Postingan berikut ini yaitu lanjutan dari postingan sebelumnya. Postingan ini berisi Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UTUL-UGM 2018 No.11-20 Kode 585. Harapan saya kiranya postingan ini bermanfaat dan kiranya ada pembahasan yang kurang sempurna atau kurang dimengerti bolehlah kita berdiskusi bersama melalui kolom komentar di bawah postingan ini. Baiklah, eksklusif saja kita mulai belajarnya ya....!
Matematika Dassar UM-UGM 2018 No. 11
Diketahui P, Q, dan R yaitu sudut-sudut suatu segitiga. Jika Q lancip dan $\sqrt{2}{{\tan }^{2}}Q-\tan Q=0$, maka $\sin (P+R)$ = …
A. $-\frac{1}{3}\sqrt{3}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}\sqrt{3}$
D. $\frac{1}{2}$
E. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Pembahasan:
$\sqrt{2}{{\tan }^{2}}Q-\tan Q=0$
$\tan Q(\sqrt{2}\tan Q-1)=0$
$\tan Q=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{de}{sa}$
$mi=\sqrt{d{{e}^{2}}+s{{a}^{2}}}$
$mi=\sqrt{{{1}^{2}}+{{\sqrt{2}}^{2}}}=\sqrt{3}$
Pada segitiga PQR berlaku:
$\angle P+\angle Q+\angle R={{180}^{o}}$
$\angle P+\angle R={{180}^{o}}-\angle Q$
$\sin (P+R)=\sin ({{180}^{o}}-Q)$
$\sin (P+R)=\sin Q=\frac{de}{mi}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\sin (P+R)=\frac{1}{3}\sqrt{3}$
Kunci: C
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 12
Suatu kotak berisi 4 koin (mata uang) seimbang dan 6 koin tidak seimbang. Ketika koin dilempar, peluang menerima gambar yaitu 0,5. Sedangkan untuk mata uang yang tidak seimbang peluang menerima gambar yaitu 0,8. Satu koin diambil secara acak dari kotak tersebut kemudian dilempar. Peluang menerima gambar yaitu …
A. 0,6 B. 0,64 C. 0,68 D. 0,72 E. 0,76
Pembahasan:
Peluang melempar koin seimbang yaitu 4/10 = 2/5
Peluang melempar koin tidak seimbang yaitu 6/10 = 3/5
Peluang melempar koin seimbang dan menerima gambar yaitu = 2/5 x 0,5 = 0,2
Peluang melempar koin tidak seimbang dan menerima gambar yaitu = 3/5 x 0,8 = 0,48
Peluang seluruhnya yaitu 0,2 + 0,48 = 0,68
Kunci: C
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 13
Dalam suatu grup yang terdiri dari 5 orang, jumlah umur setiap 4 orang diantaranya yaitu 124, 128, 130, 136, 142. Orang termuda dari 5 orang tersebut yaitu berumur …
A. 18 B. 21 C. 23 D. 25 E. 34
Pembahasan:
Misal umur keempat orang itu adalah: a, b, c, d, e dimana a < b < c < d < e
a + b + c + d = 124
a + b + c + e = 128
a + b + d + e = 130
a + c + d + e = 136
b + c + d + e = 142
----------------------- (+)
4a + 4b + 4c + 4d + 4e = 660
a + (b + c + d + e) = 165
a + 142 = 165
a = 165 – 142
a = 23,
Kunci: C
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 14
Domain fungsi $f(x)=\frac{2x+1+a}{x+a}$ yaitu $\{x\in R,x\ne -a\}$. Jika domain ${{f}^{-1}}$ sama dengan $f$, maka $a$ = …
A. 3 B. 2 C. 1 D. -1 E. -2
Pembahasan:
$f(x)=\frac{2x+1+a}{x+a}$
${{f}^{-1}}(x)=\frac{-ax+1+a}{x-2}$
$D{{f}^{-1}}=\{x\in R,x\ne 2\}$
$x\ne -a=x\ne 2\Leftrightarrow a=-2$
Kunci: E
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 15
Jika $\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{n}}-{{3}^{n}}}{{{x}^{\frac{n}{3}}}-{{3}^{\frac{n}{3}}}} \right)=3\sqrt[3]{81}$, maka $n$ = ….
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
Pembahasan:
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{{{x}^{n}}-{{3}^{n}}}{{{x}^{\frac{n}{3}}}-{{3}^{\frac{n}{3}}}} \right)=3\sqrt[3]{81}$
$\underset{x\to 3}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{n{{x}^{n-1}}}{\frac{n}{3}{{x}^{\frac{n}{3}-1}}} \right)=3\sqrt[3]{81}$
$\frac{n{{.3}^{n-1}}}{\frac{n}{3}{{.3}^{\frac{n}{3}-1}}}=3\sqrt[3]{81}$
$\frac{{{3}^{n-1}}}{{{3}^{\frac{n}{3}-1-1}}}={{3.3}^{\frac{4}{3}}}$
${{3}^{n-1-\frac{n}{3}+1+1}}={{3}^{1+\frac{4}{3}}}$
${{3}^{\frac{2n}{3}+1}}={{3}^{1+\frac{4}{3}}}$
$\frac{2n}{3}+1=1+\frac{4}{3}$
$\frac{2n}{3}=\frac{4}{3}$
$2n=4\Leftrightarrow n=2$
Kunci: B
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 16
Jika kurva $y={{x}^{2}}+ax+b$ dan $y={{x}^{3}}+(c+1)x+a$ mempunyai garis singgung yang sama di titik (1,6), maka a + b + c = ….
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
Pembahasan:
${{y}_{1}}={{x}^{2}}+ax+b$ dan ${{y}_{2}}={{x}^{3}}+(c+1)x+a$ melalui titik singgung (1,6)
${{y}_{1}}={{1}^{2}}+a.1+b=6$
$a+b=5$…. (1)
${{x}^{2}}+ax+b={{x}^{3}}+(c+1)x+a$
${{1}^{2}}+a.1+b={{1}^{3}}+(c+1).1+a$
$b=c+1$ …. (2)
Mempunyai garis singgung yang sama maka:
$y_{1}^{'}=y_{2}^{'}$
$2x+a=3{{x}^{2}}+(c+1)$ di titik (1,6) maka:
$2.1+a={{3.1}^{2}}+(c+1)$
$a=c+2$ .…(3)
Jumlahkan (2) + (3) diperoleh:
$a+b=2c+3$
$5=2c+3\Leftrightarrow c=1$
$a+b+c=5+1=6$
Kunci: E
Jika kurva $y={{x}^{2}}+ax+b$ dan $y={{x}^{3}}+(c+1)x+a$ mempunyai garis singgung yang sama di titik (1,6), maka a + b + c = ….
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
Pembahasan:
${{y}_{1}}={{x}^{2}}+ax+b$ dan ${{y}_{2}}={{x}^{3}}+(c+1)x+a$ melalui titik singgung (1,6)
${{y}_{1}}={{1}^{2}}+a.1+b=6$
$a+b=5$…. (1)
${{x}^{2}}+ax+b={{x}^{3}}+(c+1)x+a$
${{1}^{2}}+a.1+b={{1}^{3}}+(c+1).1+a$
$b=c+1$ …. (2)
Mempunyai garis singgung yang sama maka:
$y_{1}^{'}=y_{2}^{'}$
$2x+a=3{{x}^{2}}+(c+1)$ di titik (1,6) maka:
$2.1+a={{3.1}^{2}}+(c+1)$
$a=c+2$ .…(3)
Jumlahkan (2) + (3) diperoleh:
$a+b=2c+3$
$5=2c+3\Leftrightarrow c=1$
$a+b+c=5+1=6$
Kunci: E
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 17
Fungsi $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{x+1}$ dengan $x\ne -1$ mencapai …
A. maksimum di x = 3
B. maksimum di x = 1
C. maksimum di x = -3
D. minimum di x = 0
E. minimum di x = -2
Pembahasan:
$f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{x+1}=\frac{u}{v}$
$f'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{(2x+2)(x+1)-1({{x}^{2}}+2x+5)}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{2{{x}^{2}}+4x+2-{{x}^{2}}-2x-5}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=0$
$\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}=0$
$\frac{(x+3)(x-1)}{{{(x+1)}^{2}}}=0$
Nilai x pembuat nol yaitu x = -3 dan x = 1
Diperoleh: maksimum di x = -3
Kunci: C
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 18
Diketahui $P=\left( \begin{matrix} \cos x & 2\cos x \\ \sin x & \tan x \\ \end{matrix} \right)$ dan $0\le x\le \pi $. Jika |P| menyatakan determinan P, maka banyaknya x yang memenuhi |P| = 0 yaitu …
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
Pembahasan:
$P=\left( \begin{matrix} \cos x & 2\cos x \\ \sin x & \tan x \\ \end{matrix} \right)$
$|P|=0$
$\cos x.\tan x-2\sin x\cos x=0$
$\cos x.\frac{\sin x}{\cos x}-2\sin x\cos x=0$
$\sin x-2\sin x\cos x=0$
$\sin x(1-2\cos x)=0$
$\sin x=0$ atau $\cos x=\frac{1}{2}$
Untuk $\sin x=0$ maka $x={{0}^{o}},{{180}^{o}}$
Untuk $\cos x=\frac{1}{2}$ maka $x={{60}^{o}}$
Makara nilai $x$ yang memenuhi ada 3.
Kunci: B
Fungsi $f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{x+1}$ dengan $x\ne -1$ mencapai …
A. maksimum di x = 3
B. maksimum di x = 1
C. maksimum di x = -3
D. minimum di x = 0
E. minimum di x = -2
Pembahasan:
$f(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x+5}{x+1}=\frac{u}{v}$
$f'(x)=\frac{u'.v-v'.u}{{{v}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{(2x+2)(x+1)-1({{x}^{2}}+2x+5)}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{2{{x}^{2}}+4x+2-{{x}^{2}}-2x-5}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}$
$f'(x)=0$
$\frac{{{x}^{2}}+2x-3}{{{(x+1)}^{2}}}=0$
$\frac{(x+3)(x-1)}{{{(x+1)}^{2}}}=0$
Nilai x pembuat nol yaitu x = -3 dan x = 1
Kunci: C
Diketahui $P=\left( \begin{matrix} \cos x & 2\cos x \\ \sin x & \tan x \\ \end{matrix} \right)$ dan $0\le x\le \pi $. Jika |P| menyatakan determinan P, maka banyaknya x yang memenuhi |P| = 0 yaitu …
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 E. 0
Pembahasan:
$P=\left( \begin{matrix} \cos x & 2\cos x \\ \sin x & \tan x \\ \end{matrix} \right)$
$|P|=0$
$\cos x.\tan x-2\sin x\cos x=0$
$\cos x.\frac{\sin x}{\cos x}-2\sin x\cos x=0$
$\sin x-2\sin x\cos x=0$
$\sin x(1-2\cos x)=0$
$\sin x=0$ atau $\cos x=\frac{1}{2}$
Untuk $\sin x=0$ maka $x={{0}^{o}},{{180}^{o}}$
Untuk $\cos x=\frac{1}{2}$ maka $x={{60}^{o}}$
Makara nilai $x$ yang memenuhi ada 3.
Kunci: B
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 19
Jika ${}^{2}\log ab=-1$ dan $\frac{{}^{2}\log a}{{}^{b}\log 2}=-6$ maka persamaan kuadrat yang mempunyai akar-akar $\frac{8}{3}(a+b)-9$ dan $\frac{a+b}{3{{a}^{3}}{{b}^{3}}}$ yaitu ….
A. ${{x}^{2}}+13x-22=0$
B. ${{x}^{2}}-13x+22=0$
C. ${{x}^{2}}-13x-22=0$
D. ${{x}^{2}}+11x-22=0$
E. ${{x}^{2}}-11x+22=0$
Pembahasan:
${}^{2}\log ab=-1\Leftrightarrow ab={{2}^{-1}}\Leftrightarrow b={{(2a)}^{-1}}$
$\frac{{}^{2}\log a}{{}^{b}\log 2}=-6$
${}^{2}\log a.{}^{2}\log b=-6$
${}^{2}\log a.{}^{2}\log {{(2a)}^{-1}}=-6$
${}^{2}\log a.\{-{}^{2}\log (2a)\}=-6$
${}^{2}\log a.(-{}^{2}\log 2-{}^{2}loga)=-6$
${}^{2}\log a.(-1-{}^{2}loga)=-6$
$-{{({}^{2}\log a)}^{2}}-{}^{2}\log a+6=0$
${{({}^{2}\log a)}^{2}}+{}^{2}\log a-6=0$
$({}^{2}\log a+3)({}^{2}\log a-2)=0$
${}^{2}\log a=-3\Leftrightarrow a={{2}^{-3}}=\frac{1}{8}$
${}^{2}\log a=2\Leftrightarrow a={{2}^{2}}=4$
Diperoleh: $a=4$, $b=\frac{1}{8}$
$\frac{8}{3}(a+b)-9=\frac{8}{3}(4+\frac{1}{8})-9=2$
$\frac{a+b}{3{{a}^{3}}{{b}^{3}}}=\frac{4+\frac{1}{8}}{{{3.4}^{3}}{{\left( \frac{1}{8} \right)}^{3}}}=11$
Persamaan kuadrat:
$(x-2)(x-11)=0$
${{x}^{2}}-13x+22=0$
Kunci: B
Matematika Dasar UM-UGM 2018 No. 20
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-{{b}^{2}}x+c=0$ yaitu $q$ dan $3q$. Jika 1, $b$, $c-4$ membentuk tiga suku berurutan dari barisan geometri, maka $\frac{-{{b}^{2}}+c}{q}$ = …
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
Pembahasan:
$x^2-b^2x+c=0$ akar-akarnya $q$ dan $3q$
$q + 3q = b^2 \Rightarrow 4q = b^2$
$q \times 3q = c \Rightarrow 3q^2 = c$
Barisan Geometri:
1, $b$, $c-4$
$U_2^2 = U_1.U_3$
$b^2 = c-4 \Rightarrow -b^2 + c = 4$
$4q=3q^2-4$
$3q^2-4q-4=0$
$(3q+2)(q-2)=0$
$q=-\frac{2}{3}$ atau $q=2$
$q=-\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{-b^2+c}{q} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$
$q=2 \Rightarrow \frac{-b^2+c}{q} = \frac{4}{2} = 2$
Kunci: E
Baca juga:
Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.1-10
Diketahui akar-akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-{{b}^{2}}x+c=0$ yaitu $q$ dan $3q$. Jika 1, $b$, $c-4$ membentuk tiga suku berurutan dari barisan geometri, maka $\frac{-{{b}^{2}}+c}{q}$ = …
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
Pembahasan:
$x^2-b^2x+c=0$ akar-akarnya $q$ dan $3q$
$q + 3q = b^2 \Rightarrow 4q = b^2$
$q \times 3q = c \Rightarrow 3q^2 = c$
Barisan Geometri:
1, $b$, $c-4$
$U_2^2 = U_1.U_3$
$b^2 = c-4 \Rightarrow -b^2 + c = 4$
$4q=3q^2-4$
$3q^2-4q-4=0$
$(3q+2)(q-2)=0$
$q=-\frac{2}{3}$ atau $q=2$
$q=-\frac{2}{3} \Rightarrow \frac{-b^2+c}{q} = \frac{4}{-\frac{2}{3}} = -6$
$q=2 \Rightarrow \frac{-b^2+c}{q} = \frac{4}{2} = 2$
Kunci: E
Baca juga:
Soal dan Pembahasan Matematika Dasar UM-UGM 2018 No.1-10