Akhirnya selesai juga Pembahasan Matematika UM-UGM Tahun 2017 aba-aba 814 aku buat, biar bermanfaat bagi teman-teman. terimakasih juga buat bapak Ahmad Isnaini, S.Pd yang telah mengetik Soal Matematika UM-UGM Tahun 2017/2018 aba-aba 814 dalam bentuk word, sehingga memudahkan aku mengetik pembahasannya. Nah buat adik-adik kelas XII dan yang berkeinginan untuk melanjutkan pendidikan ke Universitas Gadjah Mada (UGM) silahkan d0wnl0ad dan pelajari Soal dan Pembahasan Ujian Tulis Tahun 2017/2018 dengan aba-aba 814. Link Download tersedia di bab tamat postingan ini ya...!
Berikut ini ialah Soal dan Pembahasan Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261. Pembahasan ini saya buat untuk membantu adik-adik yang akan mengikuti seleksi tertulis ini diselenggarakan oleh Universitas Gadjah Mada (UGM) untuk menyeleksi mahasiswa gres yang akan masuk UGM pada tahun fatwa 2018-2019. Oh iya, adik-adik perlu mengetahui bahwa kalian yang alumni Sekolah Menengan Atas 2018, 2017, dan 2016 diperbolehkan lho mengikuti seleksi tertulis ini. Dan jangan lupa ya..., registrasi terakhir tanggal 25 Juni 2018, dan tes tertulis dilaksanakan pada tanggal 08 Juli 2018. Dengan melihat rentang waktu yang ada, berarti kalian masih mempunyai cukup waktu untuk belajar. Yuk... kita pelajari bersama Soal dan Pembahasan Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 berikut ini. Catatan Matematika menyediakan file soal untuk sanggup did0wnl0ad dan diprint.
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 1
Titik sentra bulat yang menyinggung garis $y=2$ di $(3,2)$ dan menyinggung garis $y=-x\sqrt3+2$ ialah ... A. $(3,\sqrt3)$ B. $(3,3\sqrt3)$ C. $(3,2+\sqrt3)$ D. $(3,2+2\sqrt3)$ E. $(3,2+3\sqrt3)$ Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini. PR ialah jarak titik P(3,b) terhadap garis $y=-x\sqrt{3}+2$, maka: $=\left| \frac{{{x}_{1}}.\sqrt{3}+{{y}_{1}}-2}{\sqrt{{{(\sqrt{3})}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|$ $=\left| \frac{3.\sqrt{3}+b-2}{2} \right|$ PQ ialah jarak titik $P(3,b)$ ke titik $Q(3,2)$, maka: $PQ=b-2$ $PQ=PR=r$ $\begin{align}b-2&=\frac{3\sqrt{3}+b-2}{2} \\ 2b-4&=3\sqrt{3}+b-2 \\ b&=2+3\sqrt{3} \end{align}$ Jadi, titik sentra bulat ialah P$(3,2+3\sqrt3)$. Kunci: E
Matematika IPA UM –UGM 2013 Kode 261 No. 2
Diberikan koordinat titik $O(0,0)$, $B(-3,\sqrt7)$, dan $A(a,0)$, dengan $a < 0$. Jika pada segitiga AOB, $\angle OAB=\alpha $ dan $\angle OBA=\beta $, maka $\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )$ = … A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{4}\sqrt{2}$ C. $\frac{1}{4}\sqrt{6}$ D. $\frac{1}{4}\sqrt{7}$ E. $\frac{1}{4}\sqrt{14}$ Pembahasan: Perhatikan gambar berikut! Perhatikan segitiga OCB siku-siku di C, berlaku phytagoras $BC=\sqrt{7}$, $OC=3$, maka: $OB=\sqrt{B{{C}^{2}}+O{{C}^{2}}}$ $OB=\sqrt{{{(-3)}^{2}}+{{(\sqrt{7})}^{2}}}$ $OB=4$ $\cos (\alpha +\beta )=\frac{OC}{OB}=\frac{3}{4}$ Ingat: $2{{\cos }^{2}}x=1+\cos 2x$, maka: $2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=1+\cos (\alpha +\beta )$ $2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=1+\frac{3}{4}$ $2{{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\frac{7}{4}$ ${{\cos }^{2}}\frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\frac{7}{8}$ $\cos \frac{1}{2}(\alpha +\beta )=\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{4}\sqrt{14}$ Kunci: E
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 3
Diketahui vektor-vektor $\vec{u}=(a,1,-a)$ dan $\vec{v}=(1,a,a)$. Jika ${{\vec{u}}_{1}}$ vektor proyeksi $\vec{u}$ pada $\vec{v}$, ${{\vec{v}}_{1}}$ vektor proyeksi $\vec{v}$ pada $\vec{u}$, dan $\theta $ sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ dengan $\cos \theta =\frac{1}{3}$, maka luas jajaran genjang yang dibuat oleh ${{\vec{u}}_{1}}$ dan ${{\vec{v}}_{1}}$ ialah …. A. $\frac{2}{9}\sqrt{2}$ B. $\frac{2}{9}\sqrt{6}$ C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$ D. $\frac{2}{3}\sqrt{6}$ E. 2 Pembahasan: $\cos \theta =\frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ $\frac{1}{3}=\frac{\left( \begin{matrix} a \\ 1 \\ -a \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 \\ a \\ a \\ \end{matrix} \right)}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{1}^{2}}+{{(-a)}^{2}}}.\sqrt{{{1}^{2}}+{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}$ $\frac{1}{3}=\frac{2a-{{a}^{2}}}{\sqrt{2{{a}^{2}}+1}.\sqrt{2{{a}^{2}}+1}}$ $\frac{1}{3}=\frac{2a-{{a}^{2}}}{2{{a}^{2}}+1}$ $2{{a}^{2}}+1=6a-3{{a}^{2}}$ $5{{a}^{2}}-6a+1=0$ $(5a-1)(a-1)=0$, ${{a}_{1}}=\frac{1}{5}$ atau ${{a}_{2}}=1$ Karena soal pilihan berganda, kita uji yang paling sederhana yaitu ${{a}_{2}}=1$. $\vec{u}=(1,1,-1)$ dan $\vec{v}=(1,1,1)$ maka $u.v=\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)=1$ $|\vec{u}|=|\vec{v}|=\sqrt{2{{a}^{2}}+1}=\sqrt{3}$ $|{{\vec{u}}_{1}}|=\left| \frac{\vec{u}.\vec{v}}{|\vec{v}|} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$ $|{{\vec{v}}_{1}}|=\left| \frac{\vec{v}.\vec{u}}{|\vec{u}|} \right|=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$ Jika $\cos \theta =\frac{1}{3}\Rightarrow \sin \theta =\frac{2}{3}\sqrt{2}$ Luas jajaran genjang: $=2.\frac{1}{2}.|{{u}_{1}}|.|{{v}_{1}}|.\sin \theta $ $=2.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}\sqrt{3}.\frac{1}{3}\sqrt{3}.\frac{2}{3}\sqrt{2}$ $=\frac{2}{9}\sqrt{2}$ Kunci: A
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 4
Panjang rusuk kubus PQRS.TUVW ialah 6 cm. Titik X, pada TW, Y pada UV dan Z pada QR. Jika $|TX|:|XW|=1:2$, $|UY|:|YV|=2:1$, dan $PXYZ$ membentuk bidang datar, maka volume berdiri $TUYX.PQZ$ ialah … $c{{m}^{3}}$ A. 108 B. 80 C. 72 D. 60 E. 36 Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini! ${{V}_{Kubus}}={{6}^{3}}=216$ Jika kita perhatikan gambar! Maka bidang PXYZ membagi volume berdiri ruang PQLK.TUMN, maka: ${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{2}.{{V}_{PQLK.TUMN}}$ ${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.{{V}_{Kubus}}$ ${{V}_{TUYX.PQZ}}=\frac{1}{3}.216=72$ Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 5
Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ganjal berbentuk persegi dan tinggi limas $2\sqrt{3}$ cm. Jika T’ proyeksi T pada bidang ganjal dan titik P ialah perpotongan garis berat segitiga TBC, maka panjang sisi ganjal limas biar T’P tegak lurus segitiga TBC ialah … cm. A. 2 B. $\sqrt{6}$ C. $\sqrt{8}$ D. 3 E. 4 Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini! $TT'=2\sqrt{3}$ Perhatikan segitiga $TT'Q$, maka: $TQ=\sqrt{{{a}^{2}}+{{(2\sqrt{3})}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+12}$ $T'P.TQ=TT'.T'Q$ $T'P=\frac{TT'.T'Q}{TQ}$ $T'P=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+12}}$ Karena P ialah titik berat segitiga TBC, maka: $PQ=\frac{1}{3}TQ\Leftrightarrow PQ=\frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+12}$ Perhatikan segitiga T’PQ. $T'{{Q}^{2}}=T'{{P}^{2}}+P{{Q}^{2}}$ ${{a}^{2}}={{\left( \frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{{{a}^{2}}+12}} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{3}\sqrt{{{a}^{2}}+12} \right)}^{2}}$ ${{a}^{2}}=\frac{12{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+12}+\frac{{{a}^{2}}+12}{9}$ $9{{a}^{2}}({{a}^{2}}+12)=108{{a}^{2}}+{{({{a}^{2}}+12)}^{2}}$ $9{{a}^{4}}+108{{a}^{2}}=108{{a}^{2}}+{{a}^{4}}+24{{a}^{2}}+144$ $8{{a}^{4}}-24{{a}^{2}}-144=0$ ${{a}^{4}}-3{{a}^{2}}-18=0$ $({{a}^{2}}+3)({{a}^{2}}-6)=0$ $({{a}^{2}}+3)(a+\sqrt{6})(a-\sqrt{6})=0$ $a=\sqrt{6}$ Jadi, sisi ganjal limas $=2a=2\sqrt{6}$ Kunci: Tidak Ada Opsi
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 6
Garis $g$ merupakan garis singgung kurva $y=2{{x}^{2}}-x-1$ dengan gradien $m$. Jika garis $g$ membentuk sudut ${{45}^{o}}$ terhadap garis $2x-y+4=0$, dan $0 < m < 2$, maka persamaan $g$ ialah … A. $3x+9y+11=0$ B. $3x+9y-11=0$ C. $-3x+9y+11=0$ D. $-3x+9y-11=0$ E. $3x-9y-11=0$ Pembahasan: Kurva $y=2{{x}^{2}}-x-1$ maka ${{m}_{g}}=y'=4x-1$ Misal garis k: $2x-y+4=0$, ${{m}_{k}}=2$, $\angle ({{m}_{g}},{{m}_{k}})={{45}^{o}}$, maka: $tg{{45}^{o}}=\left| \frac{{{m}_{g}}-{{m}_{k}}}{1+{{m}_{g}}.{{m}_{k}}} \right|$ $1=\left| \frac{{{m}_{g}}-2}{1+{{m}_{g}}.2} \right|$, diketahui pada soal $0 < m_g < 2$, maka: $1+2{{m}_{g}}=-{{m}_{g}}+2$ $3{{m}_{g}}=1$ ${{m}_{g}}=\frac{1}{3}$ $4x-1=\frac{1}{3}$ $12x-3=1\Leftrightarrow {{x}_{1}}=\frac{1}{3}$ $y=2{{x}^{2}}-x-1$ ${{y}_{1}}=2{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}-\frac{1}{3}-1=\frac{-10}{9}$ Garis g melalui titik $\left( \frac{1}{3},\frac{-10}{9} \right)$ dan $m=\frac{1}{3}$ adalah: $y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$ $y+\frac{10}{9}=\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3})$ $3x-9y-11=0$ atau $-3x+9y+11=0$ Kunci: C/E
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 7
Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{{{625}^{x-2}}}>\sqrt{{{125}^{x}}}.\sqrt[3]{{{25}^{6x}}}$ ialah … A. $x > -\frac{8}{3}$ B. $x < -\frac{8}{3}$ C. $x < -\frac{8}{7}$ D. $x > -\frac{8}{7}$ E. $x < -\frac{12}{5}$ Pembahasan: $\sqrt{{{625}^{x-2}}} > \sqrt{{{125}^{x}}}.\sqrt[3]{{{25}^{6x}}}$ ${{\left( {{5}^{4}} \right)}^{\frac{x-2}{2}}} > {{\left( {{5}^{3}} \right)}^{\frac{x}{2}}}.{{\left( {{5}^{2}} \right)}^{\frac{6x}{3}}}$ ${{5}^{2x-4}} > {{5}^{\frac{3x}{2}+4x}}$ $2x-4 > \frac{3x}{2}+4x$ $4x-8 > 3x+8x$ $x < -\frac{8}{7}$ Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 8
Himpunan semua $x$ yang memenuhi $|x-2|-1\ge x$ ialah … A. $\{x|0\le x\le \frac{7}{2}\}$ B. $\{x|x\ge 0\}$ C. $\{x|x\le \frac{1}{2}\}$ D. $\{x|0\le x\le \frac{5}{2}\}$ E. $\{x|-1\le x\le \frac{1}{2}\}$ Pembahasan: $|x-2|-1\ge x$ $|x-2|\ge x+1$ Untuk $x\ge 2$ maka: $|x-2|-1\ge x$ $x-2\ge x+1\Leftrightarrow -2\ge 1$ $-2\ge 1$, tidak ada penyelesaian. Untuk $x < 2$ maka: $|x-2|-1\ge x$ $-(x-2)\ge x+1$ $-2x\ge -1$ $x\le \frac{1}{2}$ Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 9
Suku banyak P(x) dibagi ${{x}^{2}}-x-2$ mempunyai hasil bagi Q(x) dan sisa $x+2$. Jika $Q(x)$ dibagi $x+2$ mempunyai sisa 3, maka sisa P(x) dibagi ${{x}^{2}}+3x+2$ ialah …. A. $-11x-10$ B. $-10x-11$ C. $11x-10$ D. $10x+11$ E. $11x+10$ Pembahasan: Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa $Q(x)=(x+2).Hasil+3$ $Q(-2)=(-2+2).Hasil+3=3$ $P(x)=({{x}^{2}}-x-2).Q(x)+x+2$ $P(x)=(x-2)(x+1).Q(x)+x+2$ Untuk x = -2, maka: $P(-2)=(-2-2)(-2+1).Q(-2)+(-2)+2$ $P(-2)=-4.(-1).3-2+2=12$ Untuk x = -1, maka: $P(-1)=(-1-2)(-1+1).Q(-1)+(-1)+2$ $P(-1)=1$ Pertanyaan: $P(x)=({{x}^{2}}+3x+2).Hasil+ax+b$ $P(x)=(x+2)(x+1).Hasil+ax+b$ $P(-2)=-2a+b=12$ $P(-1)=-a+b=1$ ---------------------------- (-) $-a=11\Leftrightarrow a=-11,b=-10$ Jadi, sisa $ax+b=-11x-10$ Kunci: A
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 10
Jumlah $n$ suku pertama suatu deret aritmetika dinotasikan dengan ${{S}_{n}}$. Jika suku pertama deret tersebut tak nol dan ${{S}_{4}}$, ${{S}_{8}}$ dan ${{S}_{16}}$ membentuk barisan geometri maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}$ = … A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 Pembahasan: Barisan aritmetika: ${{S}_{4}}=2(2a+3b)$, ${{S}_{8}}=4(2a+7b)$, $8(2a+15b)$ Barisan geometri: ${{S}_{4}}$, ${{S}_{8}}$ dan ${{S}_{16}}$ ${{({{S}_{8}})}^{2}}={{S}_{4}}.{{S}_{6}}$ ${{[4(2a+7b)]}^{2}}=[2(2a+3b)][8(2a+15b)]$ $16(4{{a}^{2}}+28ab+49{{b}^{2}})=16(4{{a}^{2}}+36ab+45{{b}^{2}})$ $4{{a}^{2}}+28ab+49{{b}^{2}}=4{{a}^{2}}+36ab+45{{b}^{2}}$ $4{{b}^{2}}-8ab=0$ $4b(b-2a)=0$ maka $b=0$ atau $b=2a$ $b=0$ maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}=\frac{4(2a+7.0)}{2(2a+3.0)}=\frac{8a}{4a}=2$ $b=2a$ maka $\frac{{{S}_{8}}}{{{S}_{4}}}=\frac{4(2a+7.2a)}{2(2a+3.2a)}=\frac{64a}{16a}=4$ Kunci: A dan B
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 11
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\cos }^{3}}x}{x\tan x}$ = … A. 0 B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{3}{2}$ E. 3 Pembahasan: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-{{\cos }^{3}}x}{x\tan x}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{(1-\cos x)(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)}{x\tan x}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}x.(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)}{x\tan x}$ $=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\sin \frac{1}{2}x.\sin \frac{1}{2}x}{x\tan x}(1+\cos x+{{\cos }^{2}}x)$ $=2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.(1+1+1)$ $=\frac{3}{2}$ Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 12
Jika kurva $f(x)=a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+1$ mempunyai titik ekstrim $(1,-5)$ maka kurva tersebut naik pada … A. {$x|x\le 0$ atau $x\ge 2$} B. {$x|x\le 0$ atau $x\ge 1$} C. {$x|x\le -2$ atau $x\ge 0$} D. {$x|x\le -\frac{1}{2}$ atau $x\ge 0$} E. {$x|x\le -2$ atau $x\ge 1$} Pembahasan: $f(x)=a{{x}^{3}}-b{{x}^{2}}+1$ $f(1)=a-b+1=-5$ $a-b=-6$ $a=b-6$ Titik ekstrim di $(1,-5)$, maka $f'(1)=0$ $f'(x)=3a{{x}^{2}}-2bx$ $f'(1)=3a-2b=0$ $3a-2b=0$ $3(b-6)-2b=0$ $b=18$ $a=b-6\Leftrightarrow a=18-6=12$ Kurva naik untuk $f'(1)\ge 0$ $3a{{x}^{2}}-2bx\ge 0$ $3.12{{x}^{2}}-2.18x\ge 0$ $36{{x}^{2}}-36x\ge 0$ $36x(x-1)\ge 0$ $x=0$ atau $x=1$ HP = {$x|x\le 0$ atau $x\ge 1$} Kunci: B
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 13
Dari 15 anak terdiri atas pria dan wanita akan diambil 2 anak secara bersamaan. Jika banyak kemungkinan terambil pria dan wanita ialah 26, maka selisih jumlah pria dan wanita ialah … A. 13 B. 11 C. 9 D. 5 E. 3 Pembahasan: Misal: p = jumlah anak laki-laki w = jumlah anak perempuan p + w = 15, w = 15 – p $C_{1}^{p}.C_{1}^{w}=26$ $p.w=26$ $p(15-p)=26$ $15p-{{p}^{2}}=26$ ${{p}^{2}}-15p+26=0$ $(p-13)(p-2)=0$ $p=13$ atau $p=2$ $w=15-p$ $p=13\Rightarrow w=2\Rightarrow p-w=11$ $p=2\Rightarrow w=13\Rightarrow w-p=11$ Kunci: B
Matematika IPA UTUL UGM 2013 Kode 261 No. 14
Diketahui polinomial $f(x)$ habis dibagi $x-1$. Jika $f'(x)$ dibagi $x-1$ bersisa ${{a}^{2}}$ dan $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=2a-1$ maka $a$ = … A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2 Pembahasan: $f(x)$ habis dibagi $x-1$ maka $f(1)=0$ $f'(x)$ dibagi $x-1$ bersisa $f'(1)={{a}^{2}}$ $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=2a-1$ $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f'(x)}{1}=2a-1$ $f'(1)=2a-1$ ${{a}^{2}}=2a-1$ ${{a}^{2}}-2a+1=0$ $(a-1)(a-1)=0$ $a=1$ Kunci: D
Berikut ini yakni Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2014 Kode 532. Saya berharap kiranya pembahasan ini kiranya berkhasiat bagi adik-adik yang berkeingin melanjutkan pendidikan tinggi ke salah satu Perguruan Tinggi Negeri (Perguruan Tinggi Negeri) yang terletak di Daerah spesial Yogyakarta yaitu Universitas Gadjah Mada (UGM). Agar adik-adik sanggup diterima sebagai mahasiswa/i gres di UGM maka perlu mempersiapkan diri dengan melatih diri menjawab soal-soal ujian tulis (UTUL) UGM tahun-tahun sebelumnya. Mari kita berguru dan berdiskusi melalui kolom komentar yang ada.
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 1
Tiga laki-laki dan empat perempuan akan duduk dalam satu baris. Banyak cara mereka duduk sehingga yang berjenis kelamin sama tidak berdampingan yakni ... A. 24 B. 49 C. 144 D. 288 E. 5040 Pembahasan: L = pria P = wanita
=4! × 3! = 24 × 6 = 144 Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 2
Untuk setiap bilangan orisinil $n$ didefinisikan ${{A}_{n}}=\left( \begin{matrix} n & 2n \\ 3n & 4n \\ \end{matrix} \right)$. Jika $det(A_1+A_2+...+A_k)$ = -4050, maka $det(A_{2k})$ = ... A. -800 B. -648 C. -512 D. -392 E. -288 Pembahasan: ${{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}+...+{{A}_{k}}$ = $\left( \begin{matrix} 1+2+...+k & 2(1+2+...+k) \\ 3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k) \\ \end{matrix} \right)$ $\det \left( {{A}_{1}}+{{A}_{2}}+{{A}_{3}}+...+{{A}_{k}} \right)$ = $\left( \begin{matrix} 1+2+...+k & 2(1+2+...+k) \\ 3(1+2+...+k) & 4(1+2+...+k) \\ \end{matrix} \right)$ $-4050$ = $4{{(1+2+...+k)}^{2}}-6{{(1+2+...+k)}^{2}}$ $-4050$ = $-2{{(1+2+...+k)}^{2}}$ $2025$ = ${{\left( 1+2+...+k \right)}^{2}}$ $2025$ = ${{\left[ \frac{k(k+1)}{2} \right]}^{2}}$ $45$ = $\frac{k(k+1)}{2}$ $90=k(k+1)\Rightarrow k=9$ $\det {{A}_{2k}}=-2{{(-2k)}^{2}}$ $\det {{A}_{2k}}=-8{{k}^{2}}=-8.81=-648$ Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 3
Diketahui persamaan $x^2+px+q=0$ mempunyai akar-akar faktual $x_1$ dan $x_2$. Jika $x_1$, 6, $x_2$ yakni tiga suku pertama barisan geometri dan $x_1$, $x_2$, 14 tiga suku pertama barisan aritmetika, maka $p+q$ = ... A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 E. 27 Pembahasan: $x^2+px+q=0$, $x_1+x_2=-p$, $x_1.x_2=q$ Barisan Geometri: $x_1$, 6, $x_2$, maka: $36={{x}_{1}}.{{x}_{2}}\Leftrightarrow 36=q$ $\frac{36}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}$ Barisan Aritmetika: $x_1$, $x_2$, 14, maka: $2{{x}_{2}}={{x}_{1}}+14$ $2{{x}_{2}}=\frac{36}{{{x}_{2}}}+14$, kali dengan ${{x}_{2}}$ $2x_{2}^{2}-14x-36=0$ $x_{2}^{2}-7x-18=0$ $({{x}_{2}}-9)({{x}_{2}}+2)=0$ ${{x}_{2}}=9$ $\frac{36}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}\Leftrightarrow \frac{36}{9}={{x}_{1}}=4$ ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p\Leftrightarrow 9+4=-p\Leftrightarrow -13=p$ $p+q=-13+36=23$ Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 4
Jika $f(x)=(\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$ dan $f'(x)=2\cos 3x + g(x)$ maka $g(x)$ = ... A. $\cos 3x + \sin x$ B. $\cos 3x - \sin x$ C. $\cos x + \sin x$ D. $\cos x - \sin x$ E. $-\cos x + \sin x$ Pembahasan: $f(x)=(\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$ $=\sin x\cos 2x+\sin x\sin 2x$ $+\cos x\cos 2x+\cos x\sin 2x$ $=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x$ $\cos 2x\cos x+\sin 2x\sin x$ $f(x)=\sin 3x+\cos x$ $f'(x)=3\cos 3x-\sin x$; $f'(x)=2\cos 3x + g(x)$ $2co3x+g(x)=3\cos 3x-\sin x$ $g(x)=\cos 3x-\sin x$ Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2014 No. 5
Diketahui $D_1$ yakni tempat di kuadran I yang dibatasi oleh parabola $y=\frac{9}{4}x^2$, parabola $y=x^2$, dan garis $x=2$, dan ${{D}_{2}}$ tempat yang dibatasi oleh garis $x=2$, garis $y=9$, parabola $y={{x}^{2}}$. Jika luas $D_1=a$, maka luas $D_2$ yakni ...
A. $\frac{7}{10}a$ B. $\frac{8}{10}a$ C. $\frac{9}{10}a$ D. $\frac{11}{10}a$ E. $\frac{13}{10}a$
Misalkan matriks $A=\left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right)$, maka:
$\left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$a+2b+c=2$ … persamaan (1)
$d+2e+f=2$ …persamaan (2)
$g+2h+i=2$ … persamaan (3)
$\left( \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$a+2b+3c=2$ … persamaan (4)
$d+2e+3f=4$… persamaan (5)
$g+2h+3i=2$ … persamaan (6)
Dari (1) dan (4) diperoleh: c = 0, dan $a+2b=2$
Dari (2) dan (5) diperoleh: f = 1, dan $d+2e=1$
Dari (3) dan (6) diperoleh: I = 0, dan $g+2h=2$
$Ax=\left( \begin{matrix} a & b & 0 \\ d & e & 1 \\ g & h & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 10 \\ \end{matrix} \right)$
Diberikan segitiga ABC dengan $\angle A=\alpha $, $\angle B={{90}^{o}}$, dan $\angle C=\gamma $. Jika $\cos \alpha = x$, maka $\cos (\alpha +2\gamma )$ = …
A. $-x$ B. $-\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ C. $x$ D. $\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ E. 1
Sebuah prisma ABCD.EFGH mempunyai bantalan berbentuk persegi. Titik T yakni titik tengah diagonal HF. Jika $\angle EAT=\frac{\pi }{6}$ dan volume prisma tersebut $4\sqrt{6}$, maka tinggi prisma yakni …
A. $\sqrt{6}$ B. $\sqrt{3}$ C. $\sqrt{2}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ E. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
Diketahui vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ membentuk sudut sebesar $\theta $. Jika panjang proyeksi vektor $\vec{b}$ pada $\vec{a}$ sama dengan $2\sin \theta $ dan panjang vektor $\vec{b}$ yakni 1, maka $\tan 2\theta $ = …
A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{2}{3}$ C. 1 D. $\frac{4}{3}$ E. $\frac{5}{3}$
Diketahui jumlah empat suku pertama suatu barisan aritmetika sama dengan jumlah tiga suku selanjutnya. Jika jumlah 10 suku pertama yakni 270, maka suku pertama barisan tersebut yakni …
To the point aja ya...! Hari ini kembali Catatan Matematika menyebarkan yaitu Soal dan Pembahasan Matematika IPA UM-UGM 2015 Kode 631 dengan cita-cita kiranya soal dan pembahasan ini bermanfaat bagi adik-adik sekalian yang ingin mengikuti ujian tulis Universitas Gadjah Mada (UTUL-UGM) dan untuk memenangkan suatu ujian/seleksi maka perlu banyak berlatih soal-soal terdahulu. Yukk... kita pelajari bersama..! Jika ada yang kurang terperinci atau ada pembahasan yang ingin dikoreksi mari berdiskusi melalui kolom komentar.
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 1
Jika garis $2x+y+4=0$ dan $2x+y-6=0$ menyinggung bulat dengan sentra $(1,p)$ maka persamaan bulat tersebut yaitu … A. $x^2+y^2-2x+2y-3=0$ B. $x^2+y^2-2x-2y-3=0$ C. $x^2+y^2-2x-4y-3=0$ D. $x^2+y^2-2x-4y-3=0$ E. $x^2+y^2-2x+4y=0$ Pembahasan: Jarak titik $(1,p)$ ke garis $2x+y+4=0$ sama dengan jarak titik $(1,p)$ ke garis $2x+y-6=0$, maka: $\left| \frac{2.1+p+4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\left| \frac{2.1+p-6}{\sqrt{2^2+1^2}} \right|$ $\left| p+6 \right|=\left| p-4 \right|$ ${{(p+6)}^{2}}={{(p-4)}^{2}}$ ${{p}^{2}}+12p+36={{p}^{2}}-8p+16$ $20p=-20\Leftrightarrow p=-1$ Panjang jari-jari bulat yaitu jarak titik $(1,p)=(1,-1)$ ke garis $2x+y+4=0$, $r=\frac{2.1+(-1)+4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}$ $r=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ Persamaan lingkaran: ${{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}={{(\sqrt{5})}^{2}}$ ${{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}+2y+1=5$ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-3=0$ Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 2
Nilai minimum fungsi $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ pada $0\le x\le 2\pi $ yaitu … A. -4 B. -3 C -2 D. -1 E. 0 Pembahasan: $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ $f'(x)=2\cos x-2\sin 2x$ $f'(x)=0$ $2\cos x-2\sin 2x=0$ $\cos x-2\sin x\cos x=0$ $\cos x(1-2\sin x)=0$ $\cos x=0\Rightarrow {{x}_{1}}={{90}^{o}},{{x}_{2}}={{270}^{o}}$ $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{3}}={{30}^{o}},{{x}_{4}}={{150}^{o}}$ $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ $f({{30}^{o}})=2\sin {{30}^{o}}+\cos {{2.30}^{o}}=\frac{3}{2}$ $f({{90}^{o}})=2\sin {{90}^{o}}+\cos {{2.90}^{o}}=1$ $f({{150}^{o}})=2\sin {{150}^{o}}+\cos {{2.150}^{o}}=\frac{3}{2}$ $f({{270}^{o}})=2\sin {{270}^{o}}+\cos {{2.270}^{o}}=-3$ Jadi, $f{{(x)}_{\min }}=-3$ Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 3
Hasil pencerminan titik $C(-4,-2)$ terhadap garis $ax+by+6=0$ yaitu $C'(4,10)$. Nilai $a+2b$ yaitu … A. -8 B. -4 C. 2 D. 4 E. 8 Pembahasan: $ax+by+6=0$ melalui titik tengah $C(-4,-2)$ dan $C'(4,10)$ yaitu: $\left( \frac{-4+4}{2},\frac{-2+10}{2} \right)=(0,4)$ maka $a.0+b.4+6=0\Rightarrow b=\frac{-3}{2}$. Gradien garis $ax+by+6=0$ tegak lurus dengan garis $CC'$ maka: $\frac{-a}{b}.\frac{10-(-2)}{4-(-4)}=-1$ $\frac{-a}{b}.\frac{3}{2}=-1$ $a=\frac{2}{3}b$ $a=\frac{2}{3}.\left( -\frac{3}{2} \right)=-1$ $a+2b=-1+2.\left( -\frac{3}{2} \right)=-4$ Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 4
Diketahui vektor $\vec{p}=a\hat{i}+b\hat{j}+2\hat{k}$, $\vec{q}=\hat{i}+2\hat{j}+c\hat{k}$, dan $\vec{r}=3\hat{i}+6\hat{j}+c\hat{k}$ dengan $a,b\ne 0$. Jika $p\bot q$ dan $p\bot r$, maka $\frac{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}{ab}$ = ... A. -8 B. -4 C. -2 D. 2 E. 4 Pembahasan: $p\bot q\Rightarrow p.q=0$ $\left( \begin{matrix} a \\ b \\ 2 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ c \\ \end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow a+2b+2c=0$ … (1) $p\bot r\Rightarrow p.r=0$ $\left( \begin{matrix} a \\ b \\ 2 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 3 \\ 6 \\ c \\ \end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow 3a+6b+2c=0$… (2) Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1) diperoleh: $2a+4b\Leftrightarrow a=-2b$ $\frac{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}{ab}=\frac{{{(-2b)}^{2}}+4{{b}^{2}}}{-2b.b}=-4$ Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4p. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk FG, BF, dan GH dengan GP = BQ = GR = p. Sudut antara bidang yang melalui titik P, Q, R dan bidang ABCD yaitu $\alpha$. Nilai $\tan \alpha$ yaitu … A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. 1 D. $\sqrt{2}$ E. $\sqrt{3}$ Pembahasan: Perhatikan gambar berikut! Perhatikan segitiga KMN siku-siku di titik N Jika $\alpha $ = $\angle $(Bidang PQR, bidang ABCD) maka: $\tan \alpha =\frac{KN}{MN}=\frac{4p}{2p\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ Kunci: D
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 6
Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi $|3x-4|=x+5$, maka nilai $x_1+x_2$ yaitu … A. $\frac{13}{4}$ B. $\frac{15}{4}$ C. $\frac{17}{4}$ D. $\frac{19}{4}$ E. $\frac{21}{4}$ Pembahasan: $|3x-4|=x+5$ ${{(3x-4)}^{2}}={{(x+5)}^{2}}$ $9{{x}^{2}}-24x+16={{x}^{2}}+10x+25$ $8{{x}^{2}}-34x-9=0$ ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{34}{8}=\frac{17}{4}$ Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 7
Jika 9, $x_1$, dan $x_2$ merupakan tiga akar berbeda dari $x^3-6x^2-ax+b=0$ dengan $b-a=5$, maka $x_1+x_2+x_1.x_2$ = … A. -7 B. -4 C. -1 D. 1 E. 3 Pembahasan: $x^3-6x^2-ax+b=0$ akar-akarnya $x_1$, $x_2$, dan ${{x}_{3}}=9$ $x=9$maka: ${{9}^{3}}-{{6.9}^{2}}-9a+b=0$ $b-9a=-243$ $b-a=5$ -------------------- (-) $-8a=-248\Rightarrow a=31,b=36$ ${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-31x+36=0$ ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\frac{B}{A}=6$ ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+9=6\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3$ ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=\frac{-D}{A}=-36$ $9{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-36\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4$ ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-3+(-4)=-7$ Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 8
Pertidaksamaan ${{(3x)}^{1+{}^{3}\log 3x}} > 81{{x}^{2}}$ memiliki penyelesaian … A. $x > 3$ B. $x < \frac{1}{9}$ C. $x < \frac{1}{3}$ D. $x < \frac{1}{3}$ atau $x > 9$ E. $x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$ Pembahasan: (1) Syarat numerus: $3x > 0 \Rightarrow x > 0$ (2) Dari pertidaksamaan: ${{(3x)}^{1+{}^{3}\log 3x}} > 81{{x}^{2}}$ $3x.{{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > 3x.27x$ ${{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > 27x$ ${}^{3}\log {{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > {}^{3}\log 27x$ ${}^{3}\log 3x.{}^{3}\log 3x > {}^{3}\log 9+{}^{3}\log 3x$ ${{\left( {}^{3}\log 3x \right)}^{2}}-{}^{3}\log 3x-2 > 0$ $({}^{3}\log 3x+1)({}^{3}\log 3x-2) > 0$ ${}^{3}\log 3x < -1$ atau ${}^{3}\log 3x > 2$ $3x < {{3}^{-1}}$ atau $3x > {{3}^{2}}$ $x < {{3}^{-2}}$ atau $x > 3$ $x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$ Himpunan penyelesaian yaitu irisan dari hasil (1) dan (2) maka diperoleh: $0 < x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$ Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 9
Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan geometri. Jika suku di tengah dikalikan dengan $-\frac{5}{3}$ maka akan membentuk barisan aritmetika. Maksimum dari bilangan-bilangan tersebut yaitu … A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 E. 56 Pembahasan: Barisan Geometri: $a,ar,a{{r}^{2}}$ $a+ar+a{{r}^{2}}=42$ $a+a{{r}^{2}}=42-ar$ Barisan Aritmetika: $a,-\frac{5}{3}ar,a{{r}^{2}}$ $2.\left( -\frac{5}{3}ar \right)=a+a{{r}^{2}}$ $2.\left( -\frac{5}{3}ar \right)=42-ar$ $-10ar=126-3ar$ $-7ar=126$ $ar=-18$ $a=\frac{-18}{r}$ $a+ar+a{{r}^{2}}=42$ $-\frac{18}{r}(1+r+{{r}^{2}})=42$ $-18-18r-18{{r}^{2}}=42r$ $18{{r}^{2}}+60r+18=0$ $3{{r}^{2}}+10r+3=0$ $(3r+1)(r+3)=0$ $r=-\frac{1}{3}$ atau $r=-3$ $a=\frac{-18}{r}$ $r=-\frac{1}{3}\Rightarrow a=54$ maka ketiga bilangan itu: 54, -18, 6 $r=-3\Rightarrow a=6$ maka ketiga bilangan itu: 6, -18, 54 Bilangan terbesar yaitu 54. Kunci: D
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 10
Jika b, c $\ne$ 0 dan $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}=d$, maka b = … A. $2{{c}^{2}}d$ B. ${{c}^{2}}d$ C. $\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$ D. $-\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$ E. $-{{c}^{2}}d$ Pembahasan: $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}=d$ $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{-2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}c(x-a)}=d$ $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)}{-2\sin \frac{1}{2}c(x-a)}.\frac{\tan b(a-x)}{\sin \frac{1}{2}c(x-a)}=d$ $\frac{1}{-2.\frac{1}{2}c}.\frac{b.(-1)}{\frac{1}{2}c}=d$ $\frac{-b}{-\frac{1}{2}{{c}^{2}}}=d\Rightarrow b=\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$ Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 11
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(1)=2$ dan $f'(1)=1$. Jika $g(x)=\frac{\sqrt{1+x+f(x)}}{{{f}^{2}}(x)}$, dengan ${{f}^{2}}(x)=f(x).f(x)$, maka nilai $g'(1)$ yaitu … A. -2 B. $-\frac{3}{8}$ C. 0 D. $\frac{1}{4}$ E. $\frac{7}{3}$ Pembahasan: $g(x)=\frac{\sqrt{1+x+f(x)}}{{{f}^{2}}(x)}=\frac{u}{v}$ $g'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$ $g'(x)=\frac{\frac{1+f'(x)}{2\sqrt{1+x+f(x)}}.{{f}^{2}}(x)-2f'(x)f(x)\sqrt{1+x+f(x)}}{{{[{{f}^{2}}(x)]}^{2}}}$ $g'(1)=\frac{\frac{1+f'(1)}{2\sqrt{1+1+f(1)}}.{{f}^{2}}(1)-2f'(1).f(1)\sqrt{1+1+f(1)}}{{{[{{f}^{2}}(1)]}^{2}}}$ $g'(1)=\frac{\frac{1+1}{2\sqrt{1+1+2}}{{.2}^{2}}-2.1.2\sqrt{1+1+2}}{{{[{{2}^{2}}]}^{2}}}$ $g'(1)=\frac{2-8}{16}=-\frac{3}{8}$ Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 12
Fungsi $f(x)=x-2\sqrt{x+a}$ memiliki nilai minimum b di titik $x=-4$. Nilai $a+b$ yaitu … A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 E. 3 Pembahasan: $f(x)=x-2\sqrt{x+a}$ $f'(x)=1-2.\frac{1}{2\sqrt{x+a}}$ Nilai minimum di titik $x=-4$, maka: $f'(-4)=0$ $1-\frac{1}{\sqrt{-4+a}}=0$ $1=\frac{1}{\sqrt{-4+a}}$ $\sqrt{-4+a}=1$ $-4+a=1\Leftrightarrow a=5$ Nilai minimum b di titik $x=-4$, maka: $f(-4)=b$ $-4-2\sqrt{-4+5}=b\Leftrightarrow b=-6$ $a+b=5+(-6)=-1$ Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 13
Di dalam kotak terdapat tiga buah bola yang masing-masing berwarna merah, biru dan hijau. Jika lima siswa bergiliran mengambil satu bola dan sehabis bola terambil dikembalikan lagi ke kotak, maka banyak kombinasi warna yang mungkin yaitu … A. 10 B. 21 C. 32 D. 56 E. 120 Pembahasan: Tersedia 3 bola: M = bola merah, B = bola biru, H = bola hijau. 5 anak mengambil 1 bola bergiliran dan dikembalikan. Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah:
5 M yaitu: MMMMM ada sebanyak 1.
4 M yaitu: MMMMB, MMMMH ada sebanyak 2.
3 M yaitu: MMMBB, MMMBH, MMMHH ada sebanyak 3.
2 M yaitu: MMBBB, MMBBH, MMBHH, MHHHH ada sebanyak 4.
1 M yaitu: MBBBB, MBBBH, MBBHH, MBHHH, MHHHH ada sebanyak 5.
0 M yaitu: BBBBB, BBBBH, BBBHH, BBHHH, BHHHH, HHHHH ada sebanyak 6.
Tiga buah bilangan berbeda yang hasil kalinya 125 membentuk tiga suku berurutan barisan geometri. Ketiga bilangan tersebut masing-masing merupakan suku pertama, suku ketiga, dan suku keenam barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut yaitu … A. $\frac{75}{6}$ B. $\frac{85}{6}$ C. $\frac{95}{6}$ D. $\frac{105}{6}$ E. $\frac{110}{6}$ Pembahasan: Barisan Geometri: $a,ar,a{{r}^{2}}$ $a.ar.a{{r}^{2}}=125$ ${{(ar)}^{3}}={{5}^{3}}\Leftrightarrow ar=5\Leftrightarrow a=\frac{5}{r}$ Barisan Aritmetika: ${{U}_{1}}=a$, ${{U}_{3}}=ar$, ${{U}_{6}}=a{{r}^{2}}$ $b=\frac{{{U}_{3}}-{{U}_{1}}}{3-1}\Leftrightarrow b=\frac{ar-a}{2}$ ${{U}_{6}}=a+5b=a{{r}^{2}}$ ${{U}_{3}}=a+2b=ar$ ---------------------- (-) $3b=a{{r}^{2}}-ar$ $b=\frac{a{{r}^{2}}-ar}{3}$ $\frac{ar-a}{2}=\frac{a{{r}^{2}}-ar}{3}$ $\frac{r-1}{2}=\frac{{{r}^{2}}-r}{3}$ $2{{r}^{2}}-2r=3r-3$ $2{{r}^{2}}-5r+3=0$ $(2r-3)(r-1)=0$ $r=\frac{3}{2}$ atau $r=1$ Ambil $r=\frac{3}{2}$, maka $a=\frac{5}{r}=\frac{5}{3/2}\Leftrightarrow a=\frac{10}{3}$ Jumlah ketiga bilangan adalah: $=a+ar+a{{r}^{2}}$ $=\frac{10}{3}+5+\frac{15}{2}=\frac{95}{6}$ Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 15
Persamaan bulat yang pusatnya terletak pada sumbu X dan melalui titik-titik potong parabola $y=-{{x}^{2}}+6x$ dan garis $2x-y=0$ yaitu … A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-17x=0$ B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-18x=0$ C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-19x=0$ D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-20x=0$ E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-21x=0$ Pembahasan: Titik potong $y=-{{x}^{2}}+6x$ dan $2x-y=0$ adalah: $-{{x}^{2}}+6x=2x$ ${{x}^{2}}-4x=0$ $x(x-4)=0$ $x=0$ atau $x=4$ $2x-y=0\Leftrightarrow y=2x$ $x=0\Rightarrow y=0\Leftrightarrow (0,0)$ $x=4\Rightarrow y=8\Leftrightarrow (4,8)$ Lingkaran melalui titik $(0,0)$ dan $(4,8)$dan sentra berada pada sumbu X yaitu $(a,0)$, maka panjang jari-jari bulat yaitu jarak titik $(a,0)$ ke titik $(0,0)$ atau jarak titik $(a,0)$ ke titik $(4,8)$ diperoleh: $a=\sqrt{{{(4-a)}^{2}}+{{(8-0)}^{2}}}$ ${{a}^{2}}=16-8a+{{a}^{2}}+64$ $8a=80\Leftrightarrow a=10\Rightarrow r=10$ Persamaan bulat dengan sentra $(10,0)$ dan $r=10$ adalah: ${{(x-10)}^{2}}+{{y}^{2}}={{10}^{2}}$ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-20x=0$ Kunci: D
Hai, teman-teman pecinta matematika. Catatan Matematika kembali menyebarkan soal dan pembahasan nih! Lho apa tidak bosan berbagi? Apa tidak lelah berbagi? Tentu tidak lantaran menyebarkan itu indah. Dan saya berharap teman-teman pembaca juga jangan pernah lelah untuk mencar ilmu dan berdiskusi secara online di Catatan Matematika. Oh iya.... kalian juga dapat ikut menyebarkan kok! Caranya? gampang... silahkan share ke postingan ini ke teman-teman, saudara, siswa/i bapak ibu guru. Oke pribadi aja disimak Soal dan Pembahasan Matematika IPA UTUL UGM 2016 Kode 582 berikut ini.
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 1
Semua nilai $x$ yang memenuhi $|x+1| > x+3$ dan $|x+2| < 3$ ialah … A. $x < -2$ B. $-5 < x < -2$ C. $x > -5$ D. $-5 < x < 1$ E. $x > 1$ Pembahasan: $|x+1| > x+3$ ${{(x+1)}^{2}} > {{(x+3)}^{2}}$ ${{x}^{2}}+2x+1 > {{x}^{2}}+6x+9$ $-4x > -8$ $-4x > -8$ $x < 2$…. (1) $|x+2| < 3$ ${{(x+2)}^{2}} < {{3}^{2}}$ ${{x}^{2}}+4x+4 < 9$ ${{x}^{2}}+4x-5 < 0$ $(x+5)(x-1) < 0$ $-5 < x < 1$ …. (2) Dari irisan dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian: $-5 < x < 1$ Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 2
Diketahui sukubanyak $p(x)$ kalau dibagi dengan $({{x}^{2}}-2x)$ sisanya $(2-3x)$ dan kalau dibagi $({{x}^{2}}+x-2)$ sisanya $(x+2)$. Jika $p(x)$ dibagi dengan $({{x}^{2}}-3x+2)$ maka sisanya ialah …. A. $x-10$ B. $-x+10$ C. $-7x-10$ D. $7x-10$ E. $-7x+10$ Pembahasan: Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa $p(x)=({{x}^{2}}-2x).hasil+2-3x$ $p(x)=x(x-2).hasil+2-3x$ $p(2)=2(2-2).hasil+2-3.2$ $p(2)=-4$ $p(x)=({{x}^{2}}+x-2).hasil+x+2$ $p(x)=(x+2)(x-1).hasil+x+2$ $p(1)=(1+2)(1-1).hasil+1+2$ $p(1)=3$ $p(x)=({{x}^{2}}-3x+2).hasil+ax+b$ $p(x)=(x-2)(x-1).hasil+ax+b$ $p(2)=2a+b=-4$ $p(1)=a+b=3$ ------------------------ (-) $a=-7$ $a+b=3\Leftrightarrow -7+b=3\Leftrightarrow b=10$ Sisa = $ax+b=-7x+10$ Kunci: E
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 3
Jika ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ memenuhi persamaan $(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$ maka ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$ = … A. $5\sqrt{10}$ B. $4\sqrt{10}$ C. $3\sqrt{10}$ D. $2\sqrt{10}$ E. $\sqrt{10}$ Pembahasan: $(2\log x-1).\frac{1}{{}^{x}\log 10}=\log 10$ $(2\log x-1).{}^{10}\log x=\log 10$ $(2\log x-1).\log x=1$ $2{{\log }^{2}}x-\log x-1=0$ $(2\log x+1)(\log x-1)=0$ $\log x=-\frac{1}{2}$ atau $\log x=1$ ${{x}_{1}}={{10}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$ atau ${{x}_{2}}=10$ ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.10=\sqrt{10}$ Kunci: E
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 4
Diketahui ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ merupakan akar-akar $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ dengan ${{x}_{1}} < {{x}_{2}}$. Jika ${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$, maka $4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ = …. A. $\frac{19}{4}$ B. 4 C. $\frac{15}{4}$ D. $\frac{13}{4}$ E. 3 Pembahasan: ${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)=-2-{}^{2}\log {{x}_{2}}$ ${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log {{2}^{-2}}-{}^{2}\log {{x}_{2}}$ ${}^{2}\log \left( \frac{1}{3}{{x}_{1}} \right)={}^{2}\log \left( \frac{1}{4}.{{x}_{2}} \right)$ $\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}$ $\frac{1}{3}{{x}_{1}}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}$ Dari $4{{x}^{2}}-7x+p=0$ diperoleh: ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{7}{4}$ ${{x}_{1}}+\frac{4}{3}{{x}_{1}}=\frac{7}{4}$ $12{{x}_{1}}+16{{x}_{1}}=21$ ${{x}_{1}}=\frac{21}{28}=\frac{3}{4}$ ${{x}_{2}}=\frac{4}{3}{{x}_{1}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{4}{3}.\frac{3}{4}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$ $4{{x}_{1}}+{{x}_{2}}=4.\frac{3}{4}+1=4$ Kunci: B
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 5
Luas tempat yang dibatasi oleh kurva $y=2\cos x$, $y=1$, sumbu $X$ dan sumbu $Y$ ialah … A. $\frac{\pi }{6}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$ B. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$ C. $\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$ D. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$ E. $\frac{\pi }{2}+\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos xdx}$ Pembahasan: Perhatikan bagan gambar di bawah ini! L = Luas tempat berwarna pink + Luas berwarna hijau $L=\frac{\pi }{3}+\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{2\cos x)dx}$ Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 6
Empat siswa pria dan tiga siswa wanita bangun dalam suatu barisan. Banyaknya cara semoga ketiga siswa wanita berdampingan di barisan tersebut ialah … A. 720 B. 360 C. 144 D. 72 E. 48 Pembahasan: L = laki-laki P = perempuan Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah: LLLLPPP = 4! x 3! = 144 LLLPPPL = 4! x 3! = 144 LLPPPLL = 4! x 3! = 144 LPPPLLL = 4! x 3! = 144 PPPLLLL = 4! x 3! = 144 Seluruhnya = 5 x 144 = 720 cara. Kunci: A
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 7
Untuk suatu sudut $x$ dan $y$ berlaku: ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$ ${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$ Jumlah semua nilai $a$ yang mungkin untuk sistem persamaan di atas ialah … A. -5 B. -4 C. -3 D. 3 E. 4 Pembahasan: ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$ ${{\cos }^{2}}x+{{\sin }^{2}}y=\frac{1}{2}{{a}^{2}}$ -------------------------- (+) ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y+{{\sin }^{2}}y=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$ $1+1=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}{{a}^{2}}$ $\frac{1}{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{2}a-2=0$ ${{a}^{2}}+3a-4=0$ $(a+4)(a-1)=0$ $a=-4$ atau $a=1$ $a=-4$ tidak memenuhi ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}y=\frac{3}{2}a$, jadi nilai a yang memenuhi hanya $a=1$. Jumlah semua nilai a yang memenuhi ialah 1. Kunci: Tidak ada opsi.
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 8
Diketahui 10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$ membentuk barisan geometri. Jika ${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$ membentuk barisan aritmetika, maka nilai ${{x}_{4}}$ ialah … A. $\frac{10}{27}$ B. $\frac{5}{4}$ C. 80 D. 270 E. 640 Pembahasan: Barisan aritmetika: ${{x}_{2}}-10$, ${{x}_{3}}-10$ dan ${{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$, maka: $2({{x}_{3}}-10)={{x}_{2}}-10+{{x}_{4}}-{{x}_{3}}-{{x}_{2}}-10$ $2{{x}_{3}}-20={{x}_{4}}-{{x}_{3}}-20$ $3{{x}_{3}}={{x}_{4}}$ Barisan geometri: 10, ${{x}_{2}}$, ${{x}_{3}}$, ${{x}_{4}}$, maka: $x_{2}^{2}=10{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$ $x_{3}^{2}={{x}_{2}}.{{x}_{4}}$ $\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}={{x}_{2}}$ $\frac{x_{3}^{2}}{{{x}_{4}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$ $\frac{x_{3}^{2}}{3{{x}_{3}}}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$ $\frac{{{x}_{3}}}{3}=\sqrt{10{{x}_{3}}}$ ${{x}_{3}}=3\sqrt{10{{x}_{3}}}$ $x_{3}^{2}=90{{x}_{3}}$ ${{x}_{3}}=90$ ${{x}_{4}}=3{{x}_{3}}\Leftrightarrow {{x}_{4}}=3.90=270$ Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 9
Jika $a$, 4, $b$ ialah tiga suku berurutan dari barisan aritmetika dan $a$, 3, $b$ merupakan tiga suku berurutan suatu barisan geometri, maka $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ = … A. $\frac{1}{4}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{8}{9}$ E. $\frac{9}{8}$ Pembahasan: Barisan aritmetika: $a$, 4, $b$, maka: $2.4=a+b=8$ Barisan geometri: $a$, 3, $b$, maka: ${{3}^{2}}=ab=9$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{8}{9}$ Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 10
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$ = … A. $-\frac{18}{5}$ B. $-\frac{9}{5}$ C. $\frac{9}{5}$ D. $\frac{18}{5}$ E. $\frac{27}{5}$ Pembahasan: $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan (2x-6)}{({{x}^{2}}-x-6)}$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)\tan 2(x-3)}{(x+2)(x-3)}$ $=\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x+6)}{(x+2)}.\frac{\tan 2(x-3)}{(x-3)}$ $=\frac{(3+6)}{(3+2)}.\frac{2}{1}=\frac{18}{5}$ Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 11
Jika fungsi $g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$ naik pada $\{x\in R|x\le -2\}$ dan turun pada $\{x\in R|x\ge 2\}$, maka himpunan semua nilai $p$ memenuhi ialah … A. $\varnothing $ B. $\{p\in R|p\ge 2\}$ C. $\{p\in R|p > 0\}$ D. $\{p\in R|p < 0\}$ E. $\{p\in R|p\le -2\}$ Pembahasan: $g(x)=p\sqrt{{{x}^{2}}-4}$ (1) fungsi g(x) naik maka $g'(x) > 0$ $g'(x)=p.2x{{({{x}^{2}}-4)}^{-\frac{1}{2}}} > 0$ $\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} > 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh: $2px\ge 0$, lantaran $x < -2$ maka nilai $p < 0$. (2) fungsi g(x) turun maka $g'(x) < 0$ $\frac{2px}{\sqrt{{{x}^{2}}-4}} < 0$; nilai $\sqrt{{{x}^{2}}-4} > 0$ kita peroleh: $2px < 0$, lantaran $x > 2$ maka nilai $p < 0$. Dari (1) dan (2) kita peroleh penyelesaiannya ialah $\{p\in R|p < 0\}$. Kunci: D
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 12
Diketahui titik $(1,p)$ berada pada bundar ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$. Persamaan bundar dengan sentra $(1,p)$ dan menyinggung garis $px+y=4$ ialah …. A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$ B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-1=0$ C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$ D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-2=0$ E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-1=0$ Pembahasan: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y=0$ melalui titik $(1,p)$, maka: ${{1}^{2}}+{{p}^{2}}-2p=0$ ${{(p-1)}^{2}}=0\Leftrightarrow p=1$ Panjang jari-jari bundar ialah jarak titik $(1,p)=(1,1)$ ke garis singgung $px+y=4$ $\Leftrightarrow x+y-4=0$, yaitu: $r=\left| \frac{1+1-4}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$ Persaman lingkaran: ${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{(\sqrt{2})}^{2}}$ ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y=0$ Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 13
Jika $0 < x <\frac{\pi }{2}$ dan $2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$ maka nilai $\tan x$ = … A. $-\frac{3}{4}$ B. $-\frac{3}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{3}{5}$ E. $\frac{4}{5}$ Pembahasan: $2{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$ ${{\sin }^{2}}x+{{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x=\frac{34}{25}$ ${{\sin }^{2}}x+1=\frac{34}{25}$ ${{\sin }^{2}}x=\frac{9}{25}$; $0 < x <\frac{\pi }{2}$ $\sin x=\frac{3}{5}=\frac{de}{mi}$ $sa=\sqrt{{{5}^{2}}-{{3}^{2}}}=4$ $\tan x=\frac{de}{sa}=\frac{3}{4}$ Kunci: C
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 14
Diketahui vektor OA = (1, 2) dan vektor OB = (2, 1). Jika titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 1 : 2, maka panjang vektor OP ialah … A. $\frac{3}{2}\sqrt{2}$ B. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$ C. $\frac{2}{3}\sqrt{2}$ D. $\frac{1}{3}\sqrt{41}$ E. $\frac{3}{2}\sqrt{41}$ Pembahasan: $\overrightarrow{AP}:\overrightarrow{PB}=1:2$ $\frac{\overrightarrow{AP}}{\overrightarrow{PB}}=\frac{1}{2}$ $2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}$ $2(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP}$ $3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$, misal titik P(x,y) $3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)+2\left( \begin{matrix} 2 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)$ $3\overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} 5 \\ 4 \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OP}=\left( \begin{matrix} {}^{5}/{}_{3} \\ {}^{4}/{}_{3} \\ \end{matrix} \right)$ $\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{{{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{5}{4} \right)}^{2}}}$ $\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{25}{16}}$ $\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25.16+25.9}{9.16}}$ $\left| \overrightarrow{OP} \right|=\sqrt{\frac{25(16+9)}{9.16}}$ $\left| \overrightarrow{OP} \right|=\frac{25}{12}$ Kunci: Tidak ada opsi.
Matematika IPA UTUL UGM 2016 No. 15
Limas segiempat beraturan T.ABCD memiliki tinggi sama dengan dua kali panjang sisi ABCD. Jika titik E berada pada garis BC dengan BE : EC = 1 : 1 dan titik F berada pada garis TE dengan TF : FE = 1 : 3, maka panjang proyeksi FE pada ABCD ialah … kali sisi ABCD. A. $\frac{9}{8}$ B. $\frac{5}{8}$ C. $\frac{4}{8}$ D. $\frac{3}{8}$ E. $\frac{1}{8}$ Pembahasan: Perhatikan gambar berikut ini! Misalkan panjang sisi ABCD ialah 2a, maka panjang OE = a Proyeksi FE pada ABCD ialah F’E Perhatikan segitiga TOE, TO sejajar dengan FF’ maka berlaku intersept segitiga yaitu: $TF:FE=OF':F'E$ $1:3=OF':F'E$ $F'E=3OF'$ $F'E=3(OE-F'E)$ $F'E=\frac{3}{4}OE$ $F'E=\frac{3}{4}a$ $F'E$ = y kali sisi ABCD, y = …? $\frac{3}{4}a=y.2a\Leftrightarrow y=\frac{3}{8}$ Kunci: D
Banyak siswa-siswi saya yang bertanya: "Bapak, Soal dan Pembahasan matematika dasar UTUL UGM ada tidak? Saya kan jurusan IPS..". Betul, untuk yang jurusan IPS sangat perlu pembahasan matematika dasarnya. Untuk itu saya pilihlah judul postingan ini: Pembahasan Matematika Dasar UTUL UGM 2016 Kode 371.
Matematika Dasar UTUL UGM 2016 No. 1
Jika $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ sanggup dinyatakan sebagai $\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{30}}{12}$, maka $a+b+c$ = … A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 Pembahasan: $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$ $=\frac{1}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+\sqrt{5}}\times \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}$ $=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-\sqrt{5}}{{{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}^{2}}-{{(\sqrt{5})}^{2}}}$ $=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+2\sqrt{6}+3-5}$ $=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2\sqrt{6}}\times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ $=\frac{\sqrt{12}+\sqrt{18}-\sqrt{30}}{2.6}$ $=\frac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{30}}{12}$ $=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{30}}{12}$ $=\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{3}+c\sqrt{30}}{12}$ Jadi, $a=3$, $b=2$, $c=-1$ maka: $a+b+c$ = 3 + 2 + (-1) = 4. Kunci: E
Matematika Dasar UTUL UGM 2016 No. 2
Jika ${{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}$ dan ${{b}^{2}}=ac$ , maka $x$ = … A. $\frac{2yz}{y+z}$ B. $\frac{2yz}{2z-y}$ C. $\frac{2yz}{2y-z}$ D. $\frac{yz}{2y-z}$ E. $\frac{yz}{2z-y}$ Pembahasan: Misalkan: ${{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=p$, maka $a={{p}^{\frac{1}{x}}}$, $b={{p}^{\frac{1}{y}}}$, dan $a={{p}^{\frac{1}{z}}}$ sehingga diperoleh: ${{b}^{2}}=ac$ ${{p}^{\frac{2}{y}}}={{p}^{\frac{1}{x}}}.{{p}^{\frac{1}{z}}}$ ${{p}^{\frac{2}{y}}}={{p}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}}$ $\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}$ $\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=\frac{1}{x}$ $\frac{2z-y}{yz}=\frac{1}{x}$ $\frac{yz}{2z-y}=x$ Kunci: E
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 3
Diketahui persamaan kuadrat: ${{x}^{2}}-2x-3=0$ … (1) ${{x}^{2}}-ax+b=0$ … (2) Jika jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1) dan kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka $b$ = … A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8 Pembahasan: Misal: ${{x}^{2}}-2x-3=0$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ ${{x}^{2}}-ax+b=0$ akar-akarnya ${{x}_{3}}$ dan ${{x}_{4}}$ Jumlah kedua akar persamaan (2) sama dengan tiga kali jumlah kedua akar persamaan (1), maka: ${{x}_{3}}+{{x}_{4}}=3({{x}_{1}}+{{x}_{2}})$ $\frac{-(-a)}{1}=3.\frac{-(-2)}{1}\Leftrightarrow a=6$ Kuadrat selisih kedua akar persamaan (1) sama dengan kuadrat selisih kedua akar persamaan (2), maka: ${{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}={{({{x}_{3}}-{{x}_{4}})}^{2}}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=x_{3}^{2}+x_{4}^{2}-2{{x}_{3}}.{{x}_{4}}$ ${{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-4{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{({{x}_{3}}+{{x}_{4}})}^{2}}-4{{x}_{3}}.{{x}_{4}}$ ${{(2)}^{2}}-4.(-3)={{(a)}^{2}}-4.b$ $16={{6}^{2}}-4.b$ $-20=-4.b\Leftrightarrow 5=b$ Kunci: B
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 4
Diketahui parabola $y={{x}^{2}}-4x+6$ dipotong oleh garis $l$ di dua titik berbeda. Jika garis $l$ melalui titik $(3,2)$ dan memiliki gradien $m$, maka … A. $-4 < m < 0$ B. $0 < m < 4$ C. $m < 0$ atau $m > 4$ D. $m < 1$ atau $m > 1$ E. $m < -4$ atau $m > 1$ Pembahasan: Persamaan garis $l$ melalui titik $(3,2)$dan bergradien $m$ adalah: $y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$ $y-2=m(x-3)$ $y=mx-3n+2$ Memotong parabola $y={{x}^{2}}-4x+6$, maka: $y=y$ ${{x}^{2}}-4x+6=mx-3m+2$ ${{x}^{2}}-(4+m)x+3m+4=0$ Syarat memotong D > 0, maka: $D={{b}^{2}}-4ac > 0$ ${{[-(4+m)]}^{2}}-4.1.(3m+4) > 0$ $16+8m+{{m}^{2}}-12m-16 > 0$ ${{m}^{2}}-4m > 0$ $m(m-4) > 0$ $m=0$ atau $m=4$ Dengan garis bilangan diperoleh: $m < 0$ atau $m > 4$ Kunci: C
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 5
Jika $(x,y)$ ialah salah satu solusi sistem persamaan ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x+39=0$, ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0$ maka $x+y$ = …. A. 9 B. 6 C. 5 D. -1 E. -3 Pembahasan: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-16x+39=0$ ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0$ --------------------------- (+) $2{{x}^{2}}-16x+30=0$ ${{x}^{2}}-8x+15=0$ $(x-3)(x-5)=0$ $x=3$ atau $x=5$ ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0$ Jika $x=3$ maka: ${{3}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0\Leftrightarrow y=0$ Jika $x=5$ maka: ${{5}^{2}}-{{y}^{2}}-9=0$ $16={{y}^{2}}\Leftrightarrow y=\pm 4$ Solusi dari persamaan tersebut adalah: $(3,0)\Rightarrow x+y=3$ $(5,4)\Rightarrow x+y=9$ $(5,-4)\Rightarrow x+y=1$ Kunci: A
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 6
Semua nilai $x$ yang memenuhi $\frac{1+\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}-x} > 0$ ialah … A. $-2\le x < 0$ atau $1 < x\le 2$ B. $-2 < x < 0$ atau $1 < x < 2$ C. $-2\le x < -1$ atau $0 < x\le 2$ D. $x < 0$ atau $x > 1$ E. $0 < x < 1$ Pembahasan: Syarat biar $\sqrt{4-{{x}^{2}}}$ terdefinisi adalah: $4-{{x}^{2}}\ge 0$ ${{x}^{2}}-4\le 0$ $(x+2)(x-2)\le 0$ $x=-2$ atau $x=2$ (pembuat nol), maka: $-2\le x\le 2$ … (1) $\frac{1+\sqrt{4-{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}-x} > 0$, alasannya ialah $1+\sqrt{4-{{x}^{2}}} > 0$, maka: ${{x}^{2}}-x > 0$ $x(x-1) > 0$ $x=0$ atau $x=1$ (pembuat nol), maka: $x < 0$ atau $x > 1$ … (2) HP ialah irisan (1) dan (2) $-2\le x < 0$ atau $1 < x\le 2$ Kunci: A
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 7
Pada gambar di bawah ini, kawasan yang diarsir memenuhi sistem pertidaksamaan … A. $y\ge 0$, $2y-x\le 1$, $x+y\le 4$ B. $y\ge 0$, $2y-x\le 2$, $x+y\le 4$ C. $y\ge 0$, $2y-x\ge 2$, $x+y\le 4$ D. $y\ge 0$, $2y+x\le 2$, $x+y\ge 4$ E. $y\ge 0$, $2y+x\le 2$, $x+y\le 4$ Pembahasan: Daerah penyelesaian terletak di atas sumbu X, maka $y\ge 0$. Daerah penyelesaian terletak di sebelah kanan garis yang melalui titik (0,1) dan (-2,0) maka: $x-2y\ge 1.(-2)$ $x- 2y \ge -2$ atau $2y-x\le 2$. Daerah penyelesaian terletak di sebelah kiri garis yang melalui titik (0,4) dan (4,0) maka: $4x+4y\le 4.4$ atau $x+y\le 4$. Kunci: B
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 8
Jika jumlah suku ke-1 dan ke-3 deret geometri ialah -5 dan suku ke-2 dikurangi suku ke-3 sama dengan 6, maka jumlah suku ke-3 dan suku ke-4 deret tersebut ialah … A. -18 atau -12 B. -9 atau -4 C. 18 atau 12 D. 9 atau 4 E. 18 atau 4 Pembahasan: Deret Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$ $\frac{{{U}_{3}}+{{U}_{1}}}{{{U}_{2}}-{{U}_{3}}}=\frac{-5}{6}$ $\frac{a{{r}^{2}}+a}{ar-a{{r}^{2}}}=\frac{-5}{6}$ $\frac{{{r}^{2}}+1}{r-{{r}^{2}}}=\frac{-5}{6}$ $6{{r}^{2}}+6=-5r+5{{r}^{2}}$ ${{r}^{2}}+5r+6=0$ $(r+2)(r+3)=0$ $r=-2$ atau $r=-3$ ${{U}_{3}}+{{U}_{1}}=-5\Leftrightarrow a{{r}^{2}}+a=-5$ $a({{r}^{2}}+1)=-5$ $a=\frac{-5}{{{r}^{2}}+1}$ Untuk $r=-2$ maka $a=\frac{-5}{{{(-2)}^{2}}+1}=-1$, maka: ${{U}_{3}}+{{U}_{4}}=a{{r}^{2}}+a{{r}^{3}}$ $=(-1).{{(-2)}^{2}}+(-1).{{(-2)}^{3}}=4$ Untuk $r=-3$ maka $a=\frac{-5}{{{(-3)}^{2}}+1}=\frac{-1}{2}$, maka: ${{U}_{3}}+{{U}_{4}}=a{{r}^{2}}+a{{r}^{3}}$ $=\frac{-1}{2}.{{(-3)}^{2}}+\frac{-1}{2}.{{(-3)}^{3}}=9$ Kunci: D
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 9
Diketahui barisan geometri dengan jumlah suku ke-1 dan ke-3 ialah 100 dan jumlah suku ke-2 dan ke-4 ialah 75, maka suku pertama barisan tersebut ialah … A. 24 B. 27 C. 36 D. 48 E. 64 Pembahasan: Barisan geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$ $\frac{{{U}_{2}}+{{U}_{4}}}{{{U}_{1}}+{{U}_{3}}}=\frac{75}{100}$ $\frac{ar+a{{r}^{3}}}{a+a{{r}^{2}}}=\frac{3}{4}$ $\frac{r(a+a{{r}^{2}})}{(a+a{{r}^{2}})}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow r=\frac{3}{4}$ ${{U}_{1}}+{{U}_{3}}=100$ $a+a{{r}^{2}}=100$ $a+a{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{2}}=100$ $a+\frac{9a}{16}=100$ $\frac{25a}{16}=100$ $a=64$ Kunci: E
Mimi mendapat nilai rata-rata 6 untuk 3 kali ulangan matematika, nilai rata-rata 7 untuk 3 kali ulangan Biologi dan nilai rata-rata 8 untuk 4 kali ulangan Bahasa Inggris, dan masih ada 5 ulangan lagi dari ketiga pelajaran tersebut yang akan diikuti oleh Mimi. Agar Mimi mendapat nilai rata-rata untuk tiga mata pelajaran minimal 7,2, maka Mimi harus mendapat nilai rata-rata 5 ulangan minimal … A. 7,2 B. 7,3 C. 7,4 D. 7,5 E. 7,6 Pembahasan: Misalkan: p = nilai rata-rata 5 ulangan terakhir, maka: ${{n}_{1}}.{{\bar{x}}_{1}}+{{n}_{2}}.{{\bar{x}}_{2}}+{{n}_{3}}.{{\bar{x}}_{3}}+{{n}_{4}}.{{\bar{x}}_{4}}\ge ({{n}_{1}}+{{n}_{2}}+{{n}_{3}}+{{n}_{4}}).{{\bar{x}}_{Total}}$ $6.3+7.3+8.4+5.p\ge (3+3+4+5).7,2$ $18+21+32+5p\ge 15\times 7,2$ $71+5p\ge 108$ $5p\ge 108-71$ $5p\ge 37$ $p\ge 7,4$ Kunci: C
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 12
Jika ${{\cos }^{2}}x=\sqrt{3}\sin x$ maka $\sin x$ = … A. $\frac{1-2\sqrt{3}}{2}$ B. $\frac{1-\sqrt{3}}{2}$ C. $\frac{2-\sqrt{3}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$ E. $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$ Pembahasan: ${{\cos }^{2}}x=\sqrt{3}\sin x$, terlihat $\sin x$ harus positif, maka: $1-{{\sin }^{2}}x=\sqrt{3}\sin x$ ${{\sin }^{2}}x+\sqrt{3}\sin x-1=0$ Dengan rumus abc: $\sin x=\frac{-b+\sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$ $\sin x=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{{{(\sqrt{3})}^{2}}-4.1.(-1)}}{2.1}$ $\sin x=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2}=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$ Kunci: E
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 13
Panitia jalan sehat akan menciptakan kupon bernomor yang terdiri dari empat angka berbeda yang disusun dari 0, 1, 3, 5, 7. Jika angka pertama atau terakhir dihentikan nol, maka banyak kupon yang sanggup dibuat ialah … A. 48 B. 72 C. 96 D. 108 E. 120 Pembahasan: Jika digit terakhir dipilih angka 1, maka: ABC1, untuk menentukan angka pada A ada 3 kemungkinan yaitu (3, 5, 7) dan untuk BC angka 0 digunakan. Diperoleh: 3 x 3 x 2 = 18 kupon. Jika digit terakhir dipilih angka 2, maka: ABC3, dengan cara yang sama sebelumnya diperoleh: 3 x 3 x 2 = 18 kupon. Jika digit terakhir dipilih angka 5, maka: ABC5, diperoleh: 3 x 3 2 = 18 kupon. Jika digit terakhir dipilih angka 7, maka: ABC7, diperoleh: 3 x 3 x 2 = 18 kupon. Seluruhnya = 18 + 18 + 18 + 18 = 72 kupon. Kunci: B
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 14
Diberikan fungsi $f$ dan $g$ dengan $f(x-2)=3{{x}^{2}}-16x+26$ dan $g(x)=ax-1$. Jika $(f\circ g)(3)=61$, maka nilai $a$ yang memenuhi ialah … A. -2 B. $\frac{8}{9}$ C. $\frac{9}{8}$ D. 2 E. 4 Pembahasan: $f(x-2)=3{{x}^{2}}-16x+26$, $f(x)=3{{(x+2)}^{2}}-16(x+2)+26$ $f(x)=3{{x}^{2}}-4x+6$ $(f\circ g)(3)=61$ $f(g(3))=61$ $f(3a-1)=61$ $3{{(3a-1)}^{2}}-4(3a-1)+6=61$ $3(9{{a}^{2}}-6a+1)-12a+4+6-61=0$ $27{{a}^{2}}-18a+3-12a-51=0$ $27{{a}^{2}}-30a-48=0$ $9{{a}^{2}}-10a-16=0$ $(9a+8)(a-2)=0$ $a=-\frac{8}{9}$ atau $a=2$ Kunci: D
Matematika DASAR UTUL UGM 2016 No. 15
Jika $\underset{x\to {-1}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}+3x+2}=-4$, maka nilai $a+b$ ialah … A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 E. -5 Pembahasan: $\underset{x\to {-1}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}+3x+2}=-4$ $x=-1\Rightarrow {{x}^{2}}+ax+b=0$ ${{(-1)}^{2}}+a(-1)+b=0$ $b=a-1$ $\underset{x\to {-1}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+ax+b}{{{x}^{2}}+3x+2}=-4$ dengan hukum L’Hopital. $\underset{x\to {-1}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x+a}{2x+3}=-4$ $\frac{2(-1)+a}{2(-1)+3}=-4$ $a-2=-4$ $a=-2$ $b=a-1=-2-1\Leftrightarrow b=-3$ $a+b=-2+(-3)=-5$ Kunci: E
Matematika Dasar UTUL UGM 2016 No. 16
Garis lurus yang menyinggung kurva $y=\sqrt[3]{6-x}$ di titik $x=-2$ akan memotong sumbu X di titik … A. (18,0) B. (19,0) C. (20,0) D. (21,0) E. (22,0) Pembahasan: $x=-2$, maka: $y=\sqrt[3]{6-x}\Leftrightarrow y=\sqrt[3]{6-(-2)}=2$ Titik singgung (-2,2) $y=\sqrt[3]{6-x}$ $y={{(6-x)}^{\frac{1}{3}}}$ $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}{{(6-x)}^{\frac{1}{3}-1}}.(-1)$ $\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{3}{{(6-x)}^{-\frac{2}{3}}}$ $\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{3\sqrt[3]{{{(6-x)}^{2}}}}$ $m={{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{x=-2}}$ $=\frac{-1}{3\sqrt[3]{{{(6-(-2))}^{2}}}}$ $=\frac{-1}{3{{\left( \sqrt[3]{8} \right)}^{2}}}$ $m=\frac{-1}{12}$ Persamaan garis singgung melalui titik (-2,2) dan $m=\frac{-1}{12}$ adalah: $y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$ $y-2=-\frac{1}{12}(x+2)$ Memotong sumbu X, maka y = 0, $0-2=-\frac{1}{12}(x+2)$ $24=x+2\Leftrightarrow 22=x$ Jadi, garis memotong sumbu X di titik (22,0). Kunci: E
Matematika Dasar UTUL UGM 2016 No. 17
Luas minimum segitiga yang sanggup dibuat oleh garis lurus yang melalui titik (4,3) dengan sumbu-sumbu ordinat ialah … A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 E. 26 Pembahasan: Asumsikan garis memotong sumbu Y ditik (0,a) dan memotong sumbu X di titik (b,0), diperoleh persamaan garis: ax + by = ab melalui titik (4,3) maka: $4a+3b=ab$ $4a=b(a-3)$ $\frac{4a}{a-3}=b$ Luas segitiga adalah: $L=\frac{1}{2}a.\frac{4a}{a-3}$ $L=\frac{2{{a}^{2}}}{a-3}$ $L'=0$ $\frac{4a(a-3)-1.2{{a}^{2}}}{{{(a-3)}^{2}}}=0$ $\frac{2{{a}^{2}}-12a}{{{(a-3)}^{2}}}=0$ $2{{a}^{2}}-12a=0$ $2a(a-6)=0$ $a=0$ (TM) atau $a=6$ (Memenuhi) $L=\frac{2{{a}^{2}}}{a-3}=\frac{{{2.6}^{2}}}{6-3}=24$ Kunci: D
Matematika Dasar UTUL UGM 2016 No. 18
Semua nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan: $\left( {}^{2}\log (x+6) \right)\left( {}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8 \right)+{}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8 > 3$ Berada pada … A. $-3 < x < -2$ atau $2 < x < 5$ B. $-5 < x < -2$ atau $2 < x < 3$ C. $-3 < x < -\sqrt35$ atau $\sqrt3 < x < 5 D. $x < -2$ atau $x > 2$ E. $2 < x < 5$ Pembahasan: Syarat: (i) $x+6 > 0\Leftrightarrow x > -6$ (ii) $0 < {{x}^{2}}-3 < 1$ $3 < {{x}^{2}} < 4$ $-2 < x < -\sqrt{3}$ atau $\sqrt{3} < x < 2$ Atau ${{x}^{2}}-3 > 1$ ${{x}^{2}}-4 > 0$ $(x+2)(x-2) > 0$ $x < -2$ atau $x > 2$ Dari pertidaksamaan: $\left( {}^{2}\log (x+6) \right)\left( {}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8 \right)+{}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8 > 3$ ${}^{({{x}^{2}}-3)}\log 8.\left( {}^{2}\log (x+6)+1 \right) > 3$ ${}^{({{x}^{2}}-3)}\log {{2}^{3}}.\left( {}^{2}\log (x+6)+{}^{2}\log 2 \right) > 3$ $3.{}^{({{x}^{2}}-3)}\log 2.{}^{2}\log (2x+12) > 3$ ${}^{({{x}^{2}}-3)}\log (2x+12) > 1$ Jika ${{x}^{2}}-3 > 1$, maka: ${}^{({{x}^{2}}-3)}\log (2x+12) > 1$ $2x+12 > {{x}^{2}}-3$ $0 > {{x}^{2}}-3-12-2x$ ${{x}^{2}}-2x-15 < 0$ $(x+3)(x-5) < 0$ $-3 < x < 5$ Irisan dari $x < -2$ atau $x > 2$ dan $-3 < x < 5$ ialah $-3 < x < -2$ atau $2 < x < 5$ Kunci: A
Matematika Dasar UTUL UGM 2016 No. 19
Titik ${{P}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}})$, ${{P}_{2}}({{x}_{2}},{{y}_{2}})$, …, ${{P}_{10}}({{x}_{10}},{{y}_{10}})$ dilalui oleh garis $g$ yang memiliki persamaan $y+2x-3=0$. Bilangan-bilangan ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, …, ${{x}_{10}}$ membentuk barisan aritmetika. Jika ${{x}_{10}}$ = 2 dan ${{y}_{5}}$ = 7, maka ${{y}_{7}}$ = … A. $\frac{19}{5}$ B. $\frac{17}{5}$ C. $\frac{15}{5}$ D. $\frac{13}{5}$ E. $\frac{11}{5}$ Pembahasan: Garis $y+2x-3=0\Leftrightarrow y=3-2x$ melalui titik ${{P}_{1}}({{x}_{1}},{{y}_{1}})$, ${{P}_{2}}({{x}_{2}},{{y}_{2}})$, …, ${{P}_{10}}({{x}_{10}},{{y}_{10}})$, maka berlaku: ${{y}_{i}}=3-2{{x}_{i}}$ dengan $i$ = 1, 2, 3, .., 10. Barisan aritmetika: ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, …, ${{x}_{10}}$, maka: ${{x}_{10}}={{x}_{5}}+5b$ $2={{x}_{5}}+5b\Leftrightarrow 2-5b={{x}_{5}}$ ${{y}_{i}}=3-2{{x}_{i}}$ ${{y}_{5}}=3-2{{x}_{5}}$ $7=3-2(2-5b)$ $7=3-4+10b$ $8=10b\Leftrightarrow \frac{8}{10}=b=\frac{4}{5}$ ${{x}_{10}}={{x}_{7}}+3b$ $2={{x}_{7}}+3.\frac{4}{5}\Leftrightarrow 2-\frac{12}{5}={{x}_{7}}=\frac{-2}{5}$ ${{y}_{i}}=3-2{{x}_{i}}$ ${{y}_{7}}=3-2{{x}_{7}}$ ${{y}_{7}}=3-2.\frac{-2}{5}=\frac{19}{5}$ Kunci: A
Matematika Dasar UTUL UGM 2016 No. 20
Jika $x$ dan $y$ memenuhi ${}^{2}\log {{x}^{2}}+{}^{3}\log \frac{1}{{{y}^{3}}}=4$ dan ${}^{2}\log x+{}^{3}\log {{y}^{4}}=13$, maka ${}^{4}\log x-{}^{y}\log 9$ = … A. -2 B. -1 C. 1/2 D. 1 E. 3/2 Pembahasan: ${}^{2}\log {{x}^{2}}+{}^{3}\log \frac{1}{{{y}^{3}}}=4$ ${}^{2}\log {{x}^{2}}+{}^{3}\log {{y}^{-3}}=4$ $2.{}^{2}\log x-3.{}^{3}\log y=4$ … (1) ${}^{2}\log x+{}^{3}\log {{y}^{4}}=13$ ${}^{2}\log x+4.{}^{3}\log y=13$ … (2) kali 2 $2.{}^{2}\log x+8.{}^{3}\log y=26$ $2.{}^{2}\log x-3.{}^{3}\log y=4$ ------------------------------- (-) $11.{}^{3}\log y=22$ ${}^{3}\log y=2\Leftrightarrow y={{3}^{2}}$ ${}^{2}\log x+4.{}^{3}\log y=13$ ${}^{2}\log x+4.{}^{3}\log {{3}^{2}}=13$ ${}^{2}\log x+8=13$ ${}^{2}\log x=5\Leftrightarrow x={{2}^{5}}$ ${}^{4}\log x-{}^{y}\log 9={}^{{{2}^{2}}}\log {{2}^{5}}-{}^{9}\log 9$ $=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$ Kunci: E
