Pada hari ini disela-sela kesibukan saya, pagi hari sampai siang hari di sekolah mendidik bawah umur bangsa yang dipercayakan oleh orang bau tanah kepada sekolah, sesudah itu lanjut lagi menjajakan ILMU matematika yang alakadarnya di bimbingan berguru sampai magrib menjelang malam hari. Beberapa jam quality time bersama isteri dan si buah hati. Saya manfaatkan waktu beberapa menit untuk membahas dan mengetik Pembahasan OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 (Kemampuan Lanjut). Oh iya, pada postingan ini juga saya sediakan file soal dalam bentuk pdf yang sanggup di d0wnl0ad sepuasnya.
Baca juga: Soal dan Kunci Jawaban OSK Sekolah Menengan Atas Tahun 2019 Semua Bidang Studi.
Kemampuan Lanjut
Pada bab ini setiap tanggapan yang benar bernilai 4 poin, tanggapan kosong bernilai nol ddan tanggapan salah bernilai -1 (minus satu).
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 1
Sisa pembagian ${{1111}^{2019}}$ oleh 11111 ialah …
Pembahasan:
${{1111}^{2019}}(\bmod 11111)$
= ${{({{1111}^{2}})}^{1009}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{(1234321)}^{1009}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{(1234321(\bmod 11111))}^{1009}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{({{10}^{3}})}^{1009}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{(10)}^{3027}}\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{({{10}^{5}})}^{605}}\times 100\times 1111(\bmod 11111)$
= ${{({{10}^{5}}(\bmod 11111))}^{605}}\times 111100(\bmod 11111)$
= ${{(1)}^{605}}\times 111100(\bmod 11111)$
= 11101
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 2
Diberikan segitiga ABC dengan D pertengahan AC, E pertengahan BD, dan H merupakan pencerminan dari A terhadap E. Jika F perpotongan antara AH dengan BH, maka nilai $\frac{AF}{FH}$ sama dengan …
Pembahasan:
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{BF}{FC}.\frac{CA}{AD}.\frac{DE}{EB}=1$
$\frac{BF}{FC}.\frac{2\times AD}{AD}.\frac{EB}{EB}=1$
$\frac{2BF}{FC}=1$
$FC=2BF$ atau $BC=3\times BF$
Berdasarkan Dalil Menelaus:
$\frac{AD}{DC}.\frac{CB}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{DC}{DC}.\frac{3\times BF}{BF}.\frac{FE}{EA}=1$
$\frac{3FE}{EA}=1$
$AE=3\times EF$
$\frac{AF}{FH}=\frac{AE+EF}{EH-EF}$
= $\frac{AE+EF}{AE-EF}$
= $\frac{3\times EF+EF}{3\times EF-EF}$
= $\frac{4\times EF}{2\times EF}$
= 2
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 3
Banyaknya bilangan delapan digit yang setiap digitnya ialah 1 atau 2 tetapi tidak memuat tiga digit 1 berurutan ialah …
Pembahasan:
Pembahasan:
Kemungkinan I:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, terdapat 1 bilangan.
Kemungkinan II:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 2, 2,2, 1, terdapat $\frac{8!}{7!}$ = 8 bilangan.
Kemungkinan III:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, terdapat $\frac{8!}{6!2!}$ = 28 bilangan.
Kemungkinan IV:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, tetapi dihentikan ada 111, terdapat $\frac{8!}{5!3!}-\frac{6!}{5!}=56-6$ = 50 bilangan.
Kemungkinan V:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1.
x2x2x2x2x
selanjutnya kita menghitung banyaknya cara menggantikan nilai x dengan angka 1 dan 11.
x sanggup digantikan dengan 1, 1, 1, 1, * banyaknya susunan $\frac{5!}{4!}=5$.
x sanggup digantikan dengan 11, 1, 1, *, * banyaknya susunan $\frac{5!}{2!2!}=30$ bilangan.
x sanggup digantikan dengan 11, 11, *, *, * banyaknya susunan $\frac{5!}{2!3!}=10$ bilangan.
Catatan: * bertanda tidak diisi
Total kemungkinan V = 5 + 30 + 10 = 45 bilangan.
Kemungkinan VI:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1.
$=\frac{8!}{3!5!}-\frac{5!}{3!}-\frac{6!}{3!2!}=56-10-30$ = 16 bilangan.
Kemungkinan VII:
Bilangan yang terdiri dari: 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, yaitu: 11211211 terdapat 1 bilangan.
Makara banyaknya susunan angka adalah: 1 + 8 + 28 + 50 + 45 + 16 + 1 = 149 bilangan.
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 4
Misalkan $f(x)=1+\frac{90}{x}$. Nilai terbesar $x$ yang memenuhi $=x$ ialah …
Pembahasan:
$\underbrace{f(f...(f(x)...)}_{2019kali}=x$
$\underbrace{(f\circ f\circ f\circ ...\circ f)(x)}_{2019kali}=x$
$\underbrace{(f\circ f\circ f\circ ...\circ f}_{2018kali}\left( 1+\frac{90}{x} \right)=x$
$\underbrace{(f\circ f\circ f\circ ...\circ f)(x)}_{2018kali}=\frac{90}{x-1}$
$x=\frac{90}{x-1}$
${{x}^{2}}-x-90=0$
$(x-10)(x+9)=0$
$x=10$ atau $x=-9$
Jadi, nilai terbesar $x$ ialah 10.
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 5
Misalkan ABCD ialah persegi dengan panjang sisi 4. Lingkaran-lingkaran $x$, $y$, $z$ dengan jari-jari sama memiliki sentra di dalam persegi sedemikian sehingga lingkaran $x$ menyinggung sisi AB dan AD, lingkaran $y$ menyinggung sisi AB dan BC, serta lingkaran $z$ menyinggung sisi DC, lingkaran $x$, dan lingkaran $y$. Diketahui jari-jari lingkaran $x$ sanggup dinyatakan dengan $n-\sqrt{m}$ dengan $m$ dan $n$ bilangan bundar positif. Nilai $m$ = …
Pembahasan:
Perhatikan bagan gambar berikut ini!
Misalkan jari-jari lingkaran x, y, dan z ialah $r=n-\sqrt{m}$, maka:JL = 4 – 2r
JM = $\frac{JL}{2}=2-r$
KM = 4 – 2r
JK = 2r
Pada segitiga JMK siku-siku di M berlaku teorema phytagoras:
$J{{K}^{2}}=J{{M}^{2}}+K{{M}^{2}}$
${{(2r)}^{2}}={{(2-r)}^{2}}+{{(4-2r)}^{2}}$
$4{{r}^{2}}=4-4r+{{r}^{2}}+16-16r+4{{r}^{2}}$
${{r}^{2}}-20r+20=0$
$r=\frac{20\pm \sqrt{{{(-20)}^{2}}-4.1.20}}{2.1}$
$r=\frac{20\pm \sqrt{320}}{2}$
$r=\frac{20\pm 8\sqrt{5}}{2}$
$r=10-4\sqrt{5}$
$n-\sqrt{m}=10-\sqrt{80}$
m = 80
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 6
Semua bilangan bundar sehingga ${{n}^{4}}+16{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}+56n$ merupakan bilangan kuadrat tak nol ialah ….
Pembahasan:
${{n}^{4}}+16{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}+56n$
= $n({{n}^{3}}+16{{n}^{2}}+71n+56)$
= $n(n+1)({{n}^{2}}+15n+56)$
= $n(n+1)(n+7)(n+8)$
= $n(n+8)(n+1)(n+7)$
= $({{n}^{2}}+8n)({{n}^{2}}+8n+7)$ merupakan bilangan kuadrat.
Misalkan: ${{n}^{2}}+8n=x$ maka:
$({{n}^{2}}+8n)({{n}^{2}}+8n+7)$ = $x(x+7)$ merupakan bilangan kuadrat, kita peroleh $x=9$ atau $x=-16$.
*) Untuk $x=9$ maka:
${{n}^{2}}+8n=x$
${{n}^{2}}+8n=9$
${{n}^{2}}+8n-9=0$
$(n+9)(n-1)=0$
$n=-9$ atau $n=1$
*) Untuk $x=-16$ maka:
${{n}^{2}}+8n=x$
${{n}^{2}}+8n=-16$
${{n}^{2}}+8n+16=0$
$(n+4)(n+4)=0$
$n=-4$
Jadi, semua $n$ yang memenuhi ialah {-9, -4, 1} sebanyak 3.
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 7
Diberikan jajar genjang ABCD dengan $\angle ABC={{105}^{o}}$. Titik M berada di dalam jajar genjang sehingga segitiga BMC sama sisi dan $\angle CMD={{135}^{o}}$. Jika K pertengahan sisi AB, maka besarnya BKC sama dengan … derajat.
Pembahasan:
JM = $\frac{JL}{2}=2-r$
KM = 4 – 2r
JK = 2r
Pada segitiga JMK siku-siku di M berlaku teorema phytagoras:
$J{{K}^{2}}=J{{M}^{2}}+K{{M}^{2}}$
${{(2r)}^{2}}={{(2-r)}^{2}}+{{(4-2r)}^{2}}$
$4{{r}^{2}}=4-4r+{{r}^{2}}+16-16r+4{{r}^{2}}$
${{r}^{2}}-20r+20=0$
$r=\frac{20\pm \sqrt{{{(-20)}^{2}}-4.1.20}}{2.1}$
$r=\frac{20\pm \sqrt{320}}{2}$
$r=\frac{20\pm 8\sqrt{5}}{2}$
$r=10-4\sqrt{5}$
$n-\sqrt{m}=10-\sqrt{80}$
m = 80
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 6
Semua bilangan bundar sehingga ${{n}^{4}}+16{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}+56n$ merupakan bilangan kuadrat tak nol ialah ….
Pembahasan:
${{n}^{4}}+16{{n}^{3}}+71{{n}^{2}}+56n$
= $n({{n}^{3}}+16{{n}^{2}}+71n+56)$
= $n(n+1)({{n}^{2}}+15n+56)$
= $n(n+1)(n+7)(n+8)$
= $n(n+8)(n+1)(n+7)$
= $({{n}^{2}}+8n)({{n}^{2}}+8n+7)$ merupakan bilangan kuadrat.
Misalkan: ${{n}^{2}}+8n=x$ maka:
$({{n}^{2}}+8n)({{n}^{2}}+8n+7)$ = $x(x+7)$ merupakan bilangan kuadrat, kita peroleh $x=9$ atau $x=-16$.
*) Untuk $x=9$ maka:
${{n}^{2}}+8n=x$
${{n}^{2}}+8n=9$
${{n}^{2}}+8n-9=0$
$(n+9)(n-1)=0$
$n=-9$ atau $n=1$
*) Untuk $x=-16$ maka:
${{n}^{2}}+8n=x$
${{n}^{2}}+8n=-16$
${{n}^{2}}+8n+16=0$
$(n+4)(n+4)=0$
$n=-4$
Jadi, semua $n$ yang memenuhi ialah {-9, -4, 1} sebanyak 3.
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 7
Diberikan jajar genjang ABCD dengan $\angle ABC={{105}^{o}}$. Titik M berada di dalam jajar genjang sehingga segitiga BMC sama sisi dan $\angle CMD={{135}^{o}}$. Jika K pertengahan sisi AB, maka besarnya BKC sama dengan … derajat.
Pembahasan:
Segitiga BMC ialah segitiga sama sisi, maka:BM = BC = CM = p
Titik K pertengahan sisi AB, maka:
AK = BK = q dan CD = 2q
Perhatikan segitiga CMD, berlaku hukum sinus:
$\frac{CM}{\sin {{30}^{o}}}=\frac{CD}{\sin {{135}^{o}}}$
$\frac{p}{\frac{1}{2}}=\frac{2q}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\Leftrightarrow p=q\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga CBK, berlaku hukum cosinus:
$K{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{K}^{2}}-2.BC.BK.\cos {{105}^{o}}$
$K{{C}^{2}}={{p}^{2}}+{{q}^{2}}-2pq.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$
$K{{C}^{2}}={{\left( q\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{q}^{2}}-2.q\sqrt{2}.q.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$
$K{{C}^{2}}=2{{q}^{2}}+{{q}^{2}}-{{q}^{2}}+{{q}^{2}}\sqrt{3}$
$K{{C}^{2}}=2{{q}^{2}}+{{q}^{2}}\sqrt{3}$
$K{{C}^{2}}={{q}^{2}}\left( 2+\sqrt{3} \right)$
$KC=q\sqrt{2+\sqrt{3}}$
$KC=q\sqrt{2+\frac{2}{2}\sqrt{3}}$
$KC=q\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$
$KC=q.\frac{\sqrt{(3+1)+2\sqrt{3.1}}}{\sqrt{2}}$
$KC=\frac{q\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\sqrt{2}}$
$KC=\frac{q\sqrt{2}.\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
$KC=\frac{p\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
Luas segitiga BKC = $\frac{1}{4}\times $ Luas ABCD
$\frac{1}{2}.BK.KC.\sin \angle BKC$ = $\frac{1}{4}.BC.AC.\sin {{105}^{o}}$
$\frac{1}{2}.q.KC.\sin \angle BKC$ = $\frac{1}{4}.p.2q.\sin {{105}^{o}}$
$\sin \angle BKC=\frac{p.\sin {{105}^{o}}}{KC}$
$\sin \angle BKC=\frac{p.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}{\frac{p\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}}$
$\sin \angle BKC=\frac{\frac{1}{4}\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\frac{\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}}$
$\sin \angle BKC=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\angle BKC={{45}^{o}}$
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 8
Bilangan real terbesar M sehingga untuk setiap $x$ positif berlaku $(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)\ge Mx$ ialah …
Pembahasan:
$(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)\ge Mx$
${{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165\ge Mx$
Berdasarkan $AM\ge GM$ untuk setiap variabel
$\frac{{{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165}{1+20+122+256+165}\ge \sqrt[576]{{{x}^{576}}}$
$\frac{{{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165}{576}\ge x$
${{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165\ge 576x\ge Mx$
$Mx\le 576x\Leftrightarrow M\le 576$
Jadi, bilangan real terbesar M ialah 576.
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 9
Banyaknya tripel bilangan bundar $(m,n,p)$ dengan $p$ prima yang memenuhi ${{p}^{2}}{{n}^{2}}-3mn=21p-{{m}^{2}}$ ialah …
Pembahasan:
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 10
Suatu lomba matematika diikuti oleh 2019 peserta. Untuk setiap dua penerima lomba keduanya saling mengenal atau saling tidak mengenal. Diketahui bahwa tidak ada tiga orang penerima lomba yang ketiganya saling mengenal satu sama lain. Misalkan $m$ ialah bilangan orisinil sehingga:
* Masing-masing penerima mengenal paling banyak $m$ penerima lainnya.
* Untuk setiap bilangan orisinil k dengan 1 < k < m, minimal terdapat satu orang penerima yang mengenal sempurna k penerima lainnya.
Nilai m terbesar yang mungkin ialah …
Pembahasan:
Jika A dan B saling mengenal, A dan C saling mengenal, maka B dan C dihentikan saling mengenal.
Dari syarat di atas, maka akan terdapat $\frac{1}{3}$ bab dari penerima yang tidak saling mengenal yaitu $\frac{1}{3}.2019=673$ orang tidak saling mengenal.
Disebutkan bahwa masing-masing penerima mengenal paling banyak m penerima yang lainnya yaitu 2019 – 673 = 1346 orang.
Titik K pertengahan sisi AB, maka:
AK = BK = q dan CD = 2q
Perhatikan segitiga CMD, berlaku hukum sinus:
$\frac{CM}{\sin {{30}^{o}}}=\frac{CD}{\sin {{135}^{o}}}$
$\frac{p}{\frac{1}{2}}=\frac{2q}{\frac{1}{2}\sqrt{2}}\Leftrightarrow p=q\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga CBK, berlaku hukum cosinus:
$K{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}+B{{K}^{2}}-2.BC.BK.\cos {{105}^{o}}$
$K{{C}^{2}}={{p}^{2}}+{{q}^{2}}-2pq.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$
$K{{C}^{2}}={{\left( q\sqrt{2} \right)}^{2}}+{{q}^{2}}-2.q\sqrt{2}.q.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}-\sqrt{6} \right)$
$K{{C}^{2}}=2{{q}^{2}}+{{q}^{2}}-{{q}^{2}}+{{q}^{2}}\sqrt{3}$
$K{{C}^{2}}=2{{q}^{2}}+{{q}^{2}}\sqrt{3}$
$K{{C}^{2}}={{q}^{2}}\left( 2+\sqrt{3} \right)$
$KC=q\sqrt{2+\sqrt{3}}$
$KC=q\sqrt{2+\frac{2}{2}\sqrt{3}}$
$KC=q\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}}{2}}$
$KC=q.\frac{\sqrt{(3+1)+2\sqrt{3.1}}}{\sqrt{2}}$
$KC=\frac{q\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\sqrt{2}}$
$KC=\frac{q\sqrt{2}.\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
$KC=\frac{p\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
Luas segitiga BKC = $\frac{1}{4}\times $ Luas ABCD
$\frac{1}{2}.BK.KC.\sin \angle BKC$ = $\frac{1}{4}.BC.AC.\sin {{105}^{o}}$
$\frac{1}{2}.q.KC.\sin \angle BKC$ = $\frac{1}{4}.p.2q.\sin {{105}^{o}}$
$\sin \angle BKC=\frac{p.\sin {{105}^{o}}}{KC}$
$\sin \angle BKC=\frac{p.\frac{1}{4}\left( \sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}{\frac{p\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}}$
$\sin \angle BKC=\frac{\frac{1}{4}\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\frac{\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}}$
$\sin \angle BKC=\frac{1}{2}\sqrt{2}$
$\angle BKC={{45}^{o}}$
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 8
Bilangan real terbesar M sehingga untuk setiap $x$ positif berlaku $(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)\ge Mx$ ialah …
Pembahasan:
$(x+1)(x+3)(x+5)(x+11)\ge Mx$
${{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165\ge Mx$
Berdasarkan $AM\ge GM$ untuk setiap variabel
$\frac{{{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165}{1+20+122+256+165}\ge \sqrt[576]{{{x}^{576}}}$
$\frac{{{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165}{576}\ge x$
${{x}^{4}}+20{{x}^{3}}+122{{x}^{2}}+268x+165\ge 576x\ge Mx$
$Mx\le 576x\Leftrightarrow M\le 576$
Jadi, bilangan real terbesar M ialah 576.
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 9
Banyaknya tripel bilangan bundar $(m,n,p)$ dengan $p$ prima yang memenuhi ${{p}^{2}}{{n}^{2}}-3mn=21p-{{m}^{2}}$ ialah …
Pembahasan:
OSK Matematika Sekolah Menengan Atas 2019 No. 10
Suatu lomba matematika diikuti oleh 2019 peserta. Untuk setiap dua penerima lomba keduanya saling mengenal atau saling tidak mengenal. Diketahui bahwa tidak ada tiga orang penerima lomba yang ketiganya saling mengenal satu sama lain. Misalkan $m$ ialah bilangan orisinil sehingga:
* Masing-masing penerima mengenal paling banyak $m$ penerima lainnya.
* Untuk setiap bilangan orisinil k dengan 1 < k < m, minimal terdapat satu orang penerima yang mengenal sempurna k penerima lainnya.
Nilai m terbesar yang mungkin ialah …
Pembahasan:
Jika A dan B saling mengenal, A dan C saling mengenal, maka B dan C dihentikan saling mengenal.
Dari syarat di atas, maka akan terdapat $\frac{1}{3}$ bab dari penerima yang tidak saling mengenal yaitu $\frac{1}{3}.2019=673$ orang tidak saling mengenal.
Disebutkan bahwa masing-masing penerima mengenal paling banyak m penerima yang lainnya yaitu 2019 – 673 = 1346 orang.
Artikel Terkait: |
Sumber http://www.catatanmatematika.com