Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 1
Jika garis $2x+y+4=0$ dan $2x+y-6=0$ menyinggung bulat dengan sentra $(1,p)$ maka persamaan bulat tersebut yaitu …A. $x^2+y^2-2x+2y-3=0$
B. $x^2+y^2-2x-2y-3=0$
C. $x^2+y^2-2x-4y-3=0$
D. $x^2+y^2-2x-4y-3=0$
E. $x^2+y^2-2x+4y=0$
Pembahasan:
Jarak titik $(1,p)$ ke garis $2x+y+4=0$ sama dengan jarak titik $(1,p)$ ke garis $2x+y-6=0$, maka:
$\left| \frac{2.1+p+4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}} \right|=\left| \frac{2.1+p-6}{\sqrt{2^2+1^2}} \right|$
$\left| p+6 \right|=\left| p-4 \right|$
${{(p+6)}^{2}}={{(p-4)}^{2}}$
${{p}^{2}}+12p+36={{p}^{2}}-8p+16$
$20p=-20\Leftrightarrow p=-1$
Panjang jari-jari bulat yaitu jarak titik $(1,p)=(1,-1)$ ke garis $2x+y+4=0$,
$r=\frac{2.1+(-1)+4}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}$
$r=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
Persamaan lingkaran:
${{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}={{(\sqrt{5})}^{2}}$
${{x}^{2}}-2x+1+{{y}^{2}}+2y+1=5$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-3=0$
Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 2
Nilai minimum fungsi $f(x)=2\sin x+\cos 2x$ pada $0\le x\le 2\pi $ yaitu …A. -4 B. -3 C -2 D. -1 E. 0
Pembahasan:
$f(x)=2\sin x+\cos 2x$
$f'(x)=2\cos x-2\sin 2x$
$f'(x)=0$
$2\cos x-2\sin 2x=0$
$\cos x-2\sin x\cos x=0$
$\cos x(1-2\sin x)=0$
$\cos x=0\Rightarrow {{x}_{1}}={{90}^{o}},{{x}_{2}}={{270}^{o}}$
$\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow {{x}_{3}}={{30}^{o}},{{x}_{4}}={{150}^{o}}$
$f(x)=2\sin x+\cos 2x$
$f({{30}^{o}})=2\sin {{30}^{o}}+\cos {{2.30}^{o}}=\frac{3}{2}$
$f({{90}^{o}})=2\sin {{90}^{o}}+\cos {{2.90}^{o}}=1$
$f({{150}^{o}})=2\sin {{150}^{o}}+\cos {{2.150}^{o}}=\frac{3}{2}$
$f({{270}^{o}})=2\sin {{270}^{o}}+\cos {{2.270}^{o}}=-3$
Jadi, $f{{(x)}_{\min }}=-3$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 3
Hasil pencerminan titik $C(-4,-2)$ terhadap garis $ax+by+6=0$ yaitu $C'(4,10)$. Nilai $a+2b$ yaitu …A. -8 B. -4 C. 2 D. 4 E. 8
Pembahasan:
$ax+by+6=0$ melalui titik tengah $C(-4,-2)$ dan $C'(4,10)$ yaitu: $\left( \frac{-4+4}{2},\frac{-2+10}{2} \right)=(0,4)$ maka $a.0+b.4+6=0\Rightarrow b=\frac{-3}{2}$.
Gradien garis $ax+by+6=0$ tegak lurus dengan garis $CC'$ maka:
$\frac{-a}{b}.\frac{10-(-2)}{4-(-4)}=-1$
$\frac{-a}{b}.\frac{3}{2}=-1$
$a=\frac{2}{3}b$
$a=\frac{2}{3}.\left( -\frac{3}{2} \right)=-1$
$a+2b=-1+2.\left( -\frac{3}{2} \right)=-4$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 4
Diketahui vektor $\vec{p}=a\hat{i}+b\hat{j}+2\hat{k}$, $\vec{q}=\hat{i}+2\hat{j}+c\hat{k}$, dan $\vec{r}=3\hat{i}+6\hat{j}+c\hat{k}$ dengan $a,b\ne 0$. Jika $p\bot q$ dan $p\bot r$, maka $\frac{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}{ab}$ = ...A. -8 B. -4 C. -2 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$p\bot q\Rightarrow p.q=0$
$\left( \begin{matrix} a \\ b \\ 2 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ c \\ \end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow a+2b+2c=0$ … (1)
$p\bot r\Rightarrow p.r=0$
$\left( \begin{matrix} a \\ b \\ 2 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} 3 \\ 6 \\ c \\ \end{matrix} \right)=0\Leftrightarrow 3a+6b+2c=0$… (2)
Kurangkan persamaan (2) dengan persamaan (1) diperoleh: $2a+4b\Leftrightarrow a=-2b$
$\frac{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}}{ab}=\frac{{{(-2b)}^{2}}+4{{b}^{2}}}{-2b.b}=-4$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4p. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk FG, BF, dan GH dengan GP = BQ = GR = p. Sudut antara bidang yang melalui titik P, Q, R dan bidang ABCD yaitu $\alpha$. Nilai $\tan \alpha$ yaitu …A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C. 1 D. $\sqrt{2}$ E. $\sqrt{3}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Perhatikan segitiga KMN siku-siku di titik N
Jika $\alpha $ = $\angle $(Bidang PQR, bidang ABCD) maka:
$\tan \alpha =\frac{KN}{MN}=\frac{4p}{2p\sqrt{2}}=\sqrt{2}$
Kunci: D
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 6
Jika $x_1$ dan $x_2$ memenuhi $|3x-4|=x+5$, maka nilai $x_1+x_2$ yaitu …A. $\frac{13}{4}$ B. $\frac{15}{4}$ C. $\frac{17}{4}$ D. $\frac{19}{4}$ E. $\frac{21}{4}$
Pembahasan:
$|3x-4|=x+5$
${{(3x-4)}^{2}}={{(x+5)}^{2}}$
$9{{x}^{2}}-24x+16={{x}^{2}}+10x+25$
$8{{x}^{2}}-34x-9=0$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}=\frac{34}{8}=\frac{17}{4}$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 7
Jika 9, $x_1$, dan $x_2$ merupakan tiga akar berbeda dari $x^3-6x^2-ax+b=0$ dengan $b-a=5$, maka $x_1+x_2+x_1.x_2$ = …A. -7 B. -4 C. -1 D. 1 E. 3
Pembahasan:
$x^3-6x^2-ax+b=0$ akar-akarnya $x_1$, $x_2$, dan ${{x}_{3}}=9$
$x=9$maka:
${{9}^{3}}-{{6.9}^{2}}-9a+b=0$
$b-9a=-243$
$b-a=5$
-------------------- (-)
$-8a=-248\Rightarrow a=31,b=36$
${{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-31x+36=0$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=-\frac{B}{A}=6$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+9=6\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}=\frac{-D}{A}=-36$
$9{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-36\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-4$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-3+(-4)=-7$
Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 8
Pertidaksamaan ${{(3x)}^{1+{}^{3}\log 3x}} > 81{{x}^{2}}$ memiliki penyelesaian …A. $x > 3$
B. $x < \frac{1}{9}$
C. $x < \frac{1}{3}$
D. $x < \frac{1}{3}$ atau $x > 9$
E. $x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$
Pembahasan:
(1) Syarat numerus: $3x > 0 \Rightarrow x > 0$
(2) Dari pertidaksamaan:
${{(3x)}^{1+{}^{3}\log 3x}} > 81{{x}^{2}}$
$3x.{{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > 3x.27x$
${{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > 27x$
${}^{3}\log {{(3x)}^{{}^{3}\log 3x}} > {}^{3}\log 27x$
${}^{3}\log 3x.{}^{3}\log 3x > {}^{3}\log 9+{}^{3}\log 3x$
${{\left( {}^{3}\log 3x \right)}^{2}}-{}^{3}\log 3x-2 > 0$
$({}^{3}\log 3x+1)({}^{3}\log 3x-2) > 0$
${}^{3}\log 3x < -1$ atau ${}^{3}\log 3x > 2$
$3x < {{3}^{-1}}$ atau $3x > {{3}^{2}}$
$x < {{3}^{-2}}$ atau $x > 3$
$x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$
Himpunan penyelesaian yaitu irisan dari hasil (1) dan (2) maka diperoleh:
$0 < x < \frac{1}{9}$ atau $x > 3$
Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 9
Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan geometri. Jika suku di tengah dikalikan dengan $-\frac{5}{3}$ maka akan membentuk barisan aritmetika. Maksimum dari bilangan-bilangan tersebut yaitu …A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 E. 56
Pembahasan:
Barisan Geometri:
$a,ar,a{{r}^{2}}$
$a+ar+a{{r}^{2}}=42$
$a+a{{r}^{2}}=42-ar$
Barisan Aritmetika:
$a,-\frac{5}{3}ar,a{{r}^{2}}$
$2.\left( -\frac{5}{3}ar \right)=a+a{{r}^{2}}$
$2.\left( -\frac{5}{3}ar \right)=42-ar$
$-10ar=126-3ar$
$-7ar=126$
$ar=-18$
$a=\frac{-18}{r}$
$a+ar+a{{r}^{2}}=42$
$-\frac{18}{r}(1+r+{{r}^{2}})=42$
$-18-18r-18{{r}^{2}}=42r$
$18{{r}^{2}}+60r+18=0$
$3{{r}^{2}}+10r+3=0$
$(3r+1)(r+3)=0$
$r=-\frac{1}{3}$ atau $r=-3$
$a=\frac{-18}{r}$
$r=-\frac{1}{3}\Rightarrow a=54$ maka ketiga bilangan itu: 54, -18, 6
$r=-3\Rightarrow a=6$ maka ketiga bilangan itu: 6, -18, 54
Bilangan terbesar yaitu 54.
Kunci: D
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 10
Jika b, c $\ne$ 0 dan $\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}=d$, maka b = …A. $2{{c}^{2}}d$
B. ${{c}^{2}}d$
C. $\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$
D. $-\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$
E. $-{{c}^{2}}d$
Pembahasan:
$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{\cos c(x-a)-1}=d$
$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)\tan b(a-x)}{-2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}c(x-a)}=d$
$\underset{x\to a}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-a)}{-2\sin \frac{1}{2}c(x-a)}.\frac{\tan b(a-x)}{\sin \frac{1}{2}c(x-a)}=d$
$\frac{1}{-2.\frac{1}{2}c}.\frac{b.(-1)}{\frac{1}{2}c}=d$
$\frac{-b}{-\frac{1}{2}{{c}^{2}}}=d\Rightarrow b=\frac{1}{2}{{c}^{2}}d$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 11
Diketahui fungsi $f$ dengan $f(1)=2$ dan $f'(1)=1$. Jika $g(x)=\frac{\sqrt{1+x+f(x)}}{{{f}^{2}}(x)}$, dengan ${{f}^{2}}(x)=f(x).f(x)$, maka nilai $g'(1)$ yaitu …A. -2 B. $-\frac{3}{8}$ C. 0 D. $\frac{1}{4}$ E. $\frac{7}{3}$
Pembahasan:
$g(x)=\frac{\sqrt{1+x+f(x)}}{{{f}^{2}}(x)}=\frac{u}{v}$
$g'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$
$g'(x)=\frac{\frac{1+f'(x)}{2\sqrt{1+x+f(x)}}.{{f}^{2}}(x)-2f'(x)f(x)\sqrt{1+x+f(x)}}{{{[{{f}^{2}}(x)]}^{2}}}$
$g'(1)=\frac{\frac{1+f'(1)}{2\sqrt{1+1+f(1)}}.{{f}^{2}}(1)-2f'(1).f(1)\sqrt{1+1+f(1)}}{{{[{{f}^{2}}(1)]}^{2}}}$
$g'(1)=\frac{\frac{1+1}{2\sqrt{1+1+2}}{{.2}^{2}}-2.1.2\sqrt{1+1+2}}{{{[{{2}^{2}}]}^{2}}}$
$g'(1)=\frac{2-8}{16}=-\frac{3}{8}$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 12
Fungsi $f(x)=x-2\sqrt{x+a}$ memiliki nilai minimum b di titik $x=-4$. Nilai $a+b$ yaitu …A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 E. 3
Pembahasan:
$f(x)=x-2\sqrt{x+a}$
$f'(x)=1-2.\frac{1}{2\sqrt{x+a}}$
Nilai minimum di titik $x=-4$, maka:
$f'(-4)=0$
$1-\frac{1}{\sqrt{-4+a}}=0$
$1=\frac{1}{\sqrt{-4+a}}$
$\sqrt{-4+a}=1$
$-4+a=1\Leftrightarrow a=5$
Nilai minimum b di titik $x=-4$, maka:
$f(-4)=b$
$-4-2\sqrt{-4+5}=b\Leftrightarrow b=-6$
$a+b=5+(-6)=-1$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 13
Di dalam kotak terdapat tiga buah bola yang masing-masing berwarna merah, biru dan hijau. Jika lima siswa bergiliran mengambil satu bola dan sehabis bola terambil dikembalikan lagi ke kotak, maka banyak kombinasi warna yang mungkin yaitu …A. 10 B. 21 C. 32 D. 56 E. 120
Pembahasan:
Tersedia 3 bola: M = bola merah, B = bola biru, H = bola hijau.
5 anak mengambil 1 bola bergiliran dan dikembalikan.
Kemungkinan-kemungkinan yang terjadi adalah:
- 5 M yaitu: MMMMM ada sebanyak 1.
- 4 M yaitu: MMMMB, MMMMH ada sebanyak 2.
- 3 M yaitu: MMMBB, MMMBH, MMMHH ada sebanyak 3.
- 2 M yaitu: MMBBB, MMBBH, MMBHH, MHHHH ada sebanyak 4.
- 1 M yaitu: MBBBB, MBBBH, MBBHH, MBHHH, MHHHH ada sebanyak 5.
- 0 M yaitu: BBBBB, BBBBH, BBBHH, BBHHH, BHHHH, HHHHH ada sebanyak 6.
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 14
Tiga buah bilangan berbeda yang hasil kalinya 125 membentuk tiga suku berurutan barisan geometri. Ketiga bilangan tersebut masing-masing merupakan suku pertama, suku ketiga, dan suku keenam barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan tersebut yaitu …A. $\frac{75}{6}$ B. $\frac{85}{6}$ C. $\frac{95}{6}$ D. $\frac{105}{6}$ E. $\frac{110}{6}$
Pembahasan:
Barisan Geometri: $a,ar,a{{r}^{2}}$
$a.ar.a{{r}^{2}}=125$
${{(ar)}^{3}}={{5}^{3}}\Leftrightarrow ar=5\Leftrightarrow a=\frac{5}{r}$
Barisan Aritmetika:
${{U}_{1}}=a$, ${{U}_{3}}=ar$, ${{U}_{6}}=a{{r}^{2}}$
$b=\frac{{{U}_{3}}-{{U}_{1}}}{3-1}\Leftrightarrow b=\frac{ar-a}{2}$
${{U}_{6}}=a+5b=a{{r}^{2}}$
${{U}_{3}}=a+2b=ar$
---------------------- (-)
$3b=a{{r}^{2}}-ar$
$b=\frac{a{{r}^{2}}-ar}{3}$
$\frac{ar-a}{2}=\frac{a{{r}^{2}}-ar}{3}$
$\frac{r-1}{2}=\frac{{{r}^{2}}-r}{3}$
$2{{r}^{2}}-2r=3r-3$
$2{{r}^{2}}-5r+3=0$
$(2r-3)(r-1)=0$
$r=\frac{3}{2}$ atau $r=1$
Ambil $r=\frac{3}{2}$, maka $a=\frac{5}{r}=\frac{5}{3/2}\Leftrightarrow a=\frac{10}{3}$
Jumlah ketiga bilangan adalah:
$=a+ar+a{{r}^{2}}$
$=\frac{10}{3}+5+\frac{15}{2}=\frac{95}{6}$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2015 No. 15
Persamaan bulat yang pusatnya terletak pada sumbu X dan melalui titik-titik potong parabola $y=-{{x}^{2}}+6x$ dan garis $2x-y=0$ yaitu …A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-17x=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-18x=0$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-19x=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-20x=0$
E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-21x=0$
Pembahasan:
Titik potong $y=-{{x}^{2}}+6x$ dan $2x-y=0$ adalah:
$-{{x}^{2}}+6x=2x$
${{x}^{2}}-4x=0$
$x(x-4)=0$
$x=0$ atau $x=4$
$2x-y=0\Leftrightarrow y=2x$
$x=0\Rightarrow y=0\Leftrightarrow (0,0)$
$x=4\Rightarrow y=8\Leftrightarrow (4,8)$
Lingkaran melalui titik $(0,0)$ dan $(4,8)$dan sentra berada pada sumbu X yaitu $(a,0)$, maka panjang jari-jari bulat yaitu jarak titik $(a,0)$ ke titik $(0,0)$ atau jarak titik $(a,0)$ ke titik $(4,8)$ diperoleh:
$a=\sqrt{{{(4-a)}^{2}}+{{(8-0)}^{2}}}$
${{a}^{2}}=16-8a+{{a}^{2}}+64$
$8a=80\Leftrightarrow a=10\Rightarrow r=10$
Persamaan bulat dengan sentra $(10,0)$ dan $r=10$ adalah:
${{(x-10)}^{2}}+{{y}^{2}}={{10}^{2}}$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-20x=0$
Kunci: D
Baca Juga: |