2, nilai dari $\frac{\frac{d}{dx}[{{f}^{2}}(x)+{{g}^{3}}(x)]}{\frac{d}{dx}[f(g(x))]}$ yakni …
A. 3,6 B. 4,2 C. 4,8 D. 5,6 E. 7
Pembahasan:
f(2) = 3, f ‘(2) = 4, g(2) = 2, dan g’(2) = 5
$\frac{\frac{d}{dx}[{{f}^{2}}(x)+{{g}^{3}}(x)]}{\frac{d}{dx}[f(g(x))]}$
$=\frac{2f(x).f'(x)+3{{g}^{2}}(x).g'(x)}{g'(x).f'(g(x))}$
x = 2, maka:
$=\frac{2f(2).f'(2)+3{{g}^{2}}(2).g'(2)}{g'(2).f'(g(x2))}$
$=\frac{2.3.4+{{3.2}^{2}}.5}{5.4}=4,2$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 3
Jika ${{(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)}^{2}}$ diuraikan dan disederhakan, maka banyaknya suku yang berbeda yakni …
A. 10 B. 20 C. 45 D. 55 E. 100
Pembahasan:
Banyak suku dari ${{(a+b+c+d+e+f+g+h+i+j)}^{2}}$ adalah:
Suku yang terdiri dari satu variabel ada sebanyak:
${}_{10}{{C}_{1}}=\frac{10!}{1!.(10-1)!}=\frac{10.9!}{1.9!}=10$
Suku yang terdiri dari dua variabel ada sebanyak:
${}_{10}{{C}_{2}}=\frac{10!}{2!.(10-2)!}=\frac{10.9.8!}{2.1.8!}=45$
Jadi, banyak suku seluruhnya yakni 10 + 45 = 55.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 4
Ahmad dan Aisyah sahabat satu sekolah di sebuah Sekolah Menengan Atas di kota Depok. Saat ini mereka duduk di kelas 1. Mereka mencatat jumlah seluruh siswa kelas 1 di sekolah mereka. Aisyah mencatat, 5/17 dari temannya di kelas 1 yakni laki-laki, sedangkan berdasarkan catatan Ahmad, 2/7 dari temannya di kelas 1 yakni laki-laki. Jika catatan mereka berdua tidak salah, maka banyaknya jumlah siswa wanita kelas 1 di sekolah mereka yakni …
A. 35 B. 55 C. 65 D. 85 E. 120
Pembahasan:
Misal, jumlah siswa seluruhnya = n, dan banyak siswa pria = L maka:
Data Aisyah:
5/17 dari temannya, sahabat Aisyah = n -1 maka:
$\frac{5}{17}(n-1)=L$
Data Ahmad:
2/7 dari temannya (n – 1) di kelas 1 yakni pria (L-1, lantaran Ahmad tidak termasuk), maka:
$\frac{2}{7}(n-1)=L-1$
$\frac{2}{7}(n-1)+1=L$
$\frac{2}{7}(n-1)+1=\frac{5}{17}(n-1)$
$\left( \frac{2}{7}-\frac{5}{17} \right)(n-1)=-1$
$\left( \frac{-1}{119} \right)(n-1)=-1$
$n-1=119\Leftrightarrow n=120$
$L=\frac{5}{17}(n-1)\Leftrightarrow L=\frac{5}{17}(120-1)=35$
Perempuan = 120 - 35 = 85 orang.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 5
Jika $-3\le x\le 4$, $-2\le y\le 5$, $4\le z\le 10$, dan $w=z-xy$, maka nilai terbesar yang mungkin untuk $w$ yakni …
A. 10 B. 16 C. 18 D. 25 E. 30
Pembahasan:
$-3\le x\le 4$
$-2\le y\le 5$
$4\le z\le 10$
$w=z-xy$ maka supaya w maksimum maka nilai z = 10,
Agar w maksimum maka xy harus minimum
Itu diperoleh bila x = -3 dan y = 5, maka xy = -15
${{w}_{maks}}=z-xy\Leftrightarrow w=10-(-15)=25$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 6
Jika $\sqrt{2+2\cos 2x}=\frac{3}{\sqrt{1+4\cos 2x}}$ untuk $0 < x < 2\pi$, $4\cos 2x\ne -1$, maka jumlah nilai x yang memenuhi yakni ….
B. ${{480}^{o}}$
C. ${{390}^{o}}$
D. ${{360}^{o}}$
E. ${{240}^{o}}$
Pembahasan:
$\sqrt{2+2\cos 2x}=\frac{3}{\sqrt{1+4\cos 2x}}$
$2+2\cos 2x=\frac{9}{1+4\cos 2x}$
Misal: cos 2x = p, maka:
$2+2p=\frac{9}{1+4p}$
$2+8p+2p+8{{p}^{2}}=9$
$8{{p}^{2}}+10p-7=0$
$(4p+7)(2p-1)=0$
$p=-\frac{7}{4}$ atau $p=\frac{1}{2}$
$p=-\frac{7}{4}\Rightarrow \cos 2x=-\frac{7}{4}(TM)$
$p=\frac{1}{2}$, maka:
$\cos 2x=\frac{1}{2}$
$\cos 2x=\cos {{60}^{o}}$
$2x=\pm {{60}^{o}}+k{{.360}^{o}}$
$x=\pm {{30}^{o}}+k{{.180}^{o}}$
$k=0\Rightarrow {{x}_{1}}={{30}^{o}}$
$k=1\Rightarrow {{x}_{2}}={{210}^{o}},{{x}_{3}}={{150}^{o}}$
$k=2\Rightarrow {{x}_{4}}={{330}^{o}}$
Jumlah semua x adalah:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+{{x}_{4}}={{720}^{o}}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 7
Banyaknya bilangan ratusan kelipatan 5 yang sanggup disusun dari digit 0, 1, 2, 3, 4, 5 dengan digit yang berbeda yakni …
A. 24 B. 30 C. 32 D. 36 E. 40
Pembahasan:
Dengan pengisian daerah yang tersedia, misalkan bilangan itu yakni ABC.
A = angka ratusan, B = angka puluhan, dan C = angka satuan.
Langkah:
1. pilih angka untuk satuan (C)
2. pilih angka untuk ratusan (A)
3. pilih angka untuk puluhan (B)
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 8
Jika diketahui $x$ dan $y$ yakni bilangan riil dengan $x > 1$ dan $y > 0.$ Jika $xy={{x}^{y}}$ dan $\frac{x}{y}={{x}^{5y}}$ maka ${{x}^{2}}+3y$ = …
A. 29 B. 28 C. 27 D. 26 E. 25
Pembahasan:
$x > 0$ dan $y > 0$
$xy={{x}^{y}}$
$y={{x}^{y-1}}$ … (1)
$\frac{x}{y}={{x}^{5y}}$
$x={{x}^{5y}}.y$
$x={{x}^{5y}}.{{x}^{y-1}}$
${{x}^{1}}={{x}^{6y-1}}$
$1=6y-1$
$2=6y\Leftrightarrow y=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$y={{x}^{y-1}}$
$\frac{1}{3}={{x}^{\frac{1}{3}-1}}$
$\frac{1}{3}=\frac{1}{{{x}^{\frac{2}{3}}}}$
${{x}^{\frac{2}{3}}}=3\Leftrightarrow x={{3}^{\frac{3}{2}}}$
maka,
${{x}^{2}}+3y={{\left( {{3}^{\frac{3}{2}}} \right)}^{2}}+3.\frac{1}{3}=27+1=28$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 9
Dalam sebuah bujur kandang dibuat empat buah persegipanjang yang sama sehingga terdapat bujursangkar kecil di dalamnya (seperti tampak dalam gambar). Jika diketahui luas bujursangkar besar yakni sembilan kali lebih besar dari luas bujursangkar kecil, maka perbandingan sisi panjang dan sisi pendek dari persegi panjang yakni ….
A. $\frac{5}{4}$ B. $\frac{4}{3}$ C. $\frac{3}{2}$ D. 2 E. $\frac{5}{2}$
Pembahasan:
Luas bujur kandang besar = 9 x Luas bujur kandang kecil
Maka: ${{s}_{b}}=3;{{s}_{k}}=1$
A. $\frac{5}{4}$ B. $\frac{4}{3}$ C. $\frac{3}{2}$ D. 2 E. $\frac{5}{2}$
Pembahasan:
Luas bujur kandang besar = 9 x Luas bujur kandang kecil
Maka: ${{s}_{b}}=3;{{s}_{k}}=1$
Jadi, $\frac{sisiterpanjang}{sisiterpendek}=\frac{2}{1}=2$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 10
Dua parabola mempunyai klimaks yang sama. Parabola pertama memotong sumbu X di titik (a, 0) dan (b, 0) serta memotong sumbu Y di (0, -32). Parabola kedua definitif positif dan memotong sumbu Y di titik (0, 40). Jika a dan b dua bilangan lingkaran positif pertama yang habis dibagi 4, maka persamaan parabola kedua yakni …
A. $y={{x}^{2}}+40$
B. $y={{x}^{2}}-30$
C. $y={{x}^{2}}-12x-32$
D. $y={{x}^{2}}+12x+40$
E. $y={{x}^{2}}-12x+40$
Pembahasan:
a dan b dua bilangan lingkaran positif pertama yang habis dibagi 4, diperoleh a = 4 dan b = 8.
parabola I (${{y}_{1}}$) memotong sumbu X di $(4,0)$ dan $(8,0)$ maka:
${{y}_{1}}=k(x-4)(x-8)$, melalui titik $(0,-32)$
$-32=k(0-4)(0-8)$
$-32=32k\Leftrightarrow k=-1$
${{y}_{1}}=-1(x-4)(x-8)$
Puncak ${{y}_{1}}$ di $x=\frac{4+8}{2}=6$
${{y}_{1}}=-1(6-4)(6-8)=4$
Puncak ${{y}_{1}}$ sama dengan puncak parabola II (${{y}_{2}}$) yaitu di $(6,4)$, maka:
${{y}_{2}}=p{{(x-6)}^{2}}+4$ melalui titik $(0,40)$
$40=p{{(0-6)}^{2}}+4\Leftrightarrow p=1$
${{y}_{2}}=1{{(x-6)}^{2}}+4$
${{y}_{2}}={{x}^{2}}-12x+40$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 11
Jika garis singgung parabola $y=4x-{{x}^{2}}$ di titik M(1, 3) juga merupakan garis singgung parabola $y={{x}^{2}}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ yakni …
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
Pembahasan:
Persamaan garis singgung Parabola I:
$y=4x-{{x}^{2}}$
$y'=4-2x$ di titik M(1, 3) adalah:
$m={{\left. y' \right|}_{x=1}}\Leftrightarrow m=4-2.1=2$
$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$
$y-3=2(x-1)$
$y=2x+1$
Persamaan garis singgung Parabola II sama dengan garis singgung parabola I:
$y={{x}^{2}}-6x+k$
$y'=2x-6\Leftrightarrow 2=2x-6\Leftrightarrow {{x}_{2}}=4$
Garis singgungnya:
$y=2x+1\Leftrightarrow {{y}_{2}}=2.4+1=9$
$y={{x}^{2}}-6x+k$ melalui titik $(4,9)$ maka:
$9={{4}^{2}}-6.4+k\Leftrightarrow k=17$
$5-\sqrt{k-1}=5-\sqrt{17-1}=1$
Jawaban: B
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 10
Dua parabola mempunyai klimaks yang sama. Parabola pertama memotong sumbu X di titik (a, 0) dan (b, 0) serta memotong sumbu Y di (0, -32). Parabola kedua definitif positif dan memotong sumbu Y di titik (0, 40). Jika a dan b dua bilangan lingkaran positif pertama yang habis dibagi 4, maka persamaan parabola kedua yakni …
A. $y={{x}^{2}}+40$
B. $y={{x}^{2}}-30$
C. $y={{x}^{2}}-12x-32$
D. $y={{x}^{2}}+12x+40$
E. $y={{x}^{2}}-12x+40$
Pembahasan:
a dan b dua bilangan lingkaran positif pertama yang habis dibagi 4, diperoleh a = 4 dan b = 8.
parabola I (${{y}_{1}}$) memotong sumbu X di $(4,0)$ dan $(8,0)$ maka:
${{y}_{1}}=k(x-4)(x-8)$, melalui titik $(0,-32)$
$-32=k(0-4)(0-8)$
$-32=32k\Leftrightarrow k=-1$
${{y}_{1}}=-1(x-4)(x-8)$
Puncak ${{y}_{1}}$ di $x=\frac{4+8}{2}=6$
${{y}_{1}}=-1(6-4)(6-8)=4$
Puncak ${{y}_{1}}$ sama dengan puncak parabola II (${{y}_{2}}$) yaitu di $(6,4)$, maka:
${{y}_{2}}=p{{(x-6)}^{2}}+4$ melalui titik $(0,40)$
$40=p{{(0-6)}^{2}}+4\Leftrightarrow p=1$
${{y}_{2}}=1{{(x-6)}^{2}}+4$
${{y}_{2}}={{x}^{2}}-12x+40$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 11
Jika garis singgung parabola $y=4x-{{x}^{2}}$ di titik M(1, 3) juga merupakan garis singgung parabola $y={{x}^{2}}-6x+k$, maka nilai dari $5-\sqrt{k-1}$ yakni …
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
Pembahasan:
Persamaan garis singgung Parabola I:
$y=4x-{{x}^{2}}$
$y'=4-2x$ di titik M(1, 3) adalah:
$m={{\left. y' \right|}_{x=1}}\Leftrightarrow m=4-2.1=2$
$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$
$y-3=2(x-1)$
$y=2x+1$
Persamaan garis singgung Parabola II sama dengan garis singgung parabola I:
$y={{x}^{2}}-6x+k$
$y'=2x-6\Leftrightarrow 2=2x-6\Leftrightarrow {{x}_{2}}=4$
Garis singgungnya:
$y=2x+1\Leftrightarrow {{y}_{2}}=2.4+1=9$
$y={{x}^{2}}-6x+k$ melalui titik $(4,9)$ maka:
$9={{4}^{2}}-6.4+k\Leftrightarrow k=17$
$5-\sqrt{k-1}=5-\sqrt{17-1}=1$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 12
$\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{x}^{2}}-x-6}\ge 0$
$\frac{(x+3)(x-1)}{(x-3)(x+2)}\ge 0$
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut, $\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{x}^{2}}-x-6}} < \left| \frac{x-1}{x+2} \right|$ yakni …
A. {$x|x < -3 \cup -2 < x \le -\frac{1}{3}, x \in R$}
B. {$x|x \le -3 \cup -2 < x < -\frac{1}{3}, x \in R$}
C. {$x|x < -\frac{1}{3} \cup 1 < x < 3, x \in R$}
D. {$x|x \le -3 \cup -2 < x \le 1, x \in R$}
E. {$x|-3 \le x < -2 \cup 1 \le x < 3, x \in R$}
Pembahasan:
(i)$\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{x}^{2}}-x-6}\ge 0$
$\frac{(x+3)(x-1)}{(x-3)(x+2)}\ge 0$
(ii)
$\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{x}^{2}}-x-6}} < \left| \frac{x-1}{x+2} \right|$
$\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{x}^{2}}-x-6} < \frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
$\frac{(x+3)(x-1)}{(x-3)(x+2)}-\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} < 0$
$\frac{(x+3)(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+2)(x+2)}-\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}(x-3)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}(x-3)} < 0$
$\frac{(3x+1)(x-1)}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}(x-3)} < 0$
Dari (i) dan (ii) maka diperoleh penyelesaian:
$x \le -3$ atau $-2 < x < -\frac{1}{3}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 13
Jika kedua akar persamaan $p{{x}^{2}}+8x+3p=0$ bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut bernilai …
A. maksimum 30
B. minimum 30
C. minimum 6
D. maksimum 6
E. minimum -15/2
Pembahasan:
$p{{x}^{2}}+8x+3p=0$, ${{x}_{1}} < 0$ dan ${{x}_{2}} < 0$
1) ${{x}_{1}}+{{x}_{2}} < 0 \Leftrightarrow \frac{-8}{p} < 0\Leftrightarrow p > 0$
2) ${{x}_{1}}.{{x}_{2}} > 0 \Leftrightarrow \frac{3p}{p} > 0 \Leftrightarrow 3 > 0$ (memenuhi)
3) $D\ge 0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-4ac\ge 0$
${{8}^{2}}-4.p.3p\ge 0$
$64-12{{p}^{2}}\ge 0$
$3{{p}^{2}}-16\le 0$
${{p}^{2}}\le \frac{16}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{{{p}^{2}}}\le \frac{3}{16}$
$\begin{align}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}&={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \\ & ={{\left( \frac{-8}{p} \right)}^{2}}-2.\frac{3p}{p} \\ & =\frac{64}{{{p}^{2}}}-6 \\ {{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})}_{\min }}&=64.\frac{3}{16}-6=6 \end{align}$
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 14
Sebuah lingkaran mempunyai jari-jari $\log {{a}^{2}}$ dan keliling $\log {{b}^{4}}$, maka ${}^{a}\log b$ = …
A. $\frac{1}{4\pi }$ B. $\frac{1}{\pi }$ C. $\pi $ D. $2\pi $ E. ${{10}^{2\pi }}$
Pembahasan:
$r=\log {{a}^{2}}$
$\begin{align} k&=\log {{b}^{4}} \\ 2\pi r &=\log {{b}^{4}} \\ 2\pi .\log {{a}^{2}} &=\log {{b}^{4}} \\ 2\pi .2.\log a &=4.\log b \\ \pi .\log a &=\log b \\ \pi &=\frac{\log b}{\log a} \\ {}^{a}\log b &=\pi \end{align}$
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 15
Misalkan a dan b yakni sudut lancip yang dibuat oleh sumbu X dengan garis singgung kurva $y=-{{x}^{2}}+6x-8$ di titik potong kurva tersebut dengan garis $y=2x-5$, maka $\sin (a-b)$ = …
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{\sqrt{15}}$
D. $\frac{4}{17}\sqrt{17}$
E. 4
Pembahasan:
*) Titik potong
$y=-{{x}^{2}}+6x-8$ dan $y=2x-5$
$-{{x}^{2}}+6x-8=2x-5$
$-{{x}^{2}}+4x-3=0$
${{x}^{2}}-4x+3=0$
$(x-1)(x-3)=0$
${{x}_{1}}=1$ atau ${{x}_{2}}=3$
*) Menentukan tan a dan tan b
$y=-{{x}^{2}}+6x-8$
$y'=-2x+6$
$\tan a=y'{{|}_{x=1}}=-2.1+6=4$
$\tan b=y'{{|}_{x=3}}=-2.3+6=0$
$\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$
$\tan (a-b)=\frac{4-0}{1+4.0}=\frac{4}{1}=\frac{de}{sa}$
$mi=\sqrt{d{{e}^{2}}+s{{a}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}+{{1}^{2}}}=\sqrt{17}$
$\sin (a-b)=\frac{de}{mi}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4}{17}\sqrt{17}$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 16
Jika titik A(a, c) dan B(b, d) yakni dua titik berbeda yang terletak pada kurva $y={{x}^{2}}+x+3$, maka garis AB akan memotong sumbu Y pada …
A. $y=\frac{a+b+3}{ab-3}$
B. $y={{a}^{2}}+a+3$
C. $y={{b}^{2}}+b+3$
D. $y={{a}^{2}}-{{b}^{2}}+3$
E. $y=3-ab$
Pembahasan:
$y={{x}^{2}}+x+3$
$A(a,c)\Rightarrow c={{a}^{2}}+a+3$
$B(b,d)\Rightarrow d={{b}^{2}}+b+3$
Kurangkan kedua persamaan maka:
$d-c=({{b}^{2}}+b+3)-({{a}^{2}}+a+3)$
$d-c={{b}^{2}}-{{a}^{2}}+b-a$
$d-c=(b+a)(b-a)+(b-a)$
Persamaan garis yang melalui titik A dan titik B
$y-c=\left( \frac{d-c}{b-a} \right)(x-a)$
Menentukan titik potong sumbu Y
$y=\left( \frac{d-c}{b-a} \right)(x-a)+c$
$y=\left( \frac{(b+a)(b-a)+(b-a)}{b-a} \right)(0-a)+c$
$y=\left( b+a+1 \right)(-a)+{{a}^{2}}+a+3$
$y=-ab-{{a}^{2}}-a+{{a}^{2}}+a+3$
$y=3-ab$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 17
Misalkan rata-rata nilai ujian matematika dari 30 siswa yakni 8,4. Jika nilai yang terkecil tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi 8,5, sedangkan bila nilai terbesarnya tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi 8,2. Jangkauan dari nilai ujian matematika yakni …
A. 6,7 B. 7,4 C. 7,8 D. 8,2 E. 8,7
Pembahasan:
Misalkan data: ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}},...,{{x}_{30}}$, maka:
${{x}_{30}}=30(8,4)-29(8,2)=14,2$
${{x}_{1}}=30(8,4)-29(8,5)=5,5$
Jangkauan = ${{x}_{30}}-{{x}_{1}}=14,2-5,5=8,7$
Jawaban: E
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 18 hingga 20.
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 18
Apabila $k=x+y$, maka ${{k}^{2}}-k=1$ dan apabila $k=x-y$, maka ${{k}^{2}}+k=1$, maka $x+y$ = …
(1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$
(2) $\frac{1}{2}$
(3) $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{5}$
(4) $\frac{1}{2}\sqrt{5}$
Pembahasan:
$k=x+y$, maka:
${{k}^{2}}-k=1$
${{(x+y)}^{2}}-(x+y)=1$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy-x-y=1$ …. (1)
$k=x-y$, maka:
${{(x-y)}^{2}}+(x-y)=1$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy+x-y=1$ …. (2)
Persamaan (1) dikurang dengan persamaan (2), diperoleh:
$4xy-2x=0$
$2x(2y-1)=0$
$x=0$ atau $y=\frac{1}{2}$
$x=0\Rightarrow y=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow x+y=\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{5}$
$y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{1}{2}\sqrt{5}\Rightarrow x+y=\frac{1}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{5}$
Jadi, pernyataan (1) dan (3) BENAR, maka opsi B
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 19
Jika persamaan matriks ${{D}^{-1}}.{{B}^{-1}}-{{D}^{-1}}.{{C}^{-1}}=A$, $A\ne 0$, maka pernyataan tersebut setara dengan …
(1) BD = CD
(2) B = C
(3) ABD = ACD
(4) ${{B}^{-1}}-{{C}^{-1}}=DA$
Pembahasan:
${{D}^{-1}}.{{B}^{-1}}-{{D}^{-1}}.{{C}^{-1}}=A$
$D({{D}^{-1}}.{{B}^{-1}}-{{D}^{-1}}.{{C}^{-1}})=D.A$
${{B}^{-1}}-{{C}^{-1}}=D.A$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2012 No. 20
Pada segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di C, besar $\angle A={{15}^{o}}$ dan panjang sisi AB = 5 cm. Titik D pada sisi AB sedemikian sehingga CD tegak lurus AB dan $\angle BCD=\angle A$. Pernyataan berikut ini yang benar yakni …
(1) $AD=5{{\sin }^{2}}{{15}^{o}}$
(2) $CD=5\sin {{15}^{o}}\cos {{15}^{o}}$
(3) AD < CD
(4) BD < AD
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut:
*) BC = $5\sin {{15}^{o}}$
*) CD = AC.$\sin {{15}^{o}}$, maka:
CD = $5\sin {{15}^{o}}.\cos {{15}^{o}}$ (BENAR)
*) AD = AC.$\cos {{15}^{o}}$
AD = 5.${{\cos }^{2}}{{15}^{o}}$
*) $AD
$\cos {{15}^{o}} < \sin {{15}^{o}}$ (SALAH)
*) BD < AD
$5-AD < AD$
$5-5{{\cos }^{2}}{{15}^{o}} < 5{{\cos }^{2}}{{15}^{o}}$
$5(1-{{\cos }^{2}}{{15}^{o}}) < 5{{\cos }^{2}}{{15}^{o}}$
$si{{n}^{2}}{{15}^{o}} < {{\cos }^{2}}{{15}^{o}}$ (BENAR)
Jawaban: C
Artikel Terkait: |
Sumber http://www.catatanmatematika.com