Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 1
Misalkan A yakni suatu matriks $2\times 2$. Jika ${{A}^{2}}-5A+7I=0$ maka jumlah elemen-elemen diagonal utama dari matriks A yakni …A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
Pembahasan:
Misalkan $A=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$ maka:
${{A}^{2}}=\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$
${{A}^{2}}=\left( \begin{matrix} {{a}^{2}}+bc & ad+bd \\ ac+cd & bc+{{d}^{2}} \\ \end{matrix} \right)$
${{A}^{2}}-5A+7I=0$
$\left( \begin{matrix} {{a}^{2}}+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+{{d}^{2}} \\ \end{matrix} \right)-5\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)+7\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)=0$
$\left( \begin{matrix} {{a}^{2}}+bc & ab+bd \\ ac+cd & bc+{{d}^{2}} \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5a & 5b \\ 5c & 5d \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \\ \end{matrix} \right)=0$
$\left( \begin{matrix} {{a}^{2}}+bc-5a+7 & ab+bd-5b \\ ac+cd-5c & bc+{{d}^{2}}-5d+7 \\ \end{matrix} \right)=0$
$\left( \begin{matrix} {{a}^{2}}+bc-5a+7 & b(a+d-5) \\ c(a+d-5) & bc+{{d}^{2}}-5d+7 \\ \end{matrix} \right)=0$
$\begin{align} b(a+d-5) &= 0 \\ a+d-5 &= 0 \\ a+d &= 5 \end{align}$
Jadi, jumlah diagonal utama adalah: $a+d=5$
Jawaban: D
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 2
Jika sistem persamaan $\left\{ \begin{align} ax+2y &=b+1 \\ x+y &= 3 \end{align} \right.$ dan $\left\{ \begin{align} 2x+y &= {{a}^{2}}+2 \\ x+3y &= 3 \end{align} \right.$
Mempunyai solusi yang sama, maka banyaknya pasangan bilangan $(a,b)$ yakni …
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. tak berhingga
Pembahasan:
$ax+2y=b+1$ … (1)
$x+y=3$ … (2)
$2x+y={{a}^{2}}+2$ … (3)
$x+3y=3$ … (4)
Pers (2) dikurang (4) maka:
$x+y=3$
$x+3y=3$
------------ (-)
$-2y=0\Leftrightarrow y=0,x=3$
Nilai $x=3,\,y=0$ substitusi ke persamaan (3) diperoleh:
$\begin{align} 2.3+0 &= {{a}^{2}}+2 \\ {{a}^{2}}-4 &= 0 \\ (a+2)(a-2) &= 0 \end{align}$
$a=-2$ atau $a=2$
Substitusi ke (1):
$ax+2y=b+1$
$a.3+2.0-1=b$
$b=3a-1$
$a=-2\to b=3(-2)-1\Leftrightarrow b=-7$
$a=2\to b=3.2-1\Leftrightarrow b=5$
Nilai $(a,b)$adalah$(-2,-7)$ atau $(2,5)$maka ada 2 pasang.
Jawaban: C
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 3
Misalkan $f(x)$ yakni suatu polinomial derajat tiga yang akar-akarnya membentuk barisan aritmetika dengan nilai suku ketiga yakni tiga kali nilai suku pertama; dan jumlah akar-akarnya sama dengan 12, maka sisa dari pembagian $f(x+6)$ oleh ${{x}^{2}}+1$ yakni …A. $7x-6$
B. $x+6$
C. $6x-7$
D. $x-6$
E. $x+1$
Pembahasan:
Misalkan $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan ${{x}_{3}}$.
Barisan Aritmetika:
${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan ${{x}_{3}}$
$2{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{3}}$ … (1)
${{x}_{3}}=3{{x}_{1}}$ … (2)
Jumlah akar-akar:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=12$ … (3)
Dari (1) dan (3)
$\begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} &= 12 \\ ({{x}_{1}}+{{x}_{3}})+{{x}_{2}} &= 12 \\ 2{{x}_{2}}+{{x}_{2}} &= 12 \\ 3{{x}_{2}} &= 12 \\ {{x}_{2}} &= 4 \end{align}$
Substitusi ${{x}_{2}}=4$ dan ${{x}_{3}}=3{{x}_{1}}$ ke (1) diperoleh:
$2.4={{x}_{1}}+3{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}=2$
${{x}_{3}}=3{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{3}}=3.2=6$
$\begin{align} f(x) &= (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})(x-{{x}_{3}}) \\ f(x) &= (x-2)(x-4)(x-6) \\ f(x+6) &= (x+6-2)(x+6-4)(x+6-6) \\ &=(x+4)(x+2)x \\ f(x+6) &= {{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+8x \end{align}$
Sisa $f(x+6):({{x}^{2}}+1)$
Substitusi ${{x}^{2}}=-1$ ke:
$f(x+6)={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+8x$
$\begin{align} sisa &= {{x}^{2}}.x+6{{x}^{2}}+8x \\ &= -x+6(-1)+8x \\ &= 7x-6 \end{align}$
Jawaban: A
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 4
Nilai-nilai $x$, untuk ${{0}^{o}}\le x\le {{360}^{o}}$ yang memenuhi $\sin x+\sin 2x > \sin 3x$ yakni …A. ${{0}^{o}} < x < {{120}^{o}}$, ${{180}^{o}} < x < {{240}^{o}}$
B. ${{0}^{o}} < x < {{150}^{o}}$, ${{180}^{o}} < x < {{270}^{o}}$
C. ${{120}^{o}} < x < {{180}^{o}}$, ${{240}^{o}} < x < {{360}^{o}}$
D. ${{150}^{o}} < x < {{180}^{o}}$, ${{270}^{o}} < x < {{360}^{o}}$
E. ${{0}^{o}} < x < {{135}^{o}}$, ${{180}^{o}} < x < {{270}^{o}}$
Pembahasan:
$\sin x+\sin 2x > \sin 3x$
$\sin 2x > \sin 3x-\sin x$
$2\sin x.\cos x > 2.\cos \left( \frac{3x+x}{2} \right).\sin \left( \frac{3x-x}{2} \right)$
$2\sin x.\cos x > 2\cos 2x.\sin x$
$\sin x.\cos x > (2{{\cos }^{2}}x-1)\sin x$
$\sin x(\cos x-2{{\cos }^{2}}x+1) > 0$
$\sin x(2{{\cos }^{2}}x-\cos x-1) < 0$
$\sin x(2\cos x+1)(\cos x-1) < 0$ $x$
pembuat nol:
$\begin{align} \sin x &= 0 \\ x &= {{0}^{o}} \\ x &= {{180}^{o}} \end{align}$
$\begin{align} 2\cos x+1 &= 0 \\ \cos x &= -\frac{1}{2} \\ x &= {{120}^{o}} \\ x &= {{240}^{o}} \end{align}$
$\begin{align} \cos x-1 &= 0 \\ \cos x &= 1 \\ x &= {{0}^{o}} \\ x &= {{360}^{o}} \end{align}$
${{0}^{o}} < x < {{120}^{o}}$, ${{180}^{o}} < x < {{240}^{o}}$
Jawaban: A
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 5
Pada suatu barisan geometri dengan $r>1$, diketahui dua kali jumlah empat suku pertama yakni tiga kali jumlah dua suku genap pertama. Jika di antara suku-suku tersebut disisipkan empat bilangan, dengan cara: antara suku kedua dan suku ketiga disisipkan satu bilangan, dan antara suku ketiga dan keempat disisipkan tiga bilangan maka akan terbentuk barisan aritmetika dengan beda $r$. Jumlah bilangan yang disisipkan yakni …A. 14
B. 24
C. 28
D. 32
E. 42
Pembahasan:
Deret geometri dengan $r>1$
$\begin{align} 2{{S}_{4}} &= 3({{U}_{2}}+{{U}_{4}}) \\ 2\left( \frac{a({{r}^{4}}-1)}{r-1} \right) &= 3(ar+a{{r}^{3}}) \\ \frac{2a({{r}^{2}}+1)(r+1)(r-1)}{(r-1)} &= 3ar({{r}^{2}}+1) \\ 2r+2 &= 3r \\ r &= 2 \end{align}$
Barisan Geometri:
$a$, $2a$, $4a$, $8a$
Barisan Aritmetika: $b=r=2$
$a$, $2a$, …, $4a$, …, …., …., $8a$
$a$, $2a$, ${{U}_{3}}$, $4a$, ${{U}_{5}}$, ${{U}_{6}}$, ${{U}_{7}}$, $8a$
$\begin{align} b &= 2a-a \\ b &= a \\ 2 &= a \end{align}$
Jumlah bilangan yang disisipkan:
= ${{U}_{3}}+{{U}_{5}}+{{U}_{6}}+{{U}_{7}}$
= $(a+2b)+(a+4b)+(a+5b)+(a+6b)$
= $4a+17b$
= $4.2+17.2$
= 42
Jawaban: E
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 6
Jika $\sin x-\sin y=-\frac{1}{3}$ dan $\cos x-\cos y=\frac{1}{2}$, maka nilai dari $\sin (x+y)$ = ….A. $\frac{12}{13}$
B. $\frac{12}{15}$
C. $\frac{12}{17}$
D. $\frac{12}{19}$
E. $\frac{12}{21}$
Pembahasan:
$\sin x-\sin y=-\frac{1}{3}$
$2\cos \frac{1}{2}(x+y).\sin \frac{1}{2}(x-y)=-\frac{1}{3}$ … (1)
$\cos x-\cos y=\frac{1}{2}$
$-2\sin \frac{1}{2}(x+y).\sin \frac{1}{2}(x-y)=\frac{1}{2}$ … (2)
Persamaan (2) dibagi persamaan (1):
$\frac{-2\sin \frac{1}{2}(x+y).\sin \frac{1}{2}(x-y)}{2\cos \frac{1}{2}(x+y).\sin \frac{1}{2}(x-y)}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{1}{3}}$
$-\tan \frac{1}{2}(x+y)=\frac{-3}{2}$
$\tan \frac{1}{2}(x+y)=\frac{3}{2}=\frac{de}{sa}$
$\begin{align} mi &= \sqrt{d{{e}^{2}}+s{{a}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}} \\ mi &= \sqrt{13} \end{align}$
$\sin \frac{1}{2}(x+y)=\frac{de}{mi}=\frac{3}{\sqrt{13}}$
$\cos \frac{1}{2}(x+y)=\frac{sa}{mi}=\frac{2}{\sqrt{13}}$
$\begin{align} \sin (x+y) &= 2.\sin \frac{1}{2}(x+y).\cos \frac{1}{2}(x+y) \\ &= 2.\frac{3}{\sqrt{13}}.\frac{2}{\sqrt{13}} \\ &= \frac{12}{13} \end{align}$
Jawaban: A
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 7
Sebuah kerucut tegak tanpa bantalan diletakkan terbalik. Sebuah bola berdiameter 16 cm dimasukkan ke dalam kerucut sehingga semua bab bola masuk ke dalam kerucut. Kerucut dengan volume terkecil yang mungkin memiliki ukuran tinggi …A. $8\sqrt{2}$ cm
B. $8\sqrt{3}$ cm
C. $16\sqrt{2}$ cm
D. 24 cm
E. 32 cm
Pembahasan:
Perhatikan skema gambar berikut:
Perhatikan segitiga BDC:
CD = t, BD = r, maka BC = $\sqrt{{{r}^{2}}+{{t}^{2}}}$
Perhatikan segitiga CEO:
OC = $t-8$, OE = 8
Segitiga BDC sebangun dengan segitiga CEO, maka:
$\begin{align} \frac{BD}{OE} &= \frac{BC}{OC} \\ \frac{r}{8} &= \frac{\sqrt{{{r}^{2}}+{{t}^{2}}}}{t-8} \\ 8\sqrt{{{r}^{2}}+{{t}^{2}}} &= r(t-8) \\ 64({{r}^{2}}+{{t}^{2}}) &= {{r}^{2}}{{(t-8)}^{2}} \\ {{r}^{2}}[(64-{{(t-8)}^{2}}] &= -64{{t}^{2}} \\ {{r}^{2}}(-{{t}^{2}}+16t) &= -64{{t}^{2}} \\ {{r}^{2}} &= \frac{-64{{t}^{2}}}{-{{t}^{2}}+16t} \\ {{r}^{2}} &= \frac{64t}{t-16} \end{align}$
Volume kerucut:
$\begin{align} V &= \frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}t \\ & = \frac{1}{3}\pi .\frac{64t}{t-16}.t \\ V &= \frac{64\pi }{3}.\frac{{{t}^{2}}}{t-16} \end{align}$
$\begin{align} \frac{dV}{dt} &= 0 \\ \frac{64\pi }{3}\left( \frac{2t(t-16)-{{t}^{2}}}{{{(t-6)}^{2}}} \right) &= 0 \\ 2{{t}^{2}}-32t-{{t}^{2}} &= 0 \\ {{t}^{2}}-32t &= 0 \\ t(t-32) &= 0 \\ t &= 32 \end{align}$
Jawaban: E
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 8
Misalkan salah satu akar dari persamaan $(k-5){{x}^{2}}-2kx+k-4=0$ bernilai lebih dari 2 dan salah satu akar yang lain bernilai kurang dari 1, maka himpunan semua bilangan $k$ yang memenuhi yakni …A. $\{k\in R|5 < k < 24 \}$
B. $\{k\in R|5 < k < 20 \}$
C. $\{k\in R|15 < k < 24 \}$
D. $\{k\in R|k > 5 \}$
E. $\{k\in R|k > 24 \}$
Pembahasan:
$(k-5){{x}^{2}}-2kx+k-4=0$
$\begin{align} {{x}_{1}} &> 2 \\ {{x}_{1}}-2 &> 0 \end{align}$ dan $\begin{align} {{x}_{2}} &< 1 \\ {{x}_{2}}-1 &< 0 \end{align}$
$\begin{align} ({{x}_{1}}-2)({{x}_{2}}-1) &< 0 \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}-{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}+2 &< 0 \end{align}$
Ada 2 kemungkinan:
Kemungkinan I:
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}-{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}+2 < 0$
${{x}_{1}}{{x}_{2}}-({{x}_{1}}+{{x}_{2}})-{{x}_{2}}+2 < 0$
$\frac{(k-4)}{(k-5)}-\frac{2k}{k-5}+2<{{x}_{2}} < 1$
$\frac{-k-4}{k-5}+1 < 0$
$\frac{-k-4+k-5}{k-5} < 0$
$\frac{-9}{k-5} < 0$
$k > 5$
Kemungkinan II:
${{x}_{1}}{{x}_{2}}-{{x}_{1}}-2{{x}_{2}}+2 < 0$ ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{x}_{1}}+2 < 0$
$\frac{k-4}{k-5}-2.\frac{2k}{k-5}+{{x}_{1}}+\frac{2(k-5)}{k-5} < 0$
$\frac{k-4}{k-5}-\frac{4k}{k-5}+{{x}_{1}}+\frac{2k-10}{k-5} < 0$
$\frac{-k-14}{k-5}+{{x}_{1}} < 0$ ${{x}_{1}} < \frac{k+14}{k-5}$,
ingat ${{x}_{1}} > 2\Leftrightarrow 2 < {{x}_{1}}$
$2 < {{x}_{1}} < \frac{k+14}{k-5}$
$2 < \frac{k+14}{k-5}$
$\frac{2(k-5)}{k-5}-\frac{k+14}{k-5} < 0$
$\frac{k-24}{k-5} < 0$, alasannya yakni $k-5 > 0$ maka $k-24 < 0\Leftrightarrow k < 24$
Dari I dan II diperoleh: $\{k\in R|5 < k < 24 \}$
Jawaban: A
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 9
Misalkan fungsi $f:R\to R$ dan $g:R\to R$ didefinisikan dengan $f(x)=1+\frac{1}{x}$ dan $g(x)=1-\frac{1}{x}$. Batas nilai $x$ dimana berlaku $(f\circ g)(x) < (g\circ f)(x)$ yakni …A. $-1 < x < 1$
B. $-1 < x < 0$
C. $0 < x < 1$
D. $x < -1$ atau $x > 1$
E. $-1 < x < 0$ atau $0 < x < 1$
Pembahasan:
$f(x)=1+\frac{1}{x}\Leftrightarrow f(x)=\frac{x+1}{x}$
$g(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$
$(f\circ g)(x) < (g\circ f)(x)$
$f(g(x)) < g(f(x))$
$f\left( \frac{x-1}{x} \right) < g\left( \frac{x+1}{x} \right)$
$\frac{\frac{x-1}{x}+1}{\frac{x-1}{x}} < \frac{\frac{x+1}{x}-1}{\frac{x+1}{x}}$
$\frac{\frac{2x-1}{x}}{\frac{x-1}{x}} < \frac{\frac{1}{x}}{\frac{x+1}{x}}$
$\frac{2x-1}{x-1} < \frac{1}{x+1}$ $\frac{2x-1}{x-1}-\frac{1}{x+1} < 0$
$\frac{(2x-1)(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} < 0$ $\frac{2{{x}^{2}}+2x-x-1-x+1)}{(x-1)(x+1)} < 0$
$\frac{2{{x}^{2}}}{(x-1)(x+1)} < 0$,
alasannya yakni $2{{x}^{2}} > 0$ atau $x \ne 0$ maka:
$(x-1)(x+1) < 0$ $-1 < x < 1$ , $x\ne 0$
HP = {$-1 < x < 1$ atau $-1 < x < 1$}
Jawaban: E
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 10
Jika kawasan yang dibatasi oleh sumbu Y, kurva $y={{x}^{2}}$ dan garis $y={{a}^{2}}$ dimana $a \ne 0$ diputar mengelilingi sumbu X volumenya sama dengan kalau kawasan itu diputar mengelilingi sumbu Y. Nilai $a$ yang memenuhi yakni …A. $\frac{5}{8}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{8}{5}$
E. $\frac{5}{2}$
Pembahasan:
Volume diputar sumbu X = Volume diputar sumbu Y
$\begin{align} \pi \int\limits_{0}^{a}{({{a}^{4}}-{{x}^{4}})dx} &= \pi \int\limits_{0}^{{{a}^{2}}}{ydy} \\ \int\limits_{0}^{a}{({{a}^{4}}-{{x}^{4}})dx} &= \int\limits_{0}^{{{a}^{2}}}{ydy} \\ {{a}^{4}}x-\frac{1}{5}{{x}^{5}} &= \frac{1}{2}{{y}^{2}} \\ {{a}^{4}}.a-\frac{4}{5}.{{a}^{5}} &= \frac{1}{2}{{({{a}^{2}})}^{2}} \\ {{a}^{5}}-\frac{1}{5}{{a}^{5}} &= \frac{1}{2}{{a}^{4}} \\ \frac{4}{5}{{a}^{5}} &= \frac{1}{2}{{a}^{4}} \\ \frac{4}{5}a &= \frac{1}{2} \\ a &= \frac{5}{8} \end{align}$
Jawaban: A
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 11
Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Titik P terletak pada rusuk FG sehingga FP = 2PG. Jika $\alpha $ yakni bidang irisan kubus yang melalui titik B, D, dan P, maka luas bidang $\alpha $ yakni … $c{{m}^{2}}$.A. $\frac{8}{9}\sqrt{22}$
B. $\frac{6}{9}\sqrt{22}$
C. $\frac{5}{9}\sqrt{22}$
D. $\frac{3}{9}\sqrt{22}$
E. $\frac{1}{9}\sqrt{22}$
Pembahasan:
Luas bidang $\alpha $ = Luas BPQD = …?
$\begin{align} TC &=\frac{1}{2}AC \\ & =\frac{1}{2}.2\sqrt{2} \\ TC &=\sqrt{2} \end{align}$
$TS=\frac{2}{3}TC=\frac{2}{3}\sqrt{2}$
RS = 2
$\begin{align}
TR &= \sqrt{T{{S}^{2}}+R{{S}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{\left( \frac{2}{3}\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{2}^{2}}} \\ &= \sqrt{\frac{8}{9}+\frac{36}{9}} \\ &= \sqrt{\frac{44}{9}} \\ TR &= \frac{2}{3}\sqrt{11} \end{align}$
Perhatikan segitiga PGQ:
GP = GQ = $\frac{2}{3}$ maka $PQ=\frac{2}{3}\sqrt{2}$
Bidang $\alpha $ berbentuk trapesium, dengan BD = $2\sqrt{2}$ maka:
$\begin{align} L &= \frac{1}{2}\left( BD+PQ \right).TR \\ & = \frac{1}{2}\left( 2\sqrt{2}+\frac{2}{3}\sqrt{2} \right).\frac{2}{3}\sqrt{11} \\ & = \frac{1}{2}.\frac{8}{3}\sqrt{2}.\frac{2}{3}\sqrt{11} \\ L &= \frac{8}{9}\sqrt{22} \end{align}$
Jawaban: A
Matematika IPA SIMAK UI 2011 No. 12
$\underset{a\to b}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan a-\tan b}{1+\left( 1-\frac{a}{b} \right)\tan a.\tan b-\frac{a}{b}}$ = …A. $\frac{1}{b}$
B. b
C. –b
D. $\frac{-1}{b}$
E. 1
Pembahasan:
$\underset{a\to b}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan a-\tan b}{1+\left( 1-\frac{a}{b} \right)\tan a.\tan b-\frac{a}{b}}$
= $\underset{a \rightarrow b}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan a-\tan b}{\left( 1-\frac{a}{b} \right)+\left( 1-\frac{a}{b} \right)\tan a.\tan b}$
= $\underset{a \rightarrow b}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan a-\tan b}{\left( 1-\frac{a}{b} \right)\left( 1+\tan a.\tan b \right)}$
= $\underset{a \rightarrow b}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan (a-b)}{\left( \frac{b-a}{b} \right)}$
= $\underset{a \rightarrow b}{\mathop{\lim }}\,\frac{-b.\tan (a-b)}{(a-b)}$
= $-b$
Jawaban: C
Artikel Terkait: |
Sumber http://www.catatanmatematika.com
