Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 1
Tiga laki-laki dan empat perempuan akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan yakni ...A. 24 B. 49 C. 144 D. 288 E. 5040
Pembahasan:
L = pria
P = wanita
= 24 × 6
= 144
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 2
Untuk setiap bilangan orisinil $n$ didefinisikan ${{A}_{n}}=\left( \begin{matrix} n & 2n \\ 3n & 4n \\ \end{matrix} \right)$. Jika $det(A_1+A_2+...+A_k)$ = -4050, maka $det(A_{2k})$ = ...A. -800 B. -648 C. -512 D. -392 E. -288
Pembahasan:
${{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}+...+{{A}_{k}}$ = $\left( \begin{matrix} 1+2+...+k & 2(1+2+...+k) \\ 3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k) \\ \end{matrix} \right)$
$\det \left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}+...+{{A}_{k}} \right)$ = $\left( \begin{matrix}
1+2+...+k & 2(1+2+...+k) \\ 3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k) \\ \end{matrix} \right)$
$-4050$ = $4{{(1+2+...+k)}^{2}}-6{{(1+2+...+k)}^{2}}$
$-4050$ = $-2{{(1+2+...+k)}^{2}}$
$2025$ = ${{\left( 1+2+...+k \right)}^{2}}$
$2025$ = ${{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}$
$45$ = $\frac{k(k+1)}{2}$
$90=k(k+1)\Rightarrow k=9$
$\det {{A}_{2k}}=-2{{(-2k)}^{2}}$
$\det {{A}_{2k}}=-8{{k}^{2}}=-8.81=-648$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 3
Diketahui persamaan $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar faktual $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1$, 6, $x_2$ yakni tiga suku pertama barisan geometri dan $x_1$, $x_2$, 14 tiga suku pertama barisan aritmetika, maka $p+q$ = ...A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 E. 27
Pembahasan:
$x^2+px+q=0$, $x_1+x_2=-p$, $x_1.x_2=q$
Barisan Geometri: $x_1$, 6, $x_2$, maka:
$36={{x}_{1}}.{{x}_{2}}\Leftrightarrow 36=q$
$\frac{36}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}$
Barisan Aritmetika: $x_1$, $x_2$, 14, maka:
$2{{x}_{2}}={{x}_{1}}+14$
$2{{x}_{2}}=\frac{36}{{{x}_{2}}}+14$, kali dengan ${{x}_{2}}$
$2x_{2}^{2}-14x-36=0$
$x_{2}^{2}-7x-18=0$
$({{x}_{2}}-9)({{x}_{2}}+2)=0$
${{x}_{2}}=9$
$\frac{36}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}\Leftrightarrow \frac{36}{9}={{x}_{1}}=4$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p\Leftrightarrow 9+4=-p\Leftrightarrow -13=p$
$p+q=-13+36=23$
Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 4
Jika $f(x)=(\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$ dan $f'(x)=2\cos 3x + g(x)$ maka $g(x)$ = ...A. $\cos 3x + \sin x$
B. $\cos 3x - \sin x$
C. $\cos x + \sin x$
D. $\cos x - \sin x$
E. $-\cos x + \sin x$
Pembahasan:
$f(x)=(\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$
$=\sin x\cos 2x+\sin x\sin 2x$
$+\cos x\cos 2x+\cos x\sin 2x$
$=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x$
$\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x$
$f(x)=\sin 3x+\cos x$
$f'(x)=3\cos 3x-\sin x$; $f'(x)=2\cos 3x + g(x)$
$2co3x+g(x)=3\cos 3x-\sin x$
$g(x)=\cos 3x-\sin x$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 5
Diketahui $D_1$ yakni tempat di kuadran I yang dibatasi oleh parabola $y=\frac{9}{4}x^2$, parabola $y=x^2$, dan garis $x=2$, dan ${{D}_{2}}$ tempat yang dibatasi oleh garis $x=2$, garis $y=9$, parabola $y={{x}^{2}}$. Jika luas $D_1=a$, maka luas $D_2$ yakni ...
A. $\frac{7}{10}a$ B. $\frac{8}{10}a$ C. $\frac{9}{10}a$ D. $\frac{11}{10}a$ E. $\frac{13}{10}a$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
$L.{{D}_{1}}=\frac{1}{3}.alas.({{t}_{2}}-{{t}_{1}})$
$L.{{D}_{1}}=\frac{1}{3}.2.(9-4)$
$L.{{D}_{1}}=\frac{10}{3}=a$
$L.{{D}_{2}}=\int\limits_{2}^{3}{(9-{{x}^{2}})dx}$
$L.{{D}_{2}}=\left. 9x-\frac{1}{3}{{x}^{3}} \right]_{2}^{3}=\frac{8}{3}$
$\frac{L.{{D}_{2}}}{L.{{D}_{1}}}=\frac{L.{{D}_{2}}}{a}$
$\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{L.{{D}_{2}}}{a}$
$\frac{8}{10}a=L.{{D}_{2}}$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 6
Diketahui matriks A berukuran 3 x 3 dan memenuhi:
$A\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$ dan $A\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$. Jika $x=\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 10 \\ \end{matrix} \right)$ maka $Ax$ = …
A. $\left( \begin{matrix} 8 \\ 4 \\ 8 \\ \end{matrix} \right)$ B. $\left( \begin{matrix} 4 \\ 12 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)$ C. $\left( \begin{matrix} 12 \\ 8 \\ 12 \\ \end{matrix} \right)$ D. $\left( \begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)$ E. $\left( \begin{matrix} 8 \\ 12 \\ 8 \\ \end{matrix} \right)$
Pembahasan:
Misalkan matriks $A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right)$, maka:
$\left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$a+2b+c=2$ … persamaan (1)
$d+2e+f=2$ …persamaan (2)
$g+2h+i=2$ … persamaan (3)
$\left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$a+2b+3c=2$ … persamaan (4)
$d+2e+3f=4$… persamaan (5)
$g+2h+3i=2$ … persamaan (6)
Dari (1) dan (4) diperoleh: c = 0, dan $a+2b=2$
Dari (2) dan (5) diperoleh: f = 1, dan $d+2e=1$
Dari (3) dan (6) diperoleh: I = 0, dan $g+2h=2$
$Ax=\left( \begin{matrix} a & b & 0 \\ d & e & 1 \\ g & h & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 10 \\ \end{matrix} \right)$
$=\left( \begin{matrix} 2a+4b \\ 2d+4e+10 \\ 2g+4h \\ \end{matrix} \right)$
$=\left( \begin{matrix} 2(a+2b) \\ 2(d+2e)+10 \\ 2(g+2h) \\ \end{matrix} \right)$
$=\left( \begin{matrix} 2.2 \\ 2.1+10 \\ 2.2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4 \\ 12 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 7
Diberikan segitiga ABC dengan $\angle A=\alpha $, $\angle B={{90}^{o}}$, dan $\angle C=\gamma $. Jika $\cos \alpha = x$, maka $\cos (\alpha +2\gamma )$ = …
A. $-x$ B. $-\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ C. $x$ D. $\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ E. 1
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
$\alpha +\gamma ={{90}^{o}}$
$\cos (\alpha +2\gamma )=\cos (\alpha +\gamma +\gamma )$
$=\cos ({{90}^{o}}+\gamma )$
$=-\sin \gamma $
$=-x$
Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 8
Jika garis $y=mx+k$ menyinggung bulat ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$ maka nilai $(m+k)$ yakni …
A. -26 B. -25 C. -24 D. -23 E. -22
Pembahasan:
Persamaan garis singgung ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$ adalah:
${{x}_{1}}.x+{{y}_{1}}.y-\frac{10}{2}(x+{{x}_{1}})+\frac{6}{2}(y+{{y}_{1}})+24=0$
$8x-4y-5(x+8)+3(y-4)+24=0$
$3x-y-28=0$
$y=3x-28$
$y=mx+k$
$m=3,k=-28\Rightarrow m+k=-25$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 9
Sebuah prisma ABCD.EFGH mempunyai bantalan berbentuk persegi. Titik T yakni titik tengah diagonal HF. Jika $\angle EAT=\frac{\pi }{6}$ dan volume prisma tersebut $4\sqrt{6}$, maka tinggi prisma yakni …
A. $\sqrt{6}$ B. $\sqrt{3}$ C. $\sqrt{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ E. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Pembahasan:
Perhatikan segitiga AET siku-siku di E, maka:
$\tan A=\frac{ET}{EA}$
$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{b}$
$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{1}{2}a\sqrt{2}}{b}$
$b=\frac{a}{2}\sqrt{6}$
Volume prisma = $4\sqrt{6}$
$V={{a}^{2}}b$
$4\sqrt{6}={{a}^{2}}.\frac{a}{2}\sqrt{6}$
$8={{a}^{3}}\Leftrightarrow a=2$
Tinggi prisma = $b=\frac{a}{2}\sqrt{6}=\sqrt{6}$
Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 10
Diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\theta $. Jika panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ sama dengan $2\sin \theta $ dan panjang vektor $\vec{b}$ yakni 1, maka $\tan 2\theta $ = …
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{2}{3}$ C. 1 D. $\frac{4}{3}$ E. $\frac{5}{3}$
Pembahasan:
$\angle (\vec{a},\vec{b})=\theta $, $|\vec{b}|=1$
$\frac{\vec{b}.\vec{a}}{|\vec{a}|}=2\sin \theta $
$\frac{|\vec{b}|.|\vec{a}|.cos\theta }{|\vec{a}|}=2\sin \theta $
$\cos \theta =2\sin \theta $
$\tan \theta =\frac{1}{2}$
$\tan 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1-{{\tan }^{2}}\theta }$
$\tan 2\theta =\frac{2.\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$
Kunci: D
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 11
Semua nilai $a$ semoga $\sqrt{2{{x}^{2}}-x+14}\ge \sqrt{{{x}^{2}}-ax+10}$ benar untuk semua bilangan real $x$ yakni …
A. $|a|\le 6$
B. $a\le -3$ atau $a\ge 5$
C. $a\le -5$ atau $a\ge 3$
D. $-3\le a\le 5$
E. $-6\le a\le -5$ atau $3\le a\le 6$
Pembahasan:
(*)
$\sqrt{2{{x}^{2}}-x+14}\ge \sqrt{{{x}^{2}}-ax+10}$
$2{{x}^{2}}-x+14\ge {{x}^{2}}-ax+10$
${{x}^{2}}+(a-1)x+4\ge 0$, definit positif, maka:
$D\le 0$
${{B}^{2}}-4AC\le 0$
${{(a-1)}^{2}}-4.1.4\le 0$
${{a}^{2}}-2a-15\le 0$
$(a+3)(a-5)\le 0$
$-3\le a\le 5$
(**) syarat:
$2{{x}^{2}}-x+14\ge 0$
${{x}^{2}}-ax+10\ge 0$
$D\le 0$
${{B}^{2}}-4AC\le 0$
${{a}^{2}}-4.1.10\le 0$
$(a+\sqrt{40})(a-\sqrt{40})\le 0$
$-\sqrt{40}\le a\le \sqrt{40}$
Dari (*) dan (**) diperoleh penyelesaian $-3\le a\le 5$
Kunci: D
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 12
Jika $P(x)={{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$ dibagi $h(x)={{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2$ memperlihatkan sisa $r(x)={{x}^{2}}-3x+4$ maka $a+b$ = …
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 E. 3
Pembahasan:
Yang dibagi = pembagi x hasil + Sisa
$P(x)=h(x).hasil+r(x)$
${{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$$=({{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-2).hasil+{{x}^{2}}-3x+4$
${{x}^{5}}+a{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+bx+2$$=(x-1)(x+1)(x-2).hasil+{{x}^{2}}-3x+4$
x=1, maka:
$1+a+1+b+2=1-3+4$
$a+b=2$
Kunci: D
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 13
Jika $a$ memenuhi persamaan ${}^{2}\log 2x+{}^{3}\log 3x={}^{4}\log 4{{x}^{2}}$, maka ${}^{a}\log 3$ = …
A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 2
Pembahasan:
${}^{2}\log 2+{}^{2}\log x+{}^{3}\log 3+{}^{3}\log x$$={}^{4}\log 4+{}^{4}\log {{x}^{2}}$
$1+{}^{2}\log x+1+{}^{3}\log x=1+{}^{{{2}^{2}}}\log {{x}^{2}}$
$1+{}^{2}\log x+1+{}^{3}\log x=1+{}^{{{2}^{2}}}\log {{x}^{2}}$
${}^{3}\log x=-1$
$x={{3}^{-1}}=a$
${}^{a}\log 3={}^{{{3}^{-1}}}\log 3=-1$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 14
Diketahui $f(x)=\sqrt{1+x}$. Nilai $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(3+2{{h}^{2}})-f(3-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}}$ yakni …
A. 0 B. $\frac{2}{3}$ C. $\frac{6}{7}$ D. $\frac{9}{8}$ E. $\frac{5}{4}$
Pembahasan:
$\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(3+2{{h}^{2}})-f(3-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}}$
$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1+3+2{{h}^{2}}}-\sqrt{1+3-3{{h}^{2}}}}{{{h}^{2}}}$
$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}-\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}{{{h}^{2}}}\times \frac{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$
$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{4+2{{h}^{2}}-(4-3{{h}^{2}})}{{{h}^{2}}\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$
$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{h}^{2}}}{{{h}^{2}}\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$
$=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{5}{\sqrt{4+2{{h}^{2}}}+\sqrt{4-3{{h}^{2}}}}$
$=\frac{5}{\sqrt{4+{{2.0}^{2}}}+\sqrt{4-{{3.0}^{2}}}}$
$=\frac{5}{4}$
Kunci: E
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 15
Diketahui jumlah empat suku pertama suatu barisan aritmetika sama dengan jumlah tiga suku selanjutnya. Jika jumlah 10 suku pertama yakni 270, maka suku pertama barisan tersebut yakni …
A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 E. 18
Pembahasan:
Barisan Arimetika:
${{S}_{4}}={{U}_{5}}+{{U}_{6}}+{{U}_{7}}$
$\frac{4}{2}(2a+3b)=a+4b+a+5b+a+6b$
$4a+6b=3a+15b$
$a=9b$
${{S}_{10}}=270$
$\frac{10}{2}(2a+9b)=270$
$2a+9b=54$
$2.9b+9b=54$
$27b=54$
$b=2$
$a=9b\Leftrightarrow a=9.2=18$
Kunci: E
Baca Juga: |