Berikut ini ialah Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2017 Kode 106. Semoga dengan adanya pembahasan ini adik-adik dan teman-teman sekalian sanggup berlatih menjawab soal-soal SBMPTN dengan lebih semangat. Belajar dan berlatihlah dengan semangat demi menuju masa depan yang lebih cerah. Ingat jangan lengah pesaing anda juga sedang belajar... hehehehe. Jika ada sesuatu yang kurang jelas... boleh kita saling menyebarkan di kolom komentar. Dan jikalau suka... tidaklah rugi menawarkan like, betul gak...? Oh iya... jikalau ingin file pdfnya silahkan d0wnl0ad di final postingan.
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 1 Jika $a$ dan $b$ memenuhi $\left\{ \begin{matrix} \frac{9}{a+2b}+\frac{1}{a-2b}=2 \\ \frac{9}{a+2b}-\frac{2}{a-2b}=-1 \\ \end{matrix} \right.$ maka $a-b^2$ = ….
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 9
Pembahasan: $\frac{9}{a+2b}+\frac{1}{a-2b}=2$
$\frac{9}{a+2b}-\frac{2}{a-2b}=-1$
-------------------------------(-)
$\frac{3}{a-2b}=3$
$a-2b=1 \rightarrow a=2b+1$
Substitusi ke:
$\frac{9}{a+2b}-\frac{2}{a-2b}=-1$
$\frac{9}{2b+1+2b}-\frac{2}{2b+1-2b}=-1$
$\frac{9}{4b+1}-2=-1$
$\frac{9}{4b+1}=1$
$4b+1=9$
$4b=8$
$b=2$
$a=2b+1$
$a=2.2+1=5$
$a-b^2=5-2^2=1$
Kunci: A
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 2 Seorang pelajar berencana untuk menabung di koperasi yang manfaatnya dihitung setiap semester. Apabila jumlah tabungan menjadi dua kali lipat dalam 5 tahun, maka besar tingkat suku bunga per tahun ialah ….
A. $2\left( \sqrt[10]{2}-1 \right)$
B. $2\left( \sqrt[5]{2}-1 \right)$
C. $2\left( \sqrt{2} \right)$
D. $2\left( \sqrt[5]{2} \right)$
E. $2\left( \sqrt[10]{2} \right)$
Pembahasan: Missal, $M_0=x$, $M_n=2x$ dan $i$ = persentase bunga per semester. Periode = 5 tahun = 5 x 2 semester maka $n=10$.
$M_n=M_0(1+i)^n$
$\begin{align} 2x & =x(1+i)^{10} \\ 2 & =(1+i)^{10} \\ \sqrt[10]{2} & =1+i \\ \sqrt[10]{2}-1 & =i \\ \end{align}$
Tingkat suku bungan per tahun adalah:
= 2i
= $2(\sqrt[10]{2}-1)$
Kunci: A
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 3
Himpunan penyelesaian dari $\frac{x}{x+{{x}^{2}}}\ge -\frac{{{x}^{2}}}{x-{{x}^{2}}}$ ialah …
A. $\{x|-\frac{1}{2}\le x < 0\text{ atau }0 < x\le \frac{1}{2}\}$
B. $\{x|-\frac{1}{2} < x < 0\text{ atau }0 < x < 1\}$
C. $\{x|-\frac{1}{2}\le x < 0\text{ atau }0 < x < 1\}$
D. $\{x|-1 < x < 0\text{ atau }0 < x \le \frac{1}{2}\}$
E. $\{x|-1 < x < 0\text{ atau }0 < x < 1\}$
Pembahasan: $\begin{align} \frac{x}{x+{{x}^{2}}}& \ge -\frac{{{x}^{2}}}{x-{{x}^{2}}} \\ \frac{x}{x+{{x}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{x-{{x}^{2}}} &\ge 0 \\ \frac{x}{x(1+x)}+\frac{{{x}^{2}}}{x(1-x)}&\ge 0 \\ \frac{x(1-x)+{{x}^{2}}(1+x)}{x(1+x)(1-x)} &\ge 0 \\ \frac{x-{{x}^{2}}+{{x}^{2}}+{{x}^{3}})}{x(1+x)(1-x)} &\ge 0 \\ \frac{x+{{x}^{3}}}{x(1+x)(1-x)} &\ge 0 \\ \frac{x({{x}^{2}}+1)}{x(1+x)(1-x)} &\ge 0 \end{align}$
$x\ne -1,x \ne 0,x\ne 1$
$\{x|-1< x < 0 \text{ atau }0 < x < 1\}$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 4
Diketahui vector $\vec{a},\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ ialah vector di bidang kartesius dengan $\vec{v}=\vec{w}-\vec{u}$ dan sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{w}$ ialah $60^o$. Jika $\vec{a} = 4\vec{v}$ dan $\vec{a}.\vec{u} = 0$ maka …
A. ||u||=2||v||
B. ||v||=2||w||
C. ||v||=2||u||
D. ||w||=2||v||
E. ||w||=2||u||
Pembahasan:
$\vec{v}=\vec{w}-\vec{u}$ (kali kedua ruas dengan 4)
$4\vec{v}=4\vec{w}-4\vec{u}$ ; diketahui $\vec{a} = 4\vec{v}$, maka:
$\vec{a}=4\vec{w}-4\vec{u}$; (kali kedua ruas dengan $\vec{u}$)
$\vec{a}.\vec{u}=4\vec{u}.\vec{w}-4.\vec{u}.\vec{u}$; diketahui $\vec{a}.\vec{u} = 0$, maka:
$0=4\vec{u}.\vec{w}-4|\vec{u}{{|}^{2}}$
$4|\vec{u}{{|}^{2}}=4\vec{u}.\vec{w}$
$|\vec{u}{{|}^{2}}=\vec{u}.\vec{w}$; diketahui $\angle (\vec{u},\vec{w})={{60}^{o}}$ , maka:
$|\vec{u}{{|}^{2}}=|\vec{u}||\vec{w}|\cos {{60}^{o}}$
$|\vec{u}{{|}^{2}}=|\vec{u}||\vec{w}|.\frac{1}{2}$
$2|\vec{u}{{|}^{2}}=|\vec{u}||\vec{w}|$
$2|\vec{u}|=|\vec{w}|$
$|\vec{w}|=2|\vec{u}|$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 5 Diketahui persamaan $\sec \theta \left( \sec \theta {{(\sin \theta )}^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right)=1$. Jika ${{\theta }_{1}}$ dan ${{\theta }_{2}}$ ialah solusi dari persamaan tersebut, maka $\tan {{\theta }_{1}}.\tan {{\theta }_{2}}$ = …
A. -1 B. -0,5 C. 0 D. 0,5 E. 1
Pembahasan: $\sec \theta \left( \sec \theta {{(\sin \theta )}^{2}}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right)=1$
$\frac{1}{\cos \theta }\left( \frac{1}{\cos \theta }.{{\sin }^{2}}\theta +\frac{2}{3}\sqrt{3}\sin \theta \right)=1$
$\frac{{{\sin }^{2}}\theta }{{{\cos }^{2}}\theta }+\frac{2}{3}\sqrt{3}.\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=1$
${{\tan }^{2}}\theta +\frac{2}{3}\sqrt{3}.tan\theta =1$
$3{{\tan }^{2}}\theta +2\sqrt{3}.tan\theta -3=0$
$a=3,b=2\sqrt{3},c=-3$
$tan{{\theta }_{1}}.\tan {{\theta }_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-3}{3}=-1$
Kunci: A
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 6 Persamaan salah satu asimtot dari hiperbola $4y^2-x^2+16y+6x+3=0$ ialah …
A. $x+2y+5=0$
B. $x-2y+1=0$
C. $x-2y+7=0$
D. $x+2y+1=0$
E. $x+2y-1=0$
Pembahasan: $4y^2-x^2+16y+6x+3=0$
$4{{y}^{2}}+16y-{{x}^{2}}+6x+3=0$
$4({{y}^{2}}+4y)-({{x}^{2}}-6x)+3=0$
$4\left[ {{(y+2)}^{2}}-4 \right]-\left[ {{(x-3)}^{2}}-9 \right]+3=0$
$4{{(y+2)}^{2}}-16-{{(x-3)}^{2}}+9+3=0$
$4{{(y+2)}^{2}}-{{(x-3)}^{2}}=4$
$\frac{{{(y+2)}^{2}}}{{{1}^{2}}}-\frac{{{(x-3)}^{2}}}{{{2}^{2}}}=1$
$\frac{{{(y-q)}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{(x-p)}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$
a = 1, b = 2, q = -2, p = 3
Asimtotnya:
$y-q=\pm \frac{a}{b}(x-p)$
$y+2=\pm \frac{1}{2}(x-3)$
(1)
$y+2=\frac{1}{2}(x-3)$$y+2=-\frac{1}{2}(x-3)$
$2y+4=x-3\Leftrightarrow x-2y-7=0$
(2)
$y+2=-\frac{1}{2}(x-3)$
$2y+4=-x+3\Leftrightarrow x+2y+1=0$
Kunci: D
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 7 Misalkan $f(x) = 3x^3-9x^2+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$ maka $g(-2)$ = …
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 E. 4
Pembahasan: $f(x) = 3x^3-9x^2+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$
$f(2)={{3.2}^{3}}-{{9.2}^{2}}+8b+18=(2-2)g(2)+2b$
$24-36+8b+18=2b\Leftrightarrow b=-1$
$f(x) = 3x^3-9x^2+4bx+18=(x-2)g(x)+2b$
$f(-2)=3{{(-2)}^{3}}-9{{(-2)}^{2}}+4(-1)(-2)+18=(-2-2)g(-2)+2(-1)$
$-24-36+8+18=-4.g(-2)-2$
$-32=-4.g(-2)$
$8=g(-2)$
Kunci: C
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 8
Diketahui suatu bulat kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui sentra bulat besar yang memiliki radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong bulat merupakan diameter dari bulat kecil, menyerupai pada gambar Luas tempat irisan kedua bulat ialah …
A. $18\pi+18$
B. $18\pi-18$
C. $14\pi+14$
D. $14\pi-15$
E. $10\pi+10$
Pembahasan:
P ialah titik sentra bulat berjari-jari 6
Q ialah titik sentra bulat berjari-jari $3\sqrt2$
PB = PA = 6 = R
QP = QA = QB = $3\sqrt2$ = r
AB = diameter bulat kecil = $6\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga APB, ukurannya AP = 6, BP = 6, dan AB = $6\sqrt{2}$, terang bahwa segitiga APB ialah segitiga siku-siku di titik P.
Luas tembereng bulat besar = $\frac{1}{4}$ x Luas bulat besar – Luas segitiga APB.
Luas arsiran $=\frac{1}{2}$ x Luas bulat kecil + Luas tembereng bulat besar.
$=\frac{1}{2}\times \pi {{r}^{2}}+[\frac{1}{4}\times \pi {{R}^{2}}-\frac{1}{2}\times AP\times BP]$
$=\frac{1}{2}\times \pi {{(3\sqrt{2})}^{2}}+[\frac{1}{4}\times \pi {{.6}^{2}}-\frac{1}{2}\times 6\times 6]$
$=9\pi +9\pi -18$
$=18\pi -18$
Kunci: B
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 9
Jika $\int\limits_{-4}^{4}{f(x)(\sin x+1)dx}=8$, dengan $f(x)$ fungsi genap dan $\int\limits_{-2}^{4}{f(x)dx}=4$ , maka $\int\limits_{-2}^{0}{f(x)dx}$ = …
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4
Pembahasan: Karena $f(x)$ fungsi genap dan $\sin x$ fungsi ganjil maka $f(x).\sin x$ merupakan fungsi ganjil, sehingga $\int_{-4}^4 f(x).\sin x \ dx=0$ dan sebab $f(x)$ fungsi genap maka $\int_{-4}^{4} f(x) \ dx = 2\int_{0}^{4} f(x) \ dx$, sehingga diperoleh:
$\begin{align}\int_{-4}^4 f(x)(\sin x + 1) \ dx &= 8\\ \int_{-4}^4 f(x) \sin x \ dx + \int_{-4}^4 f(x) \ dx &= 8\\ 0 + 2.\int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 8\\ \int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \end{align}$
Maka:
$\begin{align}\int_{-2}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx + \int_{0}^{4} f(x) \ dx &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx + 0 &= 4\\ \int_{-2}^{0} f(x) \ dx &= 4 \end{align}$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 10
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sec x+\cos x-2}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}$ = …
A. $-\frac{1}{8}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. 0
D. $\frac{1}{4}$
E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan: $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sec x+\cos x-2}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{\cos x}+\cos x-2}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1+{{\cos }^{2}}x-2\cos x}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x.\cos x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\cos }^{2}}x-2\cos x+1}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x.\cos x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(\cos x-1)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x.\cos x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{(-2.si{{n}^{2}}\frac{1}{2}x)}^{2}}}{{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}.\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\cos x}$
$={{\left( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{-2.si{{n}^{2}}\frac{1}{2}x}{x.\sin x} \right)}^{2}}.1$
$={{\left( -2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} \right)}^{2}}.1$
$=\frac{1}{4}$
Kunci: D
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 11
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}\sin \left( \frac{1}{x} \right)+{{x}^{2}}}{1+{{x}^{3}}}$ = …
A. tidak ada limitnya
B. 0
C. 1
D. $-\infty $
E. $\infty $
Pembahasan: Misal: $y = \frac{1}{x}$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}\sin \left( \frac{1}{x} \right)+{{x}^{2}}}{1+{{x}^{3}}}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{1}{{{y}^{4}}}\sin y+\frac{1}{{{y}^{2}}}}{1+\frac{1}{{{y}^{3}}}}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sin y+{{y}^{2}}}{{{y}^{4}}}}{\frac{{{y}^{3}}+1}{{{y}^{3}}}}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin y+{{y}^{2}}}{y({{y}^{3}}+1)}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin y+{{y}^{2}}}{y}.\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{y}^{3}}+1}$
$=\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin y}{y}.\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,y.\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{y}^{3}}+1}$
$=1.0.1$
$=0$
Kunci: B
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 12
Diberikan dua fungsi rasional $y=\frac{3{{x}^{2}}-3x+7}{{{x}^{2}}-5x+4}$ dan $y=\frac{a{{x}^{2}}-3x+2}{b{{x}^{2}}+2x-3}$ , $a > 0$. Jika diketahui kedua kurva memiliki sebuah asimtot tegak yang sama dan asimtot datar keduanya berjarak 4 satuan, maka $a$ = …
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 E. 7
Pembahasan: $y=\frac{3{{x}^{2}}-3x+7}{{{x}^{2}}-5x+4}$ maka asimtot datar: $y = 3$
$y=\frac{a{{x}^{2}}-3x+2}{b{{x}^{2}}+2x-3}$ maka asimtot datar: $y = \frac{a}{b}$
Jarak kedua asimtot datar = 4
$\left| \frac{a}{b}-3 \right|=4$
$y=\frac{3{{x}^{2}}-3x+7}{{{x}^{2}}-5x+4}$ maka asimtot tegak $x^2-5x+4=0 \leftrightarrow (x-1)(x-4)=0$, jadi asimtot tegaknya $x=1$ atau $x=4$
$y=\frac{a{{x}^{2}}-3x+2}{b{{x}^{2}}+2x-3}$ maka asimtot tegak $bx^2+2x-3=0$
Karena salah satu asimtot tegaknya sama maka:
1) $bx^2+2x-3$ habis dibagi $(x-1)$ diperoleh $b=1$
2) $bx^2+2x-3$ habis dibagi $(x-4)$ diperoleh $b=\frac{-5}{16}$
Pilih $b=1$, maka:
$\left| \frac{a}{b}-3 \right|=4$
$\left| \frac{a}{1}-3 \right|=4$
$\left| a-3 \right|=4$
$a-3=-4 \rightarrow a = -1$
$a-3=4 \rightarrow a = 7$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 13
Misalkan $f(x)=\sin (\sin ^{2}x)$ , maka $f'(x)$ = …
A. $2\sin x. \cos (\sin ^{2}x)$
B. $2\sin 2x. \cos (\sin ^{2}x)$
C. $\sin ^{2}x. \cos (\sin ^{2}x)$
D. $\sin ^{2}2x. \cos (\sin ^{2}x)$
E. $\sin 2x. \cos (sin^{2}x)$
Pembahasan:
$y=\sin (\sin ^{2}x)$
Misal: $u = \sin ^2x \leftrightarrow \frac{du}{dx} = 2\sin x \cos x$.
$y = \sin u \leftrightarrow \frac{dy}{du} = \cos u$
$f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}$
$=\cos u.2\sin x \cos x$
$=\cos (\sin ^{2}x).2 \sin x \cos x$
$=\cos (\sin ^{2}x). \sin 2x$
$=\sin 2x. \cos (\sin ^{2}x)$
Kunci: E
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 14
Garis singgung dari $f(x)=\frac{1}{{{x}^{2}}\cos x}$ dititik $x = \pi$ memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$. Nilai $c$ ialah …
A. $-\frac{1}{4}\pi $
B. $-\frac{1}{2}\pi $
C. $-\pi$
D. $\frac{1}{4}\pi$
E. $\pi$
Pembahasan: Perhatikan “memotong garis $y=x+c$ di titik $(\pi,0)$”, berarti substitusi $x = \pi$ dan $y=0$, maka diperoleh:
$y=x+c$
$0=\pi + c$
$c=-\pi$
Kunci: C
SBMPTN 2017 Kode 106 No. 15
Di dalam kotak I terdapat 12 bola putih dan 3 bola merah. Di dalam kotak II terdapat 4 bola putih dan 4 bola merah. Jika dari kotak I dan kotak II masing-masing diambil 2 bola satu per satu dengan pengembalian, maka peluang yang terambil 1 bola merah ialah …
A. 0,04 B. 0,10 C. 0,16 D. 0,32 E. 0,40
Pembahasan: M = peluang terambil 1 bola merah
P = peluang terambil 1 bola putih
Kunci: E
Motto: #Berbagi_Itu_Indah
