Soal Latihan Persamaan Trigonometri dan Pembahasannya: PETUNJUK: Sebaiknya kerjakan terlebih dahulu secara mandiri, sehabis itu silahkan klik "Pembahasan" untuk memastikan balasan yang kau buat apakah sudah benar atau belum. #No. 1 Diketahui persamaan $\sqrt2 \cos x - 1 = 0$; $0^o \le x \le 360^o$, maka nilai $x$ yang memenuhi yakni ... A. {$45^o, 135^o$} B. {$90^o, 270^o$} C. {$45^o, 315^o$} D. {$45^o$} E. {$45^o, 135^o, 225^o, 315^o$}
$\sqrt2 \cos x - 1 = 0$ $\sqrt2 \cos x = 1$ $\cos x = \frac{1}{\sqrt2}$ $\cos x = \frac{1}{2}\sqrt2$ $\cos x = \cos 45^o$ (i) $x = a + k.360^o$ $x = 45^o + k.360^o$ $\begin{align} k = 0 \Rightarrow x &= 45^o + 0(360^o) \\ &= 45^o \end{align}$ (ii) $x = -a + k.360^o$ $x = -45^o + k.360^o$ $\begin{align} k = 1 \Rightarrow x &= -45^o + 1.(360^o) \\ &= -45^o + 360^o \\ x &= 315^o \end{align}$ HP = {$45^o, 315^o$} Jawaban: C
#No. 2 Untuk $0^o \le x \le 180^o$, himpunan penyelesaian persamaan trigonometri $4\sin x - 2 = 0$ yakni ... A. {$30^o$} B. {$30^o, 150^o$} C. {$60^o$} D. {$60^o, 120^o$} E. {$45^o, 145^o$}
$4\sin x - 2 = 0$ $4\sin x = 2$ $\sin x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ $\sin x = \sin 30^o$ (i) $x = a + k.360^o$ $x = 30^o + k.360^o$ $\begin{align} k = 0 \Rightarrow x &= 30^o + 0.(360^o) \\ &= 30^o \end{align}$ (ii) $x = (180^o-a) + k.360^o$ $x = (180^o - 30^o) + k.360^o$ $x = 150^o + k.360^o$ $\begin{align} k = 0 \Rightarrow x &= 150^o + 0.(360^o) \\ &= 150^o \end{align}$ HP = {$30^o, 150^o$} Jawaban: B
#No. 3 Himpunan penyelesaian dari persamaan $2\cos (2x - 60^o) - 1 = 0$ untuk $0^o \le x \le 180^o$ yakni ... A. {$45^o, 135^o$} B. {$60^o, 165^o$} C. {$45^o, 180^o$} D. {$60^o, 180^o$} E. {$135^o, 180^o$}
#No. 4 Jika $\alpha$ dan $\beta$ himpunan penyelesaian dari persamaan $2\sin^2 x = 3\sin x + 2$, $0^o \le x \le 360^o$, maka nilai $\alpha + \beta$ = ... A. $\frac{5}{6}\pi$ B. $\frac{10}{6}\pi$ C. $3\pi$ D. $\frac{20}{6}\pi$ E. $4\pi$
$2\sin^2 x = 3\sin x + 2$ $2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$ $(2\sin x + 1)(\sin x - 2) = 0$ $2\sin x + 1 = 0$ atau $\sin x - 2 = 0$ $2\sin x = -1$ atau $\sin x = 2$, untuk $\sin x = 2$ tidak memenuhi alasannya yakni nilai $\sin x$ maksimum 1. $2\sin x = -1$ $\sin x = -\frac{1}{2}$ $\sin x = -\sin 30^o$ $\sin x = \sin -30^o$ Rumus: (i) $x = a + k.360^o$, maka: $\begin{align} x &= -30^o + k.360^o \\ k = 1 \Rightarrow x &= -30^o + 1.(360^o) \\ x &= 330^o = \alpha \end{align}$ Rumus: (ii) $x = (180^o-a) + k.360^o$, maka: $\begin{align} x &= (180^+30^o) + k.360^o \\ x &= 210^o + k.360^o \\ k = 0 \Rightarrow x &= 210^o + 0.(360^o) \\ x &= 210^o = \beta \end{align}$ maka: $\begin{align} \alpha + \beta &= 330^0 + 210^o \\ &= 540^o \\ &= 3.(180^o) \\ &= 3\pi \end{align}$ Jawaban: C
#No. 5
Untuk $0 \le x \le 2\pi$, himpunan semua nilai $x$ yang memenuhi: $\cos^4 x - \sin^4 x = 1$ yakni ...
A. {$0, \pi, 2\pi$} B. {$\pi, 2\pi$} C. {$\frac{1}{2}\pi, \frac{1}{12}\pi$} D. {$\frac{3}{2}\pi$} E. {$\frac{5}{12}\pi$}
$\cos^4 x - \sin^4 x = 1$ $(\cos^2 x + \sin^2 x)(\cos^2 x - \sin^2 x) = 1$ $1.(\cos^2 x - \sin^2 x) = 1$ $\cos^2 x - (1 - \cos^2 x) - 1 = 0$ $2\cos^2 x - 2 = 0$ $\cos^2 x - 1 = 0$ $(\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$ $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi$ $\cos x = 1 \Rightarrow x = 0, 2\pi$ Jawaban: A
