SIMAK UI 2012 Matematika Saintek. Silahkan d0wnl0ad soalnya dalam bentuk file pdf dan gunakanlah untuk membahas soal ini secara berdikari atau berdiskusi dengan bapak/ibu gurunya atau abang/kakak pengajar di bimbingan belajar.
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 1
Diberikan bidang empat A.BCD dan BC tegak lurus BD dan AB tegak lurus bidang BCD. Jika BC = BD = $a\sqrt{2}$ cm, dan AB = $a$ cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan …(A) $\frac{\pi }{6}$
(B) $\frac{\pi }{4}$
(C) $\frac{\pi }{3}$
(D) $\frac{3\pi }{4}$
(E) $\frac{\pi }{2}$
Pembahasan:
$\begin{align} CD &= \sqrt{B{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{(a\sqrt{2})}^{2}}+{{(a\sqrt{2})}^{2}}} \\ &= \sqrt{4a} \\ CD &=2aa \end{align}$
$\begin{align} BM &= \frac{BC\times BD}{CD} \\ & =\frac{a\sqrt{2}\times a\sqrt{2}}{2a} \\ BM &= a \end{align}$
$\angle (ACD,BCD)=\angle (AM,BM)=\theta $
Perhatikan segitiga ABM:
$\begin{align} \tan \theta &=\frac{AB}{BM} \\ & =\frac{a}{a} \\ & \tan \alpha =1 \\ & \alpha ={{45}^{o}} \\ & \alpha =\frac{\pi }{4} \end{align}$
Jawaban: B
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 2
Himpunan semua bilangan $k$ sehingga sistem persamaan linier: $\left\{ \begin{matrix} kx+y=2 \\ x-y=3 \\ \end{matrix} \right.$ mempunyai solusi yaitu …(A) $k < -1$ atau $k > -1$
(B) $-1 < k < 0$ (C) $k > 1$
(D) $k < 0$ (E) $k > 2$
Pembahasan:
Teori:
$\left\{ \begin{matrix} ax+by=c \\ px+qy=r \\ \end{matrix} \right.$ mempunyai solusi kalau $\frac{a}{p}\ne \frac{b}{q}$
$\left\{ \begin{matrix} kx+y=2 \\ x-y=3 \\ \end{matrix} \right.$ mempunyai solusi kalau $\frac{k}{1}\ne \frac{1}{-1}\Leftrightarrow k\ne -1$ atau {$k < -1$ atau $k>-1$}
Jawaban: A
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 3
Diberikan $f(x)={{\sin }^{2}}x$. Jika $f'(x)$ menyatakan turunan pertama dari $f(x)$, maka $\underset{x\rightarrow \infty }{\mathop{\lim }}\,h\left\{ f'\left( x+\frac{1}{h} \right)-f'(x) \right\}$ = …(A) $\sin 2x$
(B) $-\cos 2x$
(C) $2\cos 2x$
(D) $2\sin x$
(E) $-2\cos x$
Pembahasan:
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,h\left\{ f'\left( x+\frac{1}{h} \right)-f'(x) \right\}=f''(x)$
Sehingga:
$f(x)={{\sin }^{2}}x$
$f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$
$f''(x)=2\cos 2x$
Jawaban: C
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 4
Himpunan penyelesaian dari $\sqrt{-1-x}\ge x+3$ yaitu …(A) $\{x|x\le 1\}$
(B) $\{x|-5\le x\le -2\}$
(C) $\{x|x\le -1\}$
(D) $\{x|x\le -2\}$
(E) $\{x|-3\le x\le -2\}$
Pembahasan:
$\sqrt{1-x}\ge x+3$
1) Syarat:
$-1-x\ge 0\Leftrightarrow x\le -1$, $H{{P}_{1}}=\{x\le -1\}$
2)
$\sqrt{-1-x}\ge x+3$
$-x-3+\sqrt{-1-x}\ge 0$
$-1-x+\sqrt{-1-x}-2\ge 0$
Misal: $p=\sqrt{-1-x}$ dengan $p\ge 0$, maka:
$-1-x+\sqrt{-1-x}-2\ge 0$
${{p}^{2}}+p-2\ge 0$
$(p+2)(p-1)\ge 0$
$p\le -2$ atau $p\ge 1$, alasannya $p\ge 0$ maka:
$p\ge 1$
$\begin{align} p &\ge 1 \\ \sqrt{-1-x} &\ge 1 \\ -1-x &\ge 1 \\ -x &\ge 2 \\ x &\le -2 \end{align}$
$H{{P}_{2}}=\{p\le -2\}$
$HP=H{{P}_{1}}\cap H{{P}_{2}}=\{x|x\le -2\}$
Jawaban: D
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 5
$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+7}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x}}$ = …(A) $-\infty $
(B) $-\frac{1}{2}$
(C) 0
(D) $\frac{1}{2}$
(E) $\infty $
Pembahasan:
Misla: $p=-x\Leftrightarrow x=-p$ sehingga
Untuk $x\to -\infty $ maka $p\to \infty $
$\begin{align} \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+7}{\sqrt{4{{x}^{2}}+3x}} &=\underset{p\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-p+7}{\sqrt{4{{(-p)}^{2}}+3(-p)}} \\ & =\underset{p\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-p+7}{\sqrt{4{{p}^{2}}-3p}} \\ & =\underset{p\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-p+7}{2p} \\ & =\frac{-1}{2} \end{align}$
Jawaban: B
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 6
Diberikan matriks $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]$. Jika $2A={{A}^{-1}}$ maka $ad-bc$ = …(A) $\frac{-1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{1}{\sqrt{2}}$
(B) $\frac{-1}{2}$ atau $\frac{1}{2}$
(C) $\frac{-1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{1}{2}$
(D) $\frac{1}{\sqrt{2}}$ atau $\frac{-1}{2}$
(E) $\frac{1}{2}$ atau 1
Pembahasan:
$A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]\Leftrightarrow |A|=ad-bc=?$
$\begin{align} 2A &={{A}^{-1}} \\ |2A| &=|{{A}^{-1}}| \\ 4.|A| &=\frac{1}{|A|} \\ {|A|}^2 &=\frac{1}{4} \\ |A| &=\pm \frac{1}{2} \\ ad-bc &=\pm \frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: B
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 7
Akar-akar positif dari persamaan kuadrat ${{x}^{2}}+mx+n=0$ yaitu $\alpha $ dan $\beta $. Jika $2\beta -\alpha =12$ dan ${{\alpha }^{2}}=4\beta $, maka $m+n$ = …(A) $-39$
(B) $-16$
(C) 0
(D) 16
(E) 39
Pembahasan:
${{x}^{2}}+mx+n=0$ akar-akar $\alpha $ dan $\beta $, dimana $\alpha ,\beta >0$
$2\beta -\alpha =12\Leftrightarrow 2\beta =\alpha -12$
${{\alpha }^{2}}=4\beta $
${{\alpha }^{2}}=2.2\beta $
${{\alpha }^{2}}=2(\alpha +12)$
${{\alpha }^{2}}-2\alpha -24=0$
$(\alpha -6)(\alpha +4)=0$, alasannya $\alpha >0$ maka:
$\alpha =6$
$2\beta -\alpha =12$
$2\beta -6=12\Leftrightarrow \beta =9$
${{x}^{2}}+mx+n=0$
$\begin{align} \alpha +\beta &= -m \\ 6+9 &=-m \\ -15 &=m \end{align}$
$\begin{align} \alpha .\beta &= n \\ 6.9 &= n \\ 54 &= n \end{align}$
$m+n=-15+54=39$
Jawaban: E
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 8
Jika ${{\sin }^{2}}t({{\csc }^{2}}t-1)(1-\sin t+{{\sin }^{2}}t-{{\sin }^{3}}t+...)=x$, dengan $\frac{\pi }{2} < t < \pi $, maka nilai dari $\sin 2t$ yaitu …(A) $-2(x-1)\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}$
(B) $2(x-1)\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}$
(C) $\frac{-2(x-1)}{\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}}$
(D) $\frac{2(x-1)}{\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}}$
(E) $2(x+1)\sqrt{1-{{(x-1)}^{2}}}$
Pembahasan:
${{\sin }^{2}}t({{\csc }^{2}}t-1)(1-\sin t+{{\sin }^{2}}t-{{\sin }^{3}}t+...)=x$
${{\sin }^{2}}t\left( \frac{1}{{{\sin }^{2}}t}-1 \right)\left( \frac{1}{1+\sin t} \right)=x$
$\left( 1-{{\sin }^{2}}t \right)\left( \frac{1}{1+\sin t} \right)=x$
$\frac{(1-\sin t)(1+\sin t)}{1+\sin t}=x$
$1-\sin t=x\Leftrightarrow \sin t=1-x$ $\sin t=\frac{1-x}{1}=\frac{de}{mi}$
$\begin{align} \cos t &=\frac{sa}{mi} \\ & =\frac{\sqrt{m{{i}^{2}}-d{{e}^{2}}}}{mi} \\ & =\frac{\sqrt{{{1}^{2}}-{{(1-x)}^{2}}}}{1} \\ \cos t &=\sqrt{1-{{(1-x)}^{2}}} \end{align}$
$\begin{align} \sin 2t &=2\sin t.\cos t \\ & =2(1-x)\sqrt{{{1}^{2}}-{{(1-x)}^{2}}} \end{align}$
Jawaban: B
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 9
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
(E) 10
Pembahasan:
$f(x)={{(x-1)}^{5}}+{{(x-1)}^{4}}+{{(x-1)}^{3}}+{{(x-1)}^{2}}+(x-1)+1$
$f(x+1)={{x}^{5}}+{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1$ dibagi $(x-1)$ maka sisanya
$f(1+1)={{1}^{5}}+{{1}^{4}}+{{1}^{3}}+{{1}^{2}}+1+1=6$
Jawaban: D
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 10
Misalkan ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ yaitu akar-akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-(2{{k}^{2}}-k-1)x+(3k+4)=0$ dan kedua akar itu bilangan lingkaran dengan $k$ konstan. Jika ${{x}_{1}}$, $k$, ${{x}_{2}}$ merupakan 3 suku pertama barisan geometri, maka jumlah $n$ suku pertama dari barisan tersebut yaitu …(A) $-\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{1}{2}$
(B) $-\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{n}}-\frac{1}{2}$
(C) $\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{1}{2}$
(D) $-{{\left( -1 \right)}^{n}}$
(E) $\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{n}}-\frac{1}{2}$
Pembahasan:
${{x}^{2}}-(2{{k}^{2}}-k-1)x+(3k+4)=0$ akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=3k+4$
Barisan Geometri:
${{x}_{1}}$, $k$, ${{x}_{2}}$
${{k}^{2}}={{x}_{1}}.{{x}_{2}}$
${{k}^{2}}=3k+4$
${{k}^{2}}-3k-4=0$
$(k-4)(k+1)=0$
$k=-1$
${{x}^{2}}-(2{{k}^{2}}-k-1)x+(3k+4)=0$
${{x}^{2}}-(2.{{(-1)}^{2}}-(-1)-1)x+(3(-1)+4)=0$
${{x}^{2}}-2x+1=0$
$(x-1)(x-1)=0$
${{x}_{1}}={{x}_{2}}=1$
Barisan Geometri:
${{x}_{1}}$, $k$, ${{x}_{2}}$
1, -1, 1
$\begin{align} {{S}_{n}} &=\frac{a({{r}^{n}}-1)}{r-1} \\ & =\frac{1({{(-1)}^{n}}-1)}{-1-1} \\ & =-\frac{1}{2}{{(-1)}^{n}}+\frac{1}{2} \end{align}$
Jawaban: A
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 11
Jika diketahui garis singgung parabola $y=a{{x}^{2}}+12x-14$ pada titik $x=3$ membentuk sudut terhadap sumbu $x$ sebesar $\pi -\arctan (6)$, maka luas tempat yang dibatasi oleh garis lurus $y=9x-32$ dan parabola tersebut yaitu …(A) $\frac{85}{2}$
(B) $\frac{95}{2}$
(C) $\frac{105}{2}$
(D) $\frac{115}{2}$
(E) $\frac{125}{2}$
Pembahasan:
$y=a{{x}^{2}}+12x-14$
$m=y'=2ax+12$
$m=\tan \left( \pi -\arctan 6 \right)$ untuk x = 3
$m=6a+12=\tan (\pi -\arctan 6)$
$6a+12=\frac{\tan \pi -\tan (\arctan 6)}{1+\tan \pi .\tan (\arctan 6)}$
$6a+12=\frac{0-6}{1+0.6}$
$6a+12=-6$
$6a=-18\Leftrightarrow a=-3$
$y=a{{x}^{2}}+12x-14$
$y=-3{{x}^{2}}+12x-14$
Luas tempat yang dibatasi $y=-3{{x}^{2}}+12x-14$ dan $y=9x-32$?
$-3{{x}^{2}}+12x-14=9x-32$
$-3{{x}^{2}}+3x+18=0$
$a=-3$, $b=3$, $c=18$
$\begin{align} D &={{b}^{2}}-4ac \\ & ={{3}^{2}}-4(-3).18 \\ D &=225 \end{align}$
$\begin{align} L &=\frac{D\sqrt{D}}{6{{a}^{2}}} \\ & =\frac{225\sqrt{225}}{6{{(-3)}^{2}}} \\ & =\frac{225.15}{6.9} \\ L &=\frac{125}{2} \end{align}$
Jawaban: E
Matematika IPA SIMAK UI 2012 No. 12
Jika $3\cos \theta -\sin \theta $ dinyatakan dalam bentuk $r\sin (\theta +\alpha )$ dengan $r>0$ dan ${{0}^{o}}<\alpha <{{360}^{o}}$ maka …(A) $r=\sqrt{8}$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 2 atau 4.
(B) $r=\sqrt{8}$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 2.
(C) $r=\sqrt{10}$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 2 atau 4.
(D) $r=\sqrt{10}$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 2.
(E) $r=3$, sudut $\alpha $ ada di kuadran 4.
Pembahasan:
$3\cos \theta -\sin \theta =r\sin (\theta +\alpha )$
$3\cos \theta -\sin \theta =r(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha )$
$3\cos \theta -\sin \theta =r(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha )$
$3\cos \theta -\sin \theta =r\sin \alpha .\cos \theta +r\cos \alpha .\sin \theta $
$r\sin \alpha =3\to {{r}^{2}}.{{\sin }^{2}}\alpha =9$
$r\cos \alpha =-1\to {{r}^{2}}{{\cos }^{2}}\alpha =1$
---------------------------------- (+)
${{r}^{2}}({{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha )=10$
${{r}^{2}}=10\Leftrightarrow r=\sqrt{10}$
$\frac{r\sin \alpha }{r\cos \alpha }=\frac{3}{-1}\Leftrightarrow \tan \alpha =\frac{3}{-1}$
$\alpha $ di kuadran II
Jawaban: D
Sumber http://www.catatanmatematika.com