Jarak Titik ke Garis
Jarak titik A ke garis g yaitu ruas garis terpendek yang menghubungkan titik A ke garis g.
Ruas garis terpendek tersebut diperoleh dengan menarik garis dari titik A tegak lurus terhadap garis g menyerupai gambar berikut:
Soal dan Pembahasan
No. 1 (Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk AB = 3 cm dan TA = 6 cm. Tentukan jarak titik B dan rusuk TD.Pembahasan:
Lukis garis dari titik B yang tegak lurus dengan DT (perhatikan gambar).
Dari gambar diperoleh bahwa jarak titik B ke garis DT yaitu panjang ruas garis BE. Untuk itu perhatikan segitiga BDT.
Kemudian lukis garis tinggi dari titik T ke garis BD (seperti gambar di atas). TB = TD = 6 cm, maka garis tinggi TO membagi dua sama panjang garis BD (OB = OD).
$\begin{align} BD &=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{D}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{3}^{2}}+{{3}^{2}}} \\ BD &=3\sqrt{2} \end{align}$
$OB=\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}\sqrt{2}$
Perhatikan segitiga TOB:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{6}^{2}}-{{\left( \frac{3}{2}\sqrt{2} \right)}^{2}}} \\ & =\sqrt{36-\frac{9}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{63}{2}} \\ OT &=\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \end{align}$
Dengan memakai luas segitiga TDB maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.TD.BE &=\frac{1}{2}.BD.OT \\ TD.BE &= BD.OT \\ 6.BE &= 3\sqrt{2}.\frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \\ BE &= \frac{9\sqrt{7}}{6} \\ BE &= \frac{3\sqrt{7}}{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke garis DT yaitu $\frac{3\sqrt{7}}{2}$.
No. 2 (Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui limas segi enam beraturan T.ABCDEF dengan panjang rusuk AB = 10 cm dan AT = 13 cm. Tentukan jarak antara titik B dan rusuk TE.Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Jarak titik B ke garis TE yaitu panjang ruas garis BP.
Perhatikan segitiga TBE
Karena ABCDEF yaitu segi-6 beraturan, maka BE = 20 cm.
$OB=\frac{1}{2}BE=10$
TB = TE = AT = 13
Perhatikan segitiga BOT:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{13}^{2}}-{{10}^{2}}} \\ OT &=\sqrt{69} \end{align}$
Dengan memakai luas segitiga TBE, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.TE.BP &=\frac{1}{2}.OT.BE \\ 13.BP &= \sqrt{69}\times 20 \\ BP &= \frac{20}{13}\sqrt{69} \end{align}$
Jadi, jarak titik B ke garis TE yaitu $\frac{20}{13}\sqrt{69}$.
No. 3 (Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10 cm. Tentukan:a. jarak titik F ke garis AC.
b. jarak titik H ke garis DF.
Pembahasan:
a. jarak titik F ke garis AC
Perhatikan gambar di atas, jarak titik T ke garis AC yaitu panjang garis OF.
Perhatikan segitiga AOF:
$AF=10\sqrt{2}$
$\begin{align} OA &=\frac{1}{2}AC \\ & =\frac{1}{2}.10\sqrt{2} \\ OA &= 5\sqrt{2} \end{align}$
$\begin{align} OF &= \sqrt{A{{F}^{2}}-O{{A}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{(10\sqrt{2})}^{2}}-{{(5\sqrt{2})}^{2}}} \\ &=\sqrt{200-50} \\ &=\sqrt{150} \\ &=\sqrt{25\times 6} \\ OF &=5\sqrt{6} \end{align}$
b. jarak titik H ke garis DF
perhatikan gambar berikut!
Jarak titik H ke garis DF yaitu panjang garis PH.
Perhatikan segitiga DHF:
Menggunakan luas DHF, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.DF.PH &=\frac{1}{2}.HF.DH \\ 10\sqrt{3}.PH &=10\sqrt{2}.10 \\ PH &=\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ PH &=\frac{10}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, jarak titik H ke garis DF yaitu $\frac{10}{3}\sqrt{6}$.
No. 4 (Matematika Wajib Kelas 12)
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. Titik M yaitu titik tengah BC. Tentukan jarak M ke EG.Pembahasan:
Jarak titik M ke garis EG yaitu panjang garis MN.
Perhatikan segitiga EBM siku-siku di B:
$\begin{align} EM &=\sqrt{B{{E}^{2}}+B{{M}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{(8\sqrt{2})}^{2}}+{{4}^{2}}} \\ & =\sqrt{128+16} \\ EM &=12 \end{align}$
Perhatikan segitiga MCG siku-siku di C:
$\begin{align} MG &=\sqrt{C{{M}^{2}}+C{{G}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}} \\ &=\sqrt{80} \\ MG &= 4\sqrt{5} \end{align}$
Lihat segitiga EGM, berlaku hukum cosinus:
$\begin{align} \cos \angle EGM &= \frac{E{{G}^{2}}+M{{G}^{2}}-E{{M}^{2}}}{2.EG.MG} \\ &=\frac{{{(8\sqrt{2})}^{2}}+(4\sqrt{5})-{{12}^{2}}}{2.8\sqrt{2}.4\sqrt{5}} \\ &=\frac{128+80-144}{64\sqrt{10}} \\ \cos \angle EGM &=\frac{1}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{\sqrt{{{(\sqrt{10})}^{2}}-1}}{\sqrt{10}} \\ \sin \angle EGM &=\frac{3}{\sqrt{10}} \end{align}$
Dengan memakai luas segitiga EGM, maka:
$\begin{align} \frac{1}{2}.EG.MN &= \frac{1}{2}.EG.MG.\sin \angle EGM \\ MN &= MG.\sin \angle EGM \\ &= 4\sqrt{5}.\frac{3}{\sqrt{10}} \\ &=\frac{12}{\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ MN &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Jadi, jarak titik M ke garis EG yaitu $6\sqrt{2}$.
No. 5 (Matematika Wajib Kelas 12)
Perhatikan limas segi empat beraturan berikut.
Titik P dan Q berturut-turut yaitu titik tengah rusuk AB dan AD. Jika panjang AB = TA = 12 cm, tentukan jarak antara titik T dan garis PQ!
Pembahasan:
Berdasarkan gambar! Jarak titik T ke garis PQ yaitu panjang garis TR.
OT yaitu garis tinggi limas T.ABCD maka:
$\begin{align} OA &=\frac{1}{2}AC \\ &=\frac{1}{2}.12\sqrt{2} \\ OA &=6\sqrt{2} \end{align}$
Perhatikan segitiga TOA:
$\begin{align} OT &=\sqrt{T{{A}^{2}}-O{{A}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{12}^{2}}-{{(6\sqrt{2})}^{2}}} \\ &=\sqrt{72} \\ OT &= 6\sqrt{2} \end{align}$
Dengan memakai konsep perbandingan sisi-sisi segitiga sebangun yaitu segitiga AOD dan ARQ maka $OR=\frac{1}{2}OA=3\sqrt{2}$.
Perhatikan segitiga ROT siku-siku di O, maka:
$\begin{align} TR &=\sqrt{O{{R}^{2}}+O{{T}^{2}}} \\ &= \sqrt{{{(3\sqrt{2})}^{2}}+{{(6\sqrt{2})}^{2}}} \\ &= \sqrt{18+72} \\ TR &=3\sqrt{10} \end{align}$
Baca Juga: |