Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 16
Himpunan 20 buah bilangan mempunyai rata-rata 20. Sembilan di antara bilangan itu rata-ratanya 9. Rata-rata dari 11 bilangan yang tersisa yaitu ...
A. 11 B. 15 C. 25 D. 29 E. 30
Pembahasan:
$n_1 = 9$ dan $\bar{x}_1$
$n_2 = 11$
$\bar{x}_{gabungan} = 20$
$\bar{x}_2 = ...?$
$\begin{align*} \bar{x}_{gabungan} &= \frac{n_1. \bar{x}_1 + n_2. \bar{x}_2}{n_1 + n_2} \\
20 &= \frac{9.9 + 11. \bar{x}_2}{9 + 11} \\
400 &= 81 + 11. \bar{x}_2 \\
319 &= 11. \bar{x}_2 \\
29 &= \bar{x}_2
\end{align*}$
Kunci: D
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 17
Diketahui $p$ yaitu sembarang bilangan bundar positif, $2x + p = y$, $p + y = x$, dan $x + y = z$. Tentukan nilai maksimum yang mungkin dari $(x + y + z)$.
A. 10 B. -10 C. 20 D. -20 E. 30
Pembahasan:
Diketahui:
$p > 0$
$2x + p = y$ ...... pers. (1)
$p + y = x$ ........ pers. (2)
$x + y = z$ ........ pers. (3)
Jumlahkan pers. (1) dengan (2), diperoleh:
$2x + 2p + y = x + y$
$x + 2p = 0$
$x = -2p$
$2x + p = y$
$2.(-2p) + p = y$
$-3p = y$
Substitusi ke pers. (3)
x + y = z
-2p - 3p = z
-5p = z
Nilai maksimum (bernilai positif)
= x + y + z
= 2p + 3p + 5p
= 10p
Kunci: A
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 18
Perhatikan gambar berikut ini:
A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15
Pembahasan:
Dengan Teorema Bendera Inggris (British Flag Teorem):
$\begin{align*} AP^2 + CP^2 &= BP^2 + DP^2 \\
5^2 + CP^2 &= (\sqrt{160})^2 + 3^2 \\
25 + CP^2 &= 160 + 9 \\
CP^2 &= 144 \\
CP^2 &= 12
\end{align*}$
Kunci: B
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 19
Hitunglah: $\frac{(2008-2007)^2 + (2008 + 2007)^2}{2008^2 + 2007^2}$
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Pembahasan:
$\frac{(2008-2007)^2 + (2008 + 2007)^2}{2008^2 + 2007^2}$
$= \frac{2008^2 - 2.2008.2007 + 2007^2 + 2008^2 + 2.200.2007 + 2007^2}{2008^2 + 2007^2}$
$= \frac{2(2008^2 + 2007^2)}{2008^2 + 2007^2}$
=2
Kunci: B
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 20
Hitunglah: $\frac{657 \times 657 \times 657 - 368 \times 368 \times 368}{657 \times 657 + 657 \ times 368 + 368 \times 368}$
A. 273 B. 285 C. 289 D. 290 E. 292
Pembahasan:
Ingat: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
$\begin{align*} &\frac{657 \times 657 \times 657 - 368 \times 368 \times 368}{657 \times 657 + 657 \times 368 + 368 \times 368} \\
&= \frac{657^3 - 368^3}{657^2 + 657 \times 368 + 368^2} \\
&= \frac{(657 - 368)(657^2 + 657 \times 368 + 368^2)}{657^2 + 657 \times 368 + 368^2} \\
&= 657 - 368 \\
&= 289
\end{align*}$
Kunci: C
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 21
Perhatikan gambar!
A. 48 B. 49 C. 50 D. 51 E. 53
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi gambar berikut:
$\begin{align*} \frac{HC}{PF} &= \frac{HF}{PA} \\
\frac{y}{x} &= \frac{12}{z} \\
yz &= 12x
\end{align*}$
Perhatikan $\Delta BGE$ dan $\Delta EPA$ merupakan dua segitiga yang sebangun, maka berlaku:
$\begin{align*} \frac{BG}{EP} &= \frac{GE}{PA} \\
\frac{18-y}{12-x} &=\frac{12}{z} \\
18z - yz &=144 - 12x \\
18z - 12x &= 144 - 12x \\
18z &= 144 \\
z &= 8
\end{align*}$
$\begin{align*} Luas \ \Delta AEF &= \frac{1}{2}EF.AP \\
&= \frac{1}{2}.12.8 \\
&=48
\end{align*}$
Kunci: A
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 22
Perhatikan persegi panjang ABCD berukuran 9 cm x 5 cm.
A. 1,5 B. 2 C. 3 D. 3,5 E. 4
Pembahasan:
Berdasarkan info dan gambar maka kita peroleh:
EBCF yaitu persegi dengan ukuran 5 cm x 5 cm.
AEIJ yaitu persegi dengan ukuran 4 cm x 4 cm.
GFIH yaitu persegi dengan ukuran 1 cm x 1 cm.
maka DGHJ yaitu persegi panjang dengan ukuran 3 cm x 1 cm.
Luas DGHJ = 3 x 1 = 3 cm$^2$
Kunci: C
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 23
Lingkaran dengan sentra A berjari-jari 3 cm dan lingkaran dengan sentra berjari-jari 1 cm menyerupai terlihat pada gambar.
A. 11 cm
B. $2 \sqrt{2} + 8$ cm
C. $10 \sqrt{2}$ cm
D. $3 \sqrt{2} + 8$ cm
E. $3 \sqrt{3} + 9$ cm
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini:
IJ = EG = $\sqrt{(3 + 1)^2 - (3 - 1)^2} = 2\sqrt{3}$
dengan perbandingan segitiga maka kita peroleh CJ = $\sqrt{3}$
misalkan DF = DI = x
Pada segitiga DOC berlaku pythagoras:
$OD^2 + OC^2 = CD^2$
$(x + 3)^2 + (3 + 3\sqrt{3})^2 = (x + 3\sqrt{3})^2$
$x^2 + 6x + 9 + 9 + 18\sqrt{3} + 27 = x^2 + 6x \sqrt{3} + 27$
$6x \sqrt{3} - 6x = 18\sqrt{3} + 18$
$x = \frac{18 \sqrt{3} + 18}{6 \sqrt{3} - 6}$
$x = \frac{3 \sqrt{3} + 3}{ \sqrt{3} - 1} \times \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}$
$x = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{3 - 1}$
$x = 6 + 3\sqrt{3}$
$OD = OF + DF$
$OD = 3 + 6 + 3\sqrt{3}$
$3\sqrt{3} + 9$
Kunci: E
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 24
Perhatikan gambar di bawah!
Diketahui $\angle PST = 83^o$ dan $\angle PQT = 41$^o$. Garis PQ dan RS sejajar, demikian juga garis PS dan QT sejajar. Berapakah besar sudut x?
A. 120$^o$ B. 121$^o$ C. 122$^o$ D. 123$^o$ E. 124$^o$Pembahasan:
$\angle PQT$ dan $\angle SRQ$ yaitu sudut dalam sepihak.
$\begin{align*} \angle PQT + \angle SRQ &= 180^o \\
41^o + \angle SRQ &= 180^o \\
\angle SRQ &= 139^o
\end{align*}$
$\begin{align*} \angle SPQ &= \angle SRQ \\
\angle SPU + \angle UPQ &= 139^o \\
83^o + \angle UPQ &= 139^o \\
\angle UPQ &= 56^o
\end{align*}$
$\begin{align*} \angle PUR + \angle URQ + \angle PQT + \angle UPQ &= 360^o \\
x + 139^o + 41^o + 56^o &= 360^o \\
x &= 124^o
\end{align*}$
Kunci: E
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 25
Suatu kawasan dibatasi oleh persamaan: $y = 2x + 2$, $y = \frac{1}{2}x + 1$, dan $y = -\frac{3}{4}x + 7$. Berapakah nilai maksimum $y$ pada kawasan tersebut?
A. $\frac{62}{11}$ B. $\frac{40}{11}$ C. $\frac{60}{11}$ D. $\frac{50}{11}$ E. $\frac{20}{11}$
Pembahasan:
Untuk mennyelesaikan masalah ini, kita buat skema grafiknya terlebih dahulu untuk lebih memahaminya, perhatikan grafik berikut ini.
$y = 2x + 2 \leftrightarrow 2x - y = -2$ .... pers. (1)
$y = -\frac{3}{4}x + 7 \leftrightarrow 3x + 4y = 28$ .... pers. (2)
untuk mengeliminasi x, pers. (1) dikali 3 dan pers. (2) dikali 2,
$6x - 3y = -6$
$6x + 8y = 56$
--------------------- (-)
$-11y = -62$
$y = \frac{62}{11}$
Kunci: A
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 26
Bilangan segitiga yaitu bilangan yang berbentuk rumus $\frac{n(n + 1)}{2}$ dengan $n$ bilangan asli. Banyak bilangan segitiga yang kurang dari 100 yaitu ...
A. 8 B. 9 C. 10 D. 13 E. 15
Pembahasan:
$\frac{n(n + 1)}{2} \le 100$
$n^2 + n \le 13.14 \le 200$
$n = 13$
Kunci: D
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 27
Diketahui jumlah 101 bilangan bundar berurutan yaitu 101. Bilangan bundar terbesar di dalam barisan bilangan itu yaitu ....
A. 51 B. 56 C. 100 D. 101 E. 150
Pembahasan:
Misalkan suku pertama = $a$, alasannya yaitu berurutan maka $b$ = 1
$\begin{align*} S_n &= \frac{n}{2} \left [2a + (n - 1)b \right ] \\
101 &= \frac{101}{2} \left (2a + 100 \right ) \\
2 &= 2a + 100 \\
-98 &= 2a \\
-49 &= a
\end{align*}$
Bilangan bundar terbesar:
$\begin{align*} U_{101} &= a + 100b \\
&= -49 + 100 \\
&= 51
\end{align*}$
Kunci: A
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 28
Berapakah banyak bilangan 2 digit yang nilainya 7 kali jumlah digitnya?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Pembahasan:
Misal: ab yaitu bilangan 2 digit
ab = 7(a + b)
10a + b = 7a + 7b
3a = 6b
a = 2b
kemungkinan-kemungkinannya:
b = 1 $\rightarrow$ a = 2, maka bilangan itu yaitu 21
b = 2 $\rightarrow$ a = 4, maka bilangan itu yaitu 42
b = 3 $\rightarrow$ a = 6, maka bilangan itu yaitu 63
b = 4 $\rightarrow$ a = 8, maka bilangan itu yaitu 84
Jadi, seluruhnya ada 4.
Kunci: D
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 29
Pecahan $\frac{s}{t}$ yaitu kepingan sejati, kalau $s < t$ dan faktor komplotan terbesar yaitu 1. Jika $t$ mempunyai nilai mulai dari 2 hingga dengan 9 dan $s$ bilangan bundar nyata maka banyaknya kepingan sejati berbeda yang sanggup dibentuk yaitu ....
A. 26 B. 27 C. 28 D. 30 E. 36
Pembahasan:
Jika t = 2, maka s = 1, terdapat 1 kepingan sejati.
Jika t = 3, maka s = {1, 2}, terdapat 2 kepingan sejati.
Jika t = 4, maka s = {1, 3}, terdapat 2 kepingan sejati.
Jika t = 5, maka s = {1, 2, 3, 4}, terdapat 4 kepingan sejati.
Jika t = 6, maka s = {1, 3, 5}, terdapat 3 kepingan sejati.
Jika t = 7, maka s = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, terdapat 6 kepingan sejati.
Jika t = 8, maka s = {1, 3, 5, 7}, terdapat 4 kepingan sejati.
Jika t = 9, maka s = {1, 2, 4, 5, 7, 8}, terdapat 6 kepingan sejati.
Seluruhnya = 1 + 2 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 6 = 28 kepingan sejati.
Kunci: C
Soal LOSPI Olimpiade Guru No. 30
Bentuk sederhana dari:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ... + \frac{1}{2.005(2.005 + 1)}$
yaitu ....
A. $\frac{2004}{2005}$
B. $\frac{2003}{2005}$
C. $\frac{2005}{2006}$
D. $\frac{2003}{2006}$
E. $\frac{2004}{2006}$
Pembahasan:
$\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} + \frac{1}{20} + ... + \frac{1}{2.005(2.005 + 1)}$
=$\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{2004.2005}+ \frac{1}{2005(2006)}$
= $\left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + ...+ \left( \frac{1}{2004} - \frac{1}{2005} \right) + \left( \frac{1}{2005} - \frac{1}{2006} \right)$
=$1- \frac{1}{2006}$
=$\frac{2005}{2006}$
Kunci: C
Akhirnya selesai. Semoga bermanfaat bagi kita semua.
Baca juga: Soal dan Pembahasan Matematika Olimpiade Guru Sekolah Menengan Atas 2018 LOSPI (No. 1 - 15)
Sumber http://www.catatanmatematika.com
