Hai.... semua....! Ada postingan gres lagi nih, kali ini Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2016 Kode 217. Seperti biasa, aku selalu menyediakan link d0wnl0ad soal semoga dapat dikerjakan/dijawab secara dapat bangun diatas kaki sendiri dan offline. Sementara untuk pembahasannya silahkan dilihat di postingannya ini.
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 1
Diketahui dua bundar berpusat di titik O(0,0) berjari-jari $r$ dan $R$ dengan $r < R$. Sebuah garis $l$ menyinggung bundar dalam di titik E dan memotong bundar luar di titik P. Jika diketahui selisih antara luas bundar luar dan bundar dalam $36\pi $ dan $\angle EOP={{60}^{o}}$, maka persamaan bundar luar ialah …
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=36$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=40$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=44$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=48$
E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=52$
Pembahasan:
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 1
Diketahui dua bundar berpusat di titik O(0,0) berjari-jari $r$ dan $R$ dengan $r < R$. Sebuah garis $l$ menyinggung bundar dalam di titik E dan memotong bundar luar di titik P. Jika diketahui selisih antara luas bundar luar dan bundar dalam $36\pi $ dan $\angle EOP={{60}^{o}}$, maka persamaan bundar luar ialah …
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=36$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=40$
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=44$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=48$
E. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=52$
Pembahasan:
Luas bundar luar – luas bundar dalam = $36\pi $$\cos {{60}^{o}}=\frac{OE}{OP}$
$\frac{1}{2}=\frac{r}{R}\Leftrightarrow r=\frac{1}{2}R$
$\pi {{R}^{2}}-\pi {{r}^{2}}=36\pi $
${{R}^{2}}-{{r}^{2}}=36$
${{R}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2}R \right)}^{2}}=36$
${{R}^{2}}-\frac{1}{4}{{R}^{2}}=36$
$\frac{3}{4}{{R}^{2}}=36$
${{R}^{2}}=48$
Persamaan bundar luar:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=48$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 2
Misalkan segitiga ABC ialah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut ialah a, b, c maka cos 2A = …
A. $\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
B. $\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
C. $\frac{{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}$
D. $\frac{{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}$
E. $\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}$
Pembahasan:
${{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$
$\cos A=\frac{b}{c}$
$\cos 2A=2{{\cos }^{2}}A-1$
$\cos 2A=2{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}-1$
$\cos 2A=\frac{2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
$\cos 2A=\frac{{{b}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
$\cos 2A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
$\cos 2A=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 3
Fungsi $f(x)={{\sec }^{2}}x-\tan x\sec x$ untuk $0 < x < 2\pi $, $x\ne \frac{\pi }{2}$ dan $x\ne \frac{3\pi }{2}$ naik pada interval …
A. $0 < x < {{90}^{o}}$ atau ${{90}^{o}} < x < {{180}^{o}}$
B. $0 < x <{{90}^{o}}$ atau ${{270}^{o}} < x < {{360}^{o}}$
C. ${{90}^{o}} < x < {{180}^{o}}$
D. ${{90}^{o}} < x < {{270}^{o}}$
E. ${{90}^{o}} < x < {{200}^{o}}$
Pembahasan:
$f(x)={{\sec }^{2}}x-\tan x\sec x$
$f'(x)=2\sec x.\sec x\tan x-({{\sec }^{2}}x.\sec x+\tan x.\sec x\tan x)$
$f'(x)=-\sec x(-2\sec x\tan x+{{\sec }^{2}}x+{{\tan }^{2}}x)$
$f'(x)=-\sec x{{(\sec x-\tan x)}^{2}}$
$f(x)$ naik maka $f'(x) > 0$
$-\sec x{{(\sec x-\tan x)}^{2}} > 0$
$-\sec x > 0$
$\sec x < 0$
$\frac{1}{\cos x} < 0$
$\cos x < 0$
${{90}^{o}} < x < {{270}^{o}}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 4
Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap garis y = x – 1 menjadi titik (c,d), maka 2c + d = …
A. 2a + b – 1
B. 2a – b – 1
C. a – 2b – 1
D. 2a + b + 1
E. a + 2b + 1
Pembahasan:
Pencerminan titik (x,y) terhadap garis y = x – k
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} y+k \\ x-k \\ \end{matrix} \right)$
Dari soal (a,b) = (x,y) dan (c,d) = (x’,y’) maka:
$\left( \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} b+1 \\ a-1 \\ \end{matrix} \right)$
c = b + 1 dan d = a – 1
2c + d = 2(b + 1) + a – 1 = a + 2b + 1
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika $\alpha $ ialah sudut antara bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin $\alpha $ = …
A. $\frac{1}{3}\sqrt{6}$
B. $\frac{1}{3}\sqrt{5}$
C. $\frac{1}{3}\sqrt{4}$
D. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
E. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$
Pembahasan:
Untuk mempermudah perhitungan, kita misalkan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 3 satuan.
$\frac{1}{2}=\frac{r}{R}\Leftrightarrow r=\frac{1}{2}R$
$\pi {{R}^{2}}-\pi {{r}^{2}}=36\pi $
${{R}^{2}}-{{r}^{2}}=36$
${{R}^{2}}-{{\left( \frac{1}{2}R \right)}^{2}}=36$
${{R}^{2}}-\frac{1}{4}{{R}^{2}}=36$
$\frac{3}{4}{{R}^{2}}=36$
${{R}^{2}}=48$
Persamaan bundar luar:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=48$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 2
Misalkan segitiga ABC ialah segitiga siku-siku pada titik C. Jika panjang sisi di hadapan titik A, B, C berturut-turut ialah a, b, c maka cos 2A = …
A. $\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
B. $\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
C. $\frac{{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}$
D. $\frac{{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}$
E. $\frac{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}}$
Pembahasan:
${{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}$
$\cos A=\frac{b}{c}$
$\cos 2A=2{{\cos }^{2}}A-1$
$\cos 2A=2{{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}-1$
$\cos 2A=\frac{2{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
$\cos 2A=\frac{{{b}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
$\cos 2A=\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
$\cos 2A=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 3
Fungsi $f(x)={{\sec }^{2}}x-\tan x\sec x$ untuk $0 < x < 2\pi $, $x\ne \frac{\pi }{2}$ dan $x\ne \frac{3\pi }{2}$ naik pada interval …
A. $0 < x < {{90}^{o}}$ atau ${{90}^{o}} < x < {{180}^{o}}$
B. $0 < x <{{90}^{o}}$ atau ${{270}^{o}} < x < {{360}^{o}}$
C. ${{90}^{o}} < x < {{180}^{o}}$
D. ${{90}^{o}} < x < {{270}^{o}}$
E. ${{90}^{o}} < x < {{200}^{o}}$
Pembahasan:
$f(x)={{\sec }^{2}}x-\tan x\sec x$
$f'(x)=2\sec x.\sec x\tan x-({{\sec }^{2}}x.\sec x+\tan x.\sec x\tan x)$
$f'(x)=-\sec x(-2\sec x\tan x+{{\sec }^{2}}x+{{\tan }^{2}}x)$
$f'(x)=-\sec x{{(\sec x-\tan x)}^{2}}$
$f(x)$ naik maka $f'(x) > 0$
$-\sec x{{(\sec x-\tan x)}^{2}} > 0$
$-\sec x > 0$
$\sec x < 0$
$\frac{1}{\cos x} < 0$
$\cos x < 0$
${{90}^{o}} < x < {{270}^{o}}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 4
Jika titik (a,b) dicerminkan terhadap garis y = x – 1 menjadi titik (c,d), maka 2c + d = …
A. 2a + b – 1
B. 2a – b – 1
C. a – 2b – 1
D. 2a + b + 1
E. a + 2b + 1
Pembahasan:
Pencerminan titik (x,y) terhadap garis y = x – k
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} y+k \\ x-k \\ \end{matrix} \right)$
Dari soal (a,b) = (x,y) dan (c,d) = (x’,y’) maka:
$\left( \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} b+1 \\ a-1 \\ \end{matrix} \right)$
c = b + 1 dan d = a – 1
2c + d = 2(b + 1) + a – 1 = a + 2b + 1
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 5
Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik M berada di rusuk AD sedemikian sehingga AM : MD = 1 : 2. Titik N berada di rusuk CD sedemikian sehingga CN : ND = 1 : 2. Titik P berada di rusuk DH sedemikian sehingga DP : PH = 2 : 1. Jika $\alpha $ ialah sudut antara bidang MNP dan bidang ACGE, maka nilai sin $\alpha $ = …
A. $\frac{1}{3}\sqrt{6}$
B. $\frac{1}{3}\sqrt{5}$
C. $\frac{1}{3}\sqrt{4}$
D. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
E. $\frac{1}{3}\sqrt{2}$
Pembahasan:
Untuk mempermudah perhitungan, kita misalkan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH ialah 3 satuan.
Dari gambar,
$\alpha =\angle (MNP,ACGE)$
$\alpha =\angle (MNP,MNN'M')$
$\alpha =\angle (MNP,QQ')$
$\alpha =\angle (PQ,QR)$
Perhatikan segitiga PQR siku-siku di R dengan:
$PR=\sqrt{2}$, QR = 2
$PQ=\sqrt{P{{R}^{2}}+Q{{R}^{2}}}$
$PQ=\sqrt{{{(\sqrt{2})}^{2}}+{{2}^{2}}}$
$PQ=\sqrt{6}$
$\sin \alpha =\frac{PR}{PQ}$
$\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$
$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 6
Diketahui sisa pembagian suku banyak $f(x)-g(x)$ oleh ${{x}^{2}}+x-2$ ialah $x$, sisa pembagian $f(x)+g(x)$ oleh ${{x}^{2}}-3x+2$ ialah $x+1$, maka sisa pembagian ${{(f(x))}^{2}}+{{(g(x))}^{2}}$ oleh $x-1$ ialah …
A. $\frac{5}{2}$
B. $\frac{5}{4}$
C. $\frac{1}{4}$
D. 1
E. 4
Pembahasan:
Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
$f(x)-g(x)$ = (${{x}^{2}}+x-2$).hasil + $x$
$f(x)-g(x)$ = $(x+2)(x-1)$.hasil + $x$
Untuk x = 1, maka:
$f(1)-g(1)$ = 1 …. pers (1)
$f(x)+g(x)$ = $({{x}^{2}}-3x+2)$.hasil + $x+1$
$f(x)+g(x)$ = $(x-1)(x-2)$.hasil + $x+1$
Untuk x = 1, maka:
$f(1)+g(1)$ = 2 …. pers (2)
$f(1)-g(1)$ = 1 …. pers (1)
--------------------------------- (+)
$2f(1)=3\Leftrightarrow f(1)=\frac{3}{2}$
$f(1)+g(1)$ = 2
$f(1)-g(1)$ = 1
------------------- (-)
$2g(1)=1\Leftrightarrow g(1)=\frac{1}{2}$
Dengan Teorema Sisa:
Sisa pembagian ${{(f(x))}^{2}}+{{(g(x))}^{2}}$ oleh $x-1$ adalah:
= ${{(f(1))}^{2}}+{{(g(1))}^{2}}$
= ${{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}$
= $\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 7
Grafik $y={{3}^{x+1}}-{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}$ berada di bawah grafik $y={{3}^{x}}+1$ bila …
A. 0 < x < 1
B. x > 1
C. x < 0
D. x > 3
E. 1 < x < 3
Pembahasan:
${{y}_{1}}={{3}^{x+1}}-{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}}$ di bawah ${{y}_{2}}={{3}^{x}}+1$ maka:
${{y}_{1}} < {{y}_{2}}$
${{3}^{x+1}}-{{\left( \frac{1}{9} \right)}^{x}} < {{3}^{x}}+1$
${{3.3}^{x}}-\frac{1}{{{({{3}^{x}})}^{2}}} < {{3}^{x}}+1$
${{2.3}^{x}}-\frac{1}{{{({{3}^{x}})}^{2}}}-1 < 0$
$2{{({{3}^{x}})}^{3}}-1-{{({{3}^{x}})}^{2}} < 0$
$2{{({{3}^{x}})}^{3}}-{{({{3}^{x}})}^{2}}-1 < 0$
Misal: $y={{3}^{x}}$ maka:
$2{{y}^{3}}-{{y}^{2}}-1 < 0$
$(y-1)(2{{y}^{2}}+y+1) < 0$; $2{{y}^{2}}+y+1 > 0$ (DEFINIT POSITIF) maka:
$y-1 < 0$
$y < 1$
${{3}^{x}} < {{3}^{0}}\Leftrightarrow x < 0$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 8
Nilai dari $\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1-\cos (x-2)}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$
A. 0
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{3}{4}$
D. 1
E. $\infty $
Pembahasan:
$\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{1-\cos (x-2)}}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}$
$=\sqrt{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos (x-2)}{{{x}^{2}}-2x}}$
$=\sqrt{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{\sin }^{2}}\frac{1}{2}(x-2)}{{{x}^{2}}-2x}}$
$=\sqrt{\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,2.\frac{\sin \frac{1}{2}(x-2)}{x}.\frac{\sin \frac{1}{2}(x-2)}{(x-2)}}$
$=\sqrt{2.\frac{\sin \frac{1}{2}(2-2)}{2}.\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{2.\frac{0}{2}.\frac{1}{2}}$
= 0
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 9
Suatu barisan geometri semua sukunya positif. Jika $\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}}{{{u}_{3}}+{{u}_{4}}}=\frac{1}{9}$ maka $\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}}{{{u}_{2}}+{{u}_{3}}}$ = …
A. $\frac{10}{9}$
B. 3
C. $\frac{10}{3}$
D. 4
E. 10
Pembahasan:
Barisan Geometri: ${{u}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$
$\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}}{{{u}_{3}}+{{u}_{4}}}=\frac{1}{9}$
$\frac{a+ar}{a{{r}^{2}}+a{{r}^{3}}}=\frac{1}{9}$
$\frac{a(1+r)}{a{{r}^{2}}(1+r)}=\frac{1}{9}$
$\frac{1}{{{r}^{2}}}=\frac{1}{9}$
${{r}^{2}}=9\Leftrightarrow r=3$
$\frac{{{u}_{1}}+{{u}_{2}}+{{u}_{3}}+{{u}_{4}}}{{{u}_{2}}+{{u}_{3}}}=\frac{a+ar+a{{r}^{2}}+a{{r}^{3}}}{ar+a{{r}^{2}}}$
$=\frac{a(1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}})}{a(r+{{r}^{2}})}$
$=\frac{1+r+{{r}^{2}}+{{r}^{3}}}{r+{{r}^{2}}}$
$=\frac{1+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}}{3+{{3}^{2}}}$
$=\frac{40}{12}=\frac{10}{3}$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 10
Misalkan $f(x)=a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}$ memiliki titik belok di (4,13). Nilai a + b = …
A. $\frac{91}{8}$
B. $\frac{81}{8}$
C. $\frac{71}{8}$
D. $\frac{61}{8}$
E. $\frac{51}{8}$
Pembahasan:
Titik $(4,13)$ pada $f(x)=a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}$ maka:
$13=a\sqrt{4}+\frac{b}{\sqrt{4}}$
$13=2a+\frac{b}{2}$
$4a+b=26$
Titik $(4,13)$ ialah titik belok maka $f''(4)=0$
$f(x)=a\sqrt{x}+\frac{b}{\sqrt{x}}$
$f(x)=a{{x}^{\frac{1}{2}}}+b{{x}^{-\frac{1}{2}}}$
$f'(x)=\frac{1}{2}a{{x}^{-\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}b{{x}^{-\frac{3}{2}}}$
$f''(x)=-\frac{1}{4}a{{x}^{-\frac{3}{2}}}+\frac{3}{4}b{{x}^{-\frac{5}{2}}}$
$f''(x)=\frac{-a}{4\sqrt{{{x}^{3}}}}+\frac{3b}{4\sqrt{{{x}^{5}}}}$
$f''(4)=\frac{-a}{4\sqrt{{{4}^{3}}}}+\frac{3b}{4\sqrt{{{4}^{5}}}}=0$
$\frac{-a}{32}+\frac{3b}{128}=0$
$-4a+3b=0$
$4a+b=26$
--------------- (+)
$4b=26\Leftrightarrow b=\frac{13}{2}$
$4a+b=26$
$4a+\frac{13}{2}=26$
$8a+13=52\Leftrightarrow a=\frac{39}{8}$
$a+b=\frac{39}{8}+\frac{13}{2}=\frac{91}{8}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 11
Diketahui fungsi $f(x)=f(x+2)$ untuk setiap $x$. Jika $\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=B$, maka $\int\limits_{3}^{7}{f(x+8)dx}$ = …
A. B
B. 2B
C. 3B
D. 4B
E. 5B
Pembahasan:
Misalkan $\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}=A$
$\int\limits_{0}^{2}{f(x)dx}=B$, dengan sifat-sifat integral tertentu, maka:
$\int\limits_{0}^{1}{f(x)dx}+\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=B$
$A+\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=B$
$\int\limits_{1}^{2}{f(x)dx}=B-A$
$\int\limits_{3}^{7}{f(x+8)dx}$
$=\int\limits_{3}^{7}{f(x)dx}$
$=\int\limits_{3}^{4}{f(x)dx}+\int\limits_{4}^{6}{f(x)dx}+\int\limits_{6}^{7}{f(x)dx}$
Misalkan, ${{I}_{1}}=\int\limits_{3}^{4}{f(x)dx}$ substitusi $x=u+2$
${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{f(u+2)du}$
${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{2}{f(u)du}=B-A$
Misalkan, ${{I}_{2}}=\int\limits_{4}^{6}{f(x)dx}$ substitusi $x=u+4$
${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{f(u+4)du}$
${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{2}{f(u)du}=B$
Misalkan, ${{I}_{3}}=\int\limits_{6}^{7}{f(x)dx}$ substitusi $x=u+6$
${{I}_{3}}=\int\limits_{0}^{1}{f(u+6)du}$
${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{f(u)du}=A$
Jadi,
$\int\limits_{3}^{7}{f(x+8)dx}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+{{I}_{3}}$ = B – A + B + A = 2B.
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 12
Diketahui fungsi $f(x)={{x}^{k}}$ dan $g(x)=x$. Misalkan D ialah tempat yang dibatasi oleh kurva $g$, sumbu Y dan y = 1. Jika kurva $f$ membagi tempat D sama besar, maka k = …
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. 1
D. 2
E. 3
Pembahasan:
Luas D = Luas segitiga OPQ = $\frac{1}{2}.1.1=\frac{1}{2}$
Karena kurva $y={{x}^{k}}$ membagi tempat D sama besar, maka:
Luas tempat Hijau = 1/2 x Luas D
$\int\limits_{0}^{1}{(1-{{x}^{k}})dx}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}$
$\left. \left( x-\frac{1}{k+1}{{x}^{k+1}} \right) \right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}$
$\left( 1-\frac{1}{k+1}{{.1}^{k+1}} \right)-\left( 0-\frac{1}{k+1}{{.0}^{k+1}} \right)=\frac{1}{4}$
$1-\frac{1}{k+1}=\frac{1}{4}$
$1-\frac{1}{4}=\frac{1}{k+1}$
$\frac{3}{4}=\frac{1}{k+1}$
$3k+3=4\Leftrightarrow 3k=1\Leftrightarrow k=\frac{1}{3}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 13
Banyaknya bilangan genap n = abc dengan 3 digit sehingga 3 < b < c ialah …
A. 48
B. 54
C. 60
D. 64
E. 72
Pembahasan:
N = abc genap bila c bilangan genap, nilai c yang memenuhi ialah 6 dan 8. Pilihan nilai a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ada sembilan pilihan.
Jika c = 6, maka b = {5, 4} dan a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} maka banyak bilangan: 2 x 9 = 18 bilangan.
Jika c = 8, maka b = {7, 6, 5, 4} dan a = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} maka banyak bilangan: 4 x 9 = 36 bilangan.
Jumlah seluruh bilangan = 18 + 36 = 54 bilangan.
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 14
Garis singgung kurva $y=3-{{x}^{2}}$ di titik P(-a,b) dan Q(a,b) memotong sumbu Y di titik R. Nilai a yang menciptakan segitiga PQR sama sisi ialah …
A. $2\sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
D. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
E. $\frac{1}{4}\sqrt{3}$
Pembahasan:
Segitiga PQR sama sisi, maka masing-masing sudutnya ${{60}^{o}}$, maka $\theta ={{60}^{o}}$, kita peroleh gradien garis singgung yang melalui titik P(-a,b) ialah $\tan {{60}^{o}}=\sqrt{3}$.
$y=3-{{x}^{2}}$
$\frac{dy}{dx}=-2x$ melalui titik P(-a,b)
${{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{x=-a}}=-2.(-a)=\sqrt{3}$
$a=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2016 No. 15
Diketahui tiga bilangan aktual $^{2}\log a$, $^{2}\log b$, $^{2}\log c$ membentuk barisan aritmetika. Jika $abc=128$, maka suku kedua barisan tersebut ialah …
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{7}{3}$
C. 2
D. 8
E. 16
Pembahasan:
Barisan Aritmetika:
$^{2}\log a$, $^{2}\log b$, $^{2}\log c$
$2{{U}_{2}}={{U}_{1}}+{{U}_{3}}$
${{2.}^{2}}\log b{{=}^{2}}\log a{{+}^{2}}\log c$
$^{2}\log {{b}^{2}}{{=}^{2}}\log ac$
${{b}^{2}}=ac$ kedua ruas kali dengan b
${{b}^{3}}=abc$
${{b}^{3}}=128\Leftrightarrow b={{2}^{\frac{7}{3}}}$
${{U}_{2}}{{=}^{2}}\log b{{=}^{2}}\log {{2}^{\frac{7}{3}}}=\frac{7}{3}$
Jawaban: B
Artikel Terkait: |