Hai, teman-teman pecinta matematika. Catatan Matematika kembali menyebarkan soal dan pembahasan nih! Lho apa tidak bosan berbagi? Apa tidak lelah berbagi? Tentu tidak lantaran menyebarkan itu indah. Dan saya berharap teman-teman pembaca juga jangan pernah lelah untuk mencar ilmu dan berdiskusi secara online di Catatan Matematika. Oh iya.... kalian juga dapat ikut menyebarkan kok! Caranya? gampang... silahkan share ke postingan ini ke teman-teman, saudara, siswa/i bapak ibu guru. Oke pribadi aja disimak Soal dan Pembahasan Matematika IPA UTUL UGM 2016 Kode 582 berikut ini.
A. $x < -2$
B. $-5 < x < -2$
C. $x > -5$
D. $-5 < x < 1$
E. $x > 1$
Pembahasan:
$|x+1| > x+3$
${{(x+1)}^{2}} > {{(x+3)}^{2}}$
${{x}^{2}}+2x+1 > {{x}^{2}}+6x+9$
$-4x > -8$
$-4x > -8$
$x < 2$…. (1)
$|x+2| < 3$
${{(x+2)}^{2}} < {{3}^{2}}$
${{x}^{2}}+4x+4 < 9$
${{x}^{2}}+4x-5 < 0$
$(x+5)(x-1) < 0$
$-5 < x < 1$ …. (2)
Dari irisan dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian: $-5 < x < 1$
Kunci: D
A. $x-10$
B. $-x+10$
C. $-7x-10$
D. $7x-10$
E. $-7x+10$
Pembahasan:
Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
$p(x)=({{x}^{2}}-2x).hasil+2-3x$
$p(x)=x(x-2).hasil+2-3x$
$p(2)=2(2-2).hasil+2-3.2$
$p(2)=-4$
$p(x)=({{x}^{2}}+x-2).hasil+x+2$
$p(x)=(x+2)(x-1).hasil+x+2$
$p(1)=(1+2)(1-1).hasil+1+2$
$p(1)=3$
$p(x)=({{x}^{2}}-3x+2).hasil+ax+b$
$p(x)=(x-2)(x-1).hasil+ax+b$
$p(2)=2a+b=-4$
$p(1)=a+b=3$
------------------------ (-)
$a=-7$
$a+b=3\Leftrightarrow -7+b=3\Leftrightarrow b=10$
Sisa = $ax+b=-7x+10$
Kunci: E
A. $5\sqrt{10}$ B. $4\sqrt{10}$ C. $3\sqrt{10}$ D. $2\sqrt{10}$ E. $\sqrt{10}$
Pembahasan:
$(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$
$(2\log x-1).{}^{10}\log x=\log 10$
$(2\log x-1).\log x=1$
$2{{\log }^{2}}x-\log x-1=0$
$(2\log x+1)(\log x-1)=0$
$\log x=-\frac{1}{2}$ atau $\log x=1$
${{x}_{1}}={{10}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ atau ${{x}_{2}}=10$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.10=\sqrt{10}$
Kunci: E
A. $\frac{19}{4}$ B. 4 C. $\frac{15}{4}$ D. $\frac{13}{4}$ E. 3
Pembahasan:
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log {{2}^{-2}}-{}^{2}\log {{x}_{2}}$
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log \left( \frac{1}{4}.{{x}_{2}} \right)$
$\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}$
$\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}$
Dari $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ diperoleh:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{7}{4}$
${{x}_{1}}+\frac{4}{3}{{x}_{1}}=\frac{7}{4}$
$12{{x}_{1}}+16{{x}_{1}}=21$
${{x}_{1}}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$
${{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}.\frac{3}{4}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$
$4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4.\frac{3}{4}+1=4$
Kunci: B
A. $\frac{\pi }{6}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
B. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
C. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
D. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
E. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
Pembahasan:
Perhatikan bagan gambar di bawah ini!
L = Luas tempat berwarna pink + Luas berwarna hijau
$L=\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x)dx}$
Kunci: C
A. 720 B. 360 C. 144 D. 72 E. 48
Pembahasan:
L = laki-laki
P = perempuan
Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah:
LLLLPPP = 4! x 3! = 144
LLLPPPL = 4! x 3! = 144
LLPPPLL = 4! x 3! = 144
LPPPLLL = 4! x 3! = 144
PPPLLLL = 4! x 3! = 144
Seluruhnya = 5 x 144 = 720 cara.
Kunci: A
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$
${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
Jumlah semua nilai $a$ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas ialah …
A. -5 B. -4 C. -3 D. 3 E. 4
Pembahasan:
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$
${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
-------------------------- (+)
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y+{{\sin }^{2}}y=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
$1+1=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
$\frac{1}{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{2}a-2=0$
${{a}^{2}}+3a-4=0$
$(a+4)(a-1)=0$
$a=-4$ atau $a=1$
$a=-4$ tidak memenuhi ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$, jadi nilai a yang memenuhi hanya $a=1$.
Jumlah semua nilai a yang memenuhi ialah 1.
Kunci: Tidak ada opsi.
A. $\frac{10}{27}$ B. $\frac{5}{4}$ C. 80 D. 270 E. 640
Pembahasan:
Barisan aritmetika:
${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$, maka:
$2({{x}_{3}}-10)={{x}_{2}}-10+{{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$
$2{{x}_{3}}-20={{x}_{4}}-{{x}_{3}}-20$
$3{{x}_{3}}={{x}_{4}}$
Barisan geometri:
10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$, maka:
$x_{2}^{2}=10{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$x_{3}^{2}={{x}_{2}}.{{x}_{4}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}={{x}_{2}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{3{{x}_{3}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$\frac{{{x}_{3}}}{3}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
${{x}_{3}}=3\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$x_{3}^{2}=90{{x}_{3}}$
${{x}_{3}}=90$
${{x}_{4}}=3{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{4}}=3.90=270$
Kunci: D
A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{8}{9}$ E. $\frac{9}{8}$
Pembahasan:
Barisan aritmetika: $a$, 4, $b$, maka:
$2.4=a+b=8$
Barisan geometri: $a$, 3, $b$, maka:
${{3}^{2}}=ab=9$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{8}{9}$
Kunci: D
A. $-\frac{18}{5}$ B. $-\frac{9}{5}$ C. $\frac{9}{5}$ D. $\frac{18}{5}$ E. $\frac{27}{5}$
Pembahasan:
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$
$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan 2(x-3)}{(x+2)(x-3)}$
$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)}{(x+2)}.\frac{\tan 2(x-3)}{(x-3)}$
$=\frac{(3+6)}{(3+2)}.\frac{2}{1}=\frac{18}{5}$
Kunci: D
A. $\varnothing $
B. $\{p\in R|p\ge 2\}$
C. $\{p\in R|p > 0\}$
D. $\{p\in R|p < 0\}$
E. $\{p\in R|p\le -2\}$
Pembahasan:
$g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$
(1) fungsi g(x) naik maka $g'(x) > 0$
$g'(x)=p.2x{{({{x}^{2}}-4)}^{-\frac{1}{2}}} > 0$
$\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} > 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh:
$2px\ge 0$, lantaran $x < -2$ maka nilai $p < 0$.
(2) fungsi g(x) turun maka $g'(x) < 0$
$\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} < 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh:
$2px < 0$, lantaran $x > 2$ maka nilai $p < 0$.
Dari (1) dan (2) kita peroleh penyelesaiannya ialah $\{p\in R|p < 0\}$.
Kunci: D
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-1=0$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-2=0$
E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-1=0$
Pembahasan:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$ melalui titik $(1,p)$, maka:
${{1}^{2}}+{{p}^{2}}-2p=0$
${{(p-1)}^{2}}=0\Leftrightarrow p=1$
Panjang jari-jari bundar ialah jarak titik $(1,p)=(1,1)$ ke garis singgung $px+y=4$ $\Leftrightarrow x+y-4=0$, yaitu:
$r=\left| \frac{1+1-4}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Persaman lingkaran:
${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(\sqrt{2})}^{2}}$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$
Kunci: C
A. $-\frac{3}{4}$ B. $-\frac{3}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{3}{5}$ E. $\frac{4}{5}$
Pembahasan:
$2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x+1=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x=\frac{9}{25}$; $0 < x <\frac{\pi }{2}$
$\sin x=\frac{3}{5}=\frac{de}{mi}$
$sa=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$
$\tan x=\frac{de}{sa}=\frac{3}{4}$
Kunci: C
A. $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
B. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$
C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D. $\frac{1}{3}\sqrt{41}$
E. $\frac{3}{2}\sqrt{41}$
Pembahasan:
$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=1:2$
$\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{PB}}=\frac{1}{2}$
$2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$
$2(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$
$3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$, misal titik P(x,y)
$3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)+2\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$
$3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} {}^{5}/{}_{3} \\ {}^{4}/{}_{3} \\ \end{matrix} \right)$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{25}{16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25.16+25.9}{9.16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25(16+9)}{9.16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\frac{25}{12}$
Kunci: Tidak ada opsi.
A. $\frac{9}{8}$ B. $\frac{5}{8}$ C. $\frac{4}{8}$ D. $\frac{3}{8}$ E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
Misalkan panjang sisi ABCD ialah 2a, maka panjang OE = a
Proyeksi FE pada ABCD ialah F’E
Perhatikan segitiga TOE, TO sejajar dengan FF’ maka berlaku intersept segitiga yaitu:
$TF:FE=OF':F'E$
$1:3=OF':F'E$
$F'E=3OF'$
$F'E=3(OE-F'E)$
$F'E=\frac{3}{4}OE$
$F'E=\frac{3}{4}a$
$F'E$ = y kali sisi ABCD, y = …?
$\frac{3}{4}a=y.2a\Leftrightarrow y=\frac{3}{8}$
Kunci: D
Sumber http://www.catatanmatematika.comMatematika IPA UTUL UGM 2016 No. 1
Semua nilai $x$ yang memenuhi $|x+1| > x+3$ dan $|x+2| < 3$ ialah …A. $x < -2$
B. $-5 < x < -2$
C. $x > -5$
D. $-5 < x < 1$
E. $x > 1$
Pembahasan:
$|x+1| > x+3$
${{(x+1)}^{2}} > {{(x+3)}^{2}}$
${{x}^{2}}+2x+1 > {{x}^{2}}+6x+9$
$-4x > -8$
$-4x > -8$
$x < 2$…. (1)
$|x+2| < 3$
${{(x+2)}^{2}} < {{3}^{2}}$
${{x}^{2}}+4x+4 < 9$
${{x}^{2}}+4x-5 < 0$
$(x+5)(x-1) < 0$
$-5 < x < 1$ …. (2)
Dari irisan dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian: $-5 < x < 1$
Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 2
Diketahui sukubanyak $p(x)$ kalau dibagi dengan $({{x}^{2}}-2x)$ sisanya $(2-3x)$ dan kalau dibagi $({{x}^{2}}+x-2)$ sisanya $(x+2)$. Jika $p(x)$ dibagi dengan $({{x}^{2}}-3x+2)$ maka sisanya ialah ….A. $x-10$
B. $-x+10$
C. $-7x-10$
D. $7x-10$
E. $-7x+10$
Pembahasan:
Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
$p(x)=({{x}^{2}}-2x).hasil+2-3x$
$p(x)=x(x-2).hasil+2-3x$
$p(2)=2(2-2).hasil+2-3.2$
$p(2)=-4$
$p(x)=({{x}^{2}}+x-2).hasil+x+2$
$p(x)=(x+2)(x-1).hasil+x+2$
$p(1)=(1+2)(1-1).hasil+1+2$
$p(1)=3$
$p(x)=({{x}^{2}}-3x+2).hasil+ax+b$
$p(x)=(x-2)(x-1).hasil+ax+b$
$p(2)=2a+b=-4$
$p(1)=a+b=3$
------------------------ (-)
$a=-7$
$a+b=3\Leftrightarrow -7+b=3\Leftrightarrow b=10$
Sisa = $ax+b=-7x+10$
Kunci: E
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 3
Jika ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ memenuhi persamaan $(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$ maka ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$ = …A. $5\sqrt{10}$ B. $4\sqrt{10}$ C. $3\sqrt{10}$ D. $2\sqrt{10}$ E. $\sqrt{10}$
Pembahasan:
$(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$
$(2\log x-1).{}^{10}\log x=\log 10$
$(2\log x-1).\log x=1$
$2{{\log }^{2}}x-\log x-1=0$
$(2\log x+1)(\log x-1)=0$
$\log x=-\frac{1}{2}$ atau $\log x=1$
${{x}_{1}}={{10}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ atau ${{x}_{2}}=10$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.10=\sqrt{10}$
Kunci: E
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 4
Diketahui ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ merupakan akar-akar $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ dengan ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$. Jika ${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$, maka $4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ = ….A. $\frac{19}{4}$ B. 4 C. $\frac{15}{4}$ D. $\frac{13}{4}$ E. 3
Pembahasan:
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log {{2}^{-2}}-{}^{2}\log {{x}_{2}}$
${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log \left( \frac{1}{4}.{{x}_{2}} \right)$
$\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}$
$\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}$
Dari $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ diperoleh:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{7}{4}$
${{x}_{1}}+\frac{4}{3}{{x}_{1}}=\frac{7}{4}$
$12{{x}_{1}}+16{{x}_{1}}=21$
${{x}_{1}}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$
${{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}.\frac{3}{4}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$
$4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4.\frac{3}{4}+1=4$
Kunci: B
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 5
Luas tempat yang dibatasi oleh kurva $y=2\cos x$, $y=1$, sumbu $X$ dan sumbu $Y$ ialah …A. $\frac{\pi }{6}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
B. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
C. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
D. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
E. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$
Pembahasan:
Perhatikan bagan gambar di bawah ini!
L = Luas tempat berwarna pink + Luas berwarna hijau
$L=\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x)dx}$
Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 6
Empat siswa pria dan tiga siswa wanita bangun dalam suatu barisan. Banyaknya cara semoga ketiga siswa wanita berdampingan di barisan tersebut ialah …A. 720 B. 360 C. 144 D. 72 E. 48
Pembahasan:
L = laki-laki
P = perempuan
Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah:
LLLLPPP = 4! x 3! = 144
LLLPPPL = 4! x 3! = 144
LLPPPLL = 4! x 3! = 144
LPPPLLL = 4! x 3! = 144
PPPLLLL = 4! x 3! = 144
Seluruhnya = 5 x 144 = 720 cara.
Kunci: A
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 7
Untuk suatu sudut $x$ dan $y$ berlaku:${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$
${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
Jumlah semua nilai $a$ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas ialah …
A. -5 B. -4 C. -3 D. 3 E. 4
Pembahasan:
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$
${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
-------------------------- (+)
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y+{{\sin }^{2}}y=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
$1+1=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$
$\frac{1}{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{2}a-2=0$
${{a}^{2}}+3a-4=0$
$(a+4)(a-1)=0$
$a=-4$ atau $a=1$
$a=-4$ tidak memenuhi ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$, jadi nilai a yang memenuhi hanya $a=1$.
Jumlah semua nilai a yang memenuhi ialah 1.
Kunci: Tidak ada opsi.
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 8
Diketahui 10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$ membentuk barisan geometri. Jika ${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai ${{x}_{4}}$ ialah …A. $\frac{10}{27}$ B. $\frac{5}{4}$ C. 80 D. 270 E. 640
Pembahasan:
Barisan aritmetika:
${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$, maka:
$2({{x}_{3}}-10)={{x}_{2}}-10+{{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$
$2{{x}_{3}}-20={{x}_{4}}-{{x}_{3}}-20$
$3{{x}_{3}}={{x}_{4}}$
Barisan geometri:
10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$, maka:
$x_{2}^{2}=10{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$x_{3}^{2}={{x}_{2}}.{{x}_{4}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}={{x}_{2}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$\frac{x_{3}^{2}}{3{{x}_{3}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$\frac{{{x}_{3}}}{3}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$
${{x}_{3}}=3\sqrt{10{{x}_{3}}}$
$x_{3}^{2}=90{{x}_{3}}$
${{x}_{3}}=90$
${{x}_{4}}=3{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{4}}=3.90=270$
Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 9
Jika $a$, 4, $b$ ialah tiga suku berurutan dari barisan aritmetika dan $a$, 3, $b$ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ = …A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{8}{9}$ E. $\frac{9}{8}$
Pembahasan:
Barisan aritmetika: $a$, 4, $b$, maka:
$2.4=a+b=8$
Barisan geometri: $a$, 3, $b$, maka:
${{3}^{2}}=ab=9$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{8}{9}$
Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 10
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$ = …A. $-\frac{18}{5}$ B. $-\frac{9}{5}$ C. $\frac{9}{5}$ D. $\frac{18}{5}$ E. $\frac{27}{5}$
Pembahasan:
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$
$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan 2(x-3)}{(x+2)(x-3)}$
$=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)}{(x+2)}.\frac{\tan 2(x-3)}{(x-3)}$
$=\frac{(3+6)}{(3+2)}.\frac{2}{1}=\frac{18}{5}$
Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 11
Jika fungsi $g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$ naik pada $\{x\in R|x\le -2\}$ dan turun pada $\{x\in R|x\ge 2\}$, maka himpunan semua nilai $p$ memenuhi ialah …A. $\varnothing $
B. $\{p\in R|p\ge 2\}$
C. $\{p\in R|p > 0\}$
D. $\{p\in R|p < 0\}$
E. $\{p\in R|p\le -2\}$
Pembahasan:
$g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$
(1) fungsi g(x) naik maka $g'(x) > 0$
$g'(x)=p.2x{{({{x}^{2}}-4)}^{-\frac{1}{2}}} > 0$
$\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} > 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh:
$2px\ge 0$, lantaran $x < -2$ maka nilai $p < 0$.
(2) fungsi g(x) turun maka $g'(x) < 0$
$\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} < 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh:
$2px < 0$, lantaran $x > 2$ maka nilai $p < 0$.
Dari (1) dan (2) kita peroleh penyelesaiannya ialah $\{p\in R|p < 0\}$.
Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 12
Diketahui titik $(1,p)$ berada pada bundar ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$. Persamaan bundar dengan sentra $(1,p)$ dan menyinggung garis $px+y=4$ ialah ….A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-1=0$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-2=0$
E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-1=0$
Pembahasan:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$ melalui titik $(1,p)$, maka:
${{1}^{2}}+{{p}^{2}}-2p=0$
${{(p-1)}^{2}}=0\Leftrightarrow p=1$
Panjang jari-jari bundar ialah jarak titik $(1,p)=(1,1)$ ke garis singgung $px+y=4$ $\Leftrightarrow x+y-4=0$, yaitu:
$r=\left| \frac{1+1-4}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Persaman lingkaran:
${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(\sqrt{2})}^{2}}$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$
Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 13
Jika $0 < x <\frac{\pi }{2}$ dan $2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$ maka nilai $\tan x$ = …A. $-\frac{3}{4}$ B. $-\frac{3}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{3}{5}$ E. $\frac{4}{5}$
Pembahasan:
$2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x+1=\frac{34}{25}$
${{\sin }^{2}}x=\frac{9}{25}$; $0 < x <\frac{\pi }{2}$
$\sin x=\frac{3}{5}=\frac{de}{mi}$
$sa=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$
$\tan x=\frac{de}{sa}=\frac{3}{4}$
Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 14
Diketahui vektor OA = (1, 2) dan vektor OB = (2, 1). Jika titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 1 : 2, maka panjang vektor OP ialah …A. $\frac{3}{2}\sqrt{2}$
B. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$
C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
D. $\frac{1}{3}\sqrt{41}$
E. $\frac{3}{2}\sqrt{41}$
Pembahasan:
$\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=1:2$
$\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{PB}}=\frac{1}{2}$
$2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$
$2(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$
$3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$, misal titik P(x,y)
$3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)+2\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$
$3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} {}^{5}/{}_{3} \\ {}^{4}/{}_{3} \\ \end{matrix} \right)$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{25}{16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25.16+25.9}{9.16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25(16+9)}{9.16}}$
$\left| \overrightarrow{OP} \right|=\frac{25}{12}$
Kunci: Tidak ada opsi.
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 15
Limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD. Jika titik E berada pada garis BC dengan BE : EC = 1 : 1 dan titik F berada pada garis TE dengan TF : FE = 1 : 3, maka panjang proyeksi FE pada ABCD ialah … kali sisi ABCD.A. $\frac{9}{8}$ B. $\frac{5}{8}$ C. $\frac{4}{8}$ D. $\frac{3}{8}$ E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
Misalkan panjang sisi ABCD ialah 2a, maka panjang OE = a
Proyeksi FE pada ABCD ialah F’E
Perhatikan segitiga TOE, TO sejajar dengan FF’ maka berlaku intersept segitiga yaitu:
$TF:FE=OF':F'E$
$1:3=OF':F'E$
$F'E=3OF'$
$F'E=3(OE-F'E)$
$F'E=\frac{3}{4}OE$
$F'E=\frac{3}{4}a$
$F'E$ = y kali sisi ABCD, y = …?
$\frac{3}{4}a=y.2a\Leftrightarrow y=\frac{3}{8}$
Kunci: D
Baca Juga: |