OSK Sekolah Menengan Atas 2019-Olimpiade Sains tingkat Kabupaten/Kota untuk Sekolah Menengan Atas telah simpulan dilaksanakan pada tanggal 27 Februari 2019 dan siswa perwakilan dari sekolah daerah penulis sendiri ada tiga orang. sehabis ujian mereka ingin tau dengan pembahasan OSK tersebut. kemudian saya katakan, sabar ya nanti bapak posting di Soal dan Pembahasan OSK Matematika Sekolah Menengan Atas Tahun 2019.
Semoga bermanfaat.
Baca juga: Soal dan Kunci Jawaban OSK Sekolah Menengan Atas Tahun 2019 Semua Bidang Studi.
Kemampuan Dasar
Pada bab ini setiap balasan yang benar bernilai 2 poin dan setiap balasan yang salah satau kosong bernilai nol.
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 1
Pak Budi mempunyai sawah berbentuk abjad L. Jika diketahui bahwa sawahnya Pak Budi hanya mempunyai sisi yang panjangnya 5 meter dan 10 meter dan semua sudut sawahnya siku-siku, luas sawah Pak Budi yakni … meter persegi.
Pembahasan:
Dari soal maka sawah Pak Budi sanggup digambarkan sebagai berikut:
Luas sawah pak kebijaksanaan = 3 x 5 x 5 = 75 $m^2$
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 2
Jika sebuah jam kini menawarkan pukul 13:00 maka 2019 menit yang kemudian jam tersebut menawarkan pukul …
Pembahasan:
2019 menit = 33 x 60 menit + 39 menit
2019 menit = 33 jam + 39 menit
2019 menit = 24 jam + 9 jam + 39 menit
2019 menit = 1 hari + 9 jam + 39 menit
Sekarang pukul 13:00 maka 2019 menit yang kemudian pukul?
= Pukul 13.00 – 1 hari – 9 jam – 39 menit
= Pukul 13.00 – 9 jam – 39 menit
= pukul 04.00 – 39 menit
= pukul 03.00 + 60 menit – 39 menit
= pukul 03.00 + 21 menit
= pukul 03.21
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 3
Kedua akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-11x+k=0$ yakni bilangan prima. Nilai yakni …
Pembahasan:
${{x}^{2}}-11x+k=0$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ maka:
a = 1, b = -11, c = k
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b}{a}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=111$, alasannya yakni ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ yakni bilangan prima. Agar jumlah dua bilangan prima yakni 111 (bilangan ganjil), maka sanggup dipastikan kedua bilangan itu salah satunya ganjil dan satunya lagi yakni genap. Dan bilangan prima genap hanyalah 2. Dapat disimpulkan ${{x}_{1}}=2$ dan ${{x}_{2}}=109$, sehingga:
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}$
$2\times 109=k\Leftrightarrow k=218$
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 4
Ani dan Banu bermain dadu enam sisi. Jika dadu yang keluar bernilai genap, maka Ani mendapat skor 1 sedangkan bila dadu yang keluar bernilai ganjil, maka Banu yang mendapat skor 1. Pemenang dari permainan ini yakni orang pertama yang mendapat skor total 5. Setelah dilakukan pelemparan dadu sebanyak 5 kali, Ani mendapat skor 4 dan Banu mendapat skor 1. Peluang Ani memenangkan permainan ini yakni …
Pembahasan:
Misalkan:
P(A) = Peluang Ani menang
P(B) = Peluang Banu menang
P(A) + P(B) = 1
Agar Banu memenangkan permainan, maka Banu membutuhkan 4 kali menang dimana peluang 1 kali menang yakni $\frac{1}{2}$, maka:
P(B) = ${{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}}=\frac{1}{16}$
P(A) = 1 – P(B)
$P(A)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 5
Diketahui $a+2b=1$, $b+2c=2$, dan $b\ne 0$. Jika $a+nb+2018c=2019$ maka nilai $n$ yakni …
Pembahasan:
$b+2c=2$ kedua ruas dikali 1009 maka:
$1009b+2018c=2018$
$a+2b=1$
-------------------------- (+)
$a+1011b+2018c=2019$, sesuaikan dengan:
$a+nb+2018c=2019$
Maka n = 1011
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 6
Misalkan $a=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}$ dan $b=2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}$. Jika $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}$ dengan $x,y$ bulat, maka nilai $x+y$ yakni …
Pembahasan:
$a+b=2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}}+2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}}$
$a+b=4\sqrt{2}$
$a.b=\left( 2\sqrt{2}-\sqrt{8-4\sqrt{2}} \right)\left( 2\sqrt{2}+\sqrt{8-4\sqrt{2}} \right)$
$a.b=8-(8-4\sqrt{2})$
$a.b=4\sqrt{2}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=x+y\sqrt{2}$
$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{ab}=x+y\sqrt{2}$
$\frac{{{(a+b)}^{2}}-2ab}{ab}=x+y\sqrt{2}$
$\frac{{{(4\sqrt{2})}^{2}}-2.4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=x+y\sqrt{2}$
$4\sqrt{2}-2=x+y\sqrt{2}$
$-2+4\sqrt{2}=x+y\sqrt{2}$
$x=-2$ dan $y=4$
$x+y=-2+4=2$
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 7
Diberikan sebuah trapesium ABCD dengan AB sejajar CD. Misalkan titik P dan Q berturut-turut pada AD dan BC sedemikian sehingga PQ sejajar AB dan membagi trapesium menjadi dua bab yang sama luasnya. Jika AB = 17 dan DC = 7 maka nilai PQ yakni …
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini:
Segitiga CFQ sebangun dengan segitiga CEB, maka berlaku perbandingan:
$\frac{FQ}{EB}=\frac{CF}{CE}$
$\frac{x}{10}=\frac{b}{a+b}$
$(a+b)x=10b\Leftrightarrow a+b=\frac{10b}{x}$
Luas ABCD = 2 x Luas DCQP
$\frac{(AB+DC)}{2}.AD=2.\frac{(PQ+DC)}{2}.PD$
$\frac{(AB+DC)}{2}.AD=(PQ+DC)PD$
$\frac{17+7}{2}.(a+b)=(x+7+7).b$
$12(a+b)=b(x+14)$
$12.\frac{10b}{x}=b(x+14)$
$\frac{120}{x}=(x+14)$
${{x}^{2}}+14x=120$
${{x}^{2}}+14x-120=0$
$(x-6)(x+20)=0$
$x=6$
PQ = x + 7 = 6 + 7 = 13
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 8
Tujuh buah bendera dengan motif berbeda akan dipasang pada 4 tiang bendera. Pada masing-masing tiang bendera bisa dipasang sebanyak nol, satu, atau lebih dari satu bendera. Banyaknya cara memasang bendera tersebut yakni …
Pembahasan:
Teori:
Jika ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}+...+{{x}_{n}}=m$ dengan ${{x}_{i}}\ge 0$ maka banyaknya susunan dari ${{x}_{i}}$ yakni $C_{m}^{m+n-1}$.
Misalkan, setiap bendera tersebut bermotif sama dan tiang bendera ${{t}_{1}}$, ${{t}_{2}}$, ${{t}_{3}}$, dan ${{t}_{4}}$ maka banyaknya susunan bendera pada tiang sanggup dinyatakan sebagai:
${{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}+{{t}_{4}}=7$ dengan ${{t}_{i}}\ge 0$
Sehingga banyaknya susunannya adalah:
= $C_{7}^{7+4-1}$
= $C_{7}^{10}$
= $\frac{10!}{7!.(10-7)!}$
= $\frac{10.9.8.7!}{7!.3.2.1}$
= 120 susunan.
Karena setiap bendera ada 7 motif berbeda, banyak susunan motif bendera adalah: 7! = 5.040
Seluruh susunan yakni 120 x 5.040 = 604.800 susunan.
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 9
Misalkan $n$ yakni bilangan orisinil terkecil yang semua digitnya sama dan sedikitnya terdiri dari 2019 digit. Jika $n$ habis dibagi 126, maka hasil penjumlahan semua digit dari $n$ yakni …
Pembahasan:
Misalkan:
$n=\underbrace{aaaaa...aaaa}_{sebanyak\ge 2019}$
$n=a(\underbrace{1111...111}_{sebanyak\ge 2019})$
$n$ habis dibagi 126, faktor $126=2\times 9\times 7$ maka:
n habis dibagi 2, maka nilai a = {2, 4, 6, 8}
n habis dibagi 9, maka nilai a = {6}
n habis dibagi 7, maka kita menentukan bilangan orisinil terkecil 111…111 yang habis dibagi 7, kita sanggup mengujinya satu persatu:
111 tidak habis dibagi 7
1111 tidak habis dibagi 7
11111 tidak habis dibagi 7
111111 habis dibagi 7,
111111 yakni bilangan 6 digit.
$n=a(\underbrace{1111...111}_{sebanyak\ge 2019})$
$n=a(\underbrace{1111...111}_{sebanyak(6k)\ge 2019})$, k bilangan asli
$6k\ge 2019\Leftrightarrow k\ge \frac{2019}{6}$
$k\ge 336,5$ alasannya yakni k bilangan asli, maka k = 337
Banyak digit 1111…111 yakni 6k = 6 x 337 = 2022, maka:
$n=6(\underbrace{1111...111}_{sebanyak=2022})$
$n=(\underbrace{6666...666}_{sebanyak=2022})$
Jumlah digit = 6 x 2022 = 12132.
OSK Matematika (Kemampuan Dasar) 2019 No. 10
Untuk sebarang bilangan real $x$, simbol $\left\lfloor x \right\rfloor $ menyatakan bilangan bundar terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$, sedangkan $\left\lceil x \right\rceil $ menyatakan bilangan bundar terkecil yang tidak lebih kecil dibanding $x$. Interval $[a,b)$ yakni himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi ${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$. Nilai $a.b$ yakni …
Pembahasan:
Kasus I:
Misalkan, $x=z$ dengan z bilangan bulat, maka:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{(2z)}^{2}}=z+7$
$4{{z}^{2}}-z+7=0$
Uji nilai diskriminan:
$D={{b}^{2}}-4ac$
$D={{(-1)}^{2}}-4.4(-7)=113$ bukan merupakan bilangan kuadrat maka z bukan bilangan bulat.
Kasus II:
Misalkan, x bukan bilangan bulat, maka:
$x=z+p$ dengan $z\in $ bilangan bundar dan $0 < p\le \frac{1}{2}$
$x=z+\frac{1}{2}$ substitusi ke:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{\left\lfloor 2\left( z+\frac{1}{2} \right) \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil z+\frac{1}{2} \right\rceil +7$
${{(2z)}^{2}}=z+1+7$
$4{{z}^{2}}-z-8=0$
Uji nilai diskriminan:
$D={{(-1)}^{2}}-4.4(-8)=129$ bukan merupakan bilangan kuadrat maka z bukan bilangan bulat.
Kasus III:
Misalkan, x bukan bilangan bulat, maka:
$x=z-p$ dengan $z\in $ bilangan bundar dan $0 < p\le \frac{1}{2}$
$x=z-\frac{1}{2}$ substitusi ke:
${{\left\lfloor 2x \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil x \right\rceil +7$
${{\left\lfloor 2\left( z-\frac{1}{2} \right) \right\rfloor }^{2}}=\left\lceil z-\frac{1}{2} \right\rceil +7$
${{(2z-1)}^{2}}=z+7$
$4{{z}^{2}}-4z+1=z+7$
$4{{z}^{2}}-5z-6=0$
$(4z+3)(z-2)=0$, alasannya yakni z bilangan bundar maka yang memenuhi yakni z = 2.
Untuk z = 2 biar x minimum maka:
$x=z-\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=1,5=a$
Untuk z = 2 biar x maksimum maka:
$x=z-0\Leftrightarrow x=2=b$
Jadi, $a.b=1,5\times 2=3$
Sumber http://www.catatanmatematika.com