Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 1
Akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+px+27=0$ ialah ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ yang semuanya positif dan ${{x}_{2}} > {{x}_{1}}$. Jika ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan $5{{x}_{1}}$ berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga barisan aritmetika, maka suku kesepuluh ialah …A. 55 B. 57 C. 59 D. 61 E. 63
Pembahasan:
Persamaan kuadrat: ${{x}^{2}}+px+27=0$ akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$, maka:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-p\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-p-{{x}_{2}}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27$
Barisan Aritmetika: ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan $5{{x}_{1}}$ maka:
$2{{x}_{2}}={{x}_{1}}+5{{x}_{1}}$
$2{{x}_{2}}=6{{x}_{1}}$
${{x}_{2}}=3{{x}_{1}}$
${{x}_{2}}=3(-p-{{x}_{2}})$
${{x}_{2}}=-3p-3{{x}_{2}}$
$4{{x}_{2}}=-3p\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{-3p}{4}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=27$
$(-p-{{x}_{2}}){{x}_{2}}=27$
$\left( -p+\frac{3p}{4} \right).\frac{-3p}{4}=27$
$\left( -\frac{p}{4} \right).\frac{-3p}{4}=27$
$\frac{3{{p}^{2}}}{16}=27$
$p=\pm 12$
alasannya ialah ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ positif diperoleh bahwa $p < 0$, $p=-12$
${{x}_{2}}=\frac{-3p}{4}\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{-3.(-12)}{4}=9$
${{x}_{1}}=-p-{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-(-12)-9=3$
Barisan aritmetika:
3, 9, 15, …, beda (b) = 6, a = 3
${{U}_{10}}=a+9b=3+9.6=57$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 2
Jika $x > y\ge 1$ dan $\log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy)=2\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$, maka ${}^{x}\log (1+y)$ = …A. log 2 B. $-1$ C. $-\frac{1}{2}$ D. $\frac{1}{2}$ E. 1
Pembahasan:
$\log ({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy)=2\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$
$2.\log (x+y)=2.\log ({{x}^{2}}-{{y}^{2}})$
$\log (x+y)=\log [(x+y)(x-y)]$
$\log (x+y)=\log (x+y)+\log (x-y)$
$0=\log (x-y)$
$x-y=1\Leftrightarrow x=y+1$
${}^{x}\log (1+y)={}^{y+1}\log (1+y)=1$
Kunci: E
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 3
Jika bilangan lingkaran $p$ merupakan akar $f(x)=0$ dengan $f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$, maka gradien garis singgung kurva $y=f(x)$ di titik dengan absis $x=p$ ialah …A. -5 B. -3 C. -1 D. 3 E. 5
Pembahasan:
$f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$
$x=p$ maka $f(x)=0$
$f(p)={{p}^{3}}-4p-3=0$
$(p+1)({{p}^{2}}-p-3)=0$
$(p+1)({{p}^{2}}-p-3)=0$
${{p}^{2}}-p-3=0$
$p=\frac{1\pm \sqrt{1-4.1.(-3)}}{2.1}=\frac{1\pm \sqrt{13}}{2}$
$p+1=0\Leftrightarrow p=-1$
Sementara kita hindari bentuk akar maka kita pilih $p=-1$
$f(x)=p{{x}^{2}}-3x-p-3$
$f(x)=-1.{{x}^{2}}-3x-(-1)-3$
$f(x)=-{{x}^{2}}-3x-2$
$f'(x)=-2x-3$
Gradien garis singgung di absis $x=p=-1$ adalah:
$f'(-1)=-2.(-1)-3=-1$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 4
Pertidaksamaan ${}^{2}\log ({{x}^{2}}-x)\le 1$ memiliki penyelesaian …A. $x < 0$ atau $x > 1$
B. $-1 < x < 2$, $x\ne 1$, $x\ne 0$
C. $-1\le x < 0$ atau $1 < x \le 2$
D. $-1\le x\le 0$ atau $1\le x\le 2$
E. $-1 < x < 0$ atau $1\le x < 2$
Pembahasan:
Syarat:
${{x}^{2}}-x > 0$
$x(x-1) > 0$
$x < 0$ atau $x > 1$ ….. (1)
${}^{2}\log ({{x}^{2}}-x)\le 1$
${{x}^{2}}-x\le {{2}^{1}}$
${{x}^{2}}-x-2\le 0$
$(x+1)(x-2)\le 0$
$-1\le x\le 2$ …. (2)
HP ialah irisan dari (1) dan (2) yaitu:
$-1\le x < 0$ atau $1 < x \le 2$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 5
Jika fungsi $f$, dengan $f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}}}$ turun pada $(-\infty ,-1]$, maka $8{{m}^{3}}+8$ = …A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 E. 0
Pembahasan: (Soal tak jelas)
$f(x)=\sqrt[3]{{{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}}}$, turun maka $f'(x) < 0$
$f(x)={{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{\frac{1}{3}}}$
$f'(x)=\frac{1}{3}{{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{\frac{1}{3}-1}}.(3{{x}^{2}}+6{{m}^{3}}{{x}^{5}})$
$f'(x)=\frac{1}{3}{{({{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{6}})}^{-\frac{2}{3}}}.(3{{x}^{2}}+6{{m}^{3}}{{x}^{5}})$
Dari soal stasioner diperoleh untuk:
${f}'(-1)=0$
$\frac{1}{3}{{({{(-1)}^{3}}+{{m}^{3}}.{{(-1)}^{6}})}^{-\frac{2}{3}}}.(3{{(-1)}^{2}}+6{{m}^{3}}{{(-1)}^{5}})=0$
${{(-1+{{m}^{3}})}^{-\frac{2}{3}}}.(3-6{{m}^{3}})=0$; ${{(-1+{{m}^{3}})}^{-\frac{2}{3}}}\ne 0$ maka:
$3-6{{m}^{3}}=0$
$1-2{{m}^{3}}=0$ kali -4
$8{{m}^{3}}-4=0$ kedua ruas ditambah 12
$8{{m}^{3}}-4+12=0+12$
$8{{m}^{3}}+8=12$
Kunci: B
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 6
Diketahui $m$ ialah sisa pembagian polinomial $h(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+2$ oleh $x-1$. Nilai $k$ yang memenuhi $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{m{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$ ialah …A. -1 B. 0 C. $\frac{1}{2}$ D. 1 E. 2
Pembahasan: (soal kabur)
$h(x)={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x+2$ dibagi $x-1$ sisanya $m$
$m=h(1)={{1}^{3}}-{{1}^{2}}+2.1+2=4$
$m={{1}^{3}}-{{1}^{2}}+2.1+2\Leftrightarrow m=4$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{m{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-k \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-\frac{k(k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7)}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{4{{x}^{3}}-kx+5}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7}-\frac{{{k}^{2}}{{x}^{3}}+3k{{x}^{2}}-7k}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{(4-{{k}^{2}}){{x}^{3}}-3k{{x}^{2}}-kx+5+7k}{k{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-7} \right)=0$
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{(4-{{k}^{2}}){{x}^{3}}}{k{{x}^{3}}} \right)=0$
$\frac{4-{{k}^{2}}}{k}=0;k\ne 0$
$4-{{k}^{2}}=0$
$(2+k)(2-k)=0$
$k=-2$ atau $k=2$
Kunci: E
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 7
Suatu deret geometri tak sampai memiliki jumlah $\frac{9}{4}$. Suku pertama dan rasio deret tersebut masing-masing $a$ dan $-\frac{1}{a}$, dengan $a > 0$. Jika ${{U}_{n}}$ menyatakan suku ke-n pada deret tersebut, maka $3{{U}_{6}}-{{U}_{5}}$ = …A. 0 B. $\frac{2}{27}$ C. $-\frac{2}{27}$ D. $\frac{1}{27}$ E. $-\frac{1}{27}$
Pembahasan:
Deret Geometri Tak Hingga
${{S}_{\infty }}=\frac{9}{4}$, ${{U}_{1}}=a$, $r=-\frac{1}{a}$
$\frac{{{U}_{1}}}{1-r}=\frac{9}{4}$
$\frac{a}{1+\frac{1}{a}}=\frac{9}{4}$
$4a=9+\frac{9}{a}$
$4{{a}^{2}}=9a+9$
$4{{a}^{2}}-9a-9=0$
$(4a+3)(a-3)=0$
$a=-\frac{3}{4}$ atau $a=3$, $a > 0$
Maka: $a=3$ dan $r=-\frac{1}{3}$
$3{{U}_{6}}-{{U}_{5}}=3.a{{r}^{5}}-a{{r}^{4}}$
$=a{{r}^{4}}(3r-1)$
$=3.{{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{4}}\left( 3.\left( -\frac{1}{3} \right)-1 \right)$
$=3.\left( \frac{1}{81} \right)\left( -2 \right)$
$=\frac{-2}{27}$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 8
Jumlah suatu deret geometri tak sampai ialah 10, dan jumlah suku-suku bernomor ganjil ialah 6. Suku ke-2 deret tersebut ialah …A. $\frac{20}{3}$ B. $\frac{20}{6}$ C. $\frac{20}{9}$ D. $\frac{20}{11}$ E. $\frac{20}{13}$
Pembahasan:
Deret Geometri Tak Hingga
${{S}_{\infty }}=10$
${{S}_{ganjil}}+{{S}_{genap}}=10$
${{S}_{ganjil}}+6=10$
${{S}_{ganjil}}=4$
$r=\frac{{{S}_{ganjil}}}{{{S}_{genap}}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
${{S}_{\infty }}=10$
$\frac{a}{1-r}=10$
$\frac{a}{1-\frac{2}{3}}=10$
$a=\frac{10}{3}$
${{U}_{2}}=ar=\frac{10}{3}.\frac{2}{3}=\frac{20}{9}$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 9
Suku banyak $P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ berturut-turut bersisa 3 dan -7 saat dibagi $x+1$ dan $x-1$. Sisa pembagian P(x) oleh $x$ ialah …A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x+1$ sisa 3
$P(-1)=-a+1-b+1-c+d=3$
$-a-b-c+d=1$ …. Persamaan (1)
$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x-1$ sisa -7
$P(1)=a+1+b+1+c+d=-7$
$a+b+c+d=-9$… Persamaan (2)
$-a-b-c+d=1$ …. Persamaan (1)
------------------------- (+)
$2d=-8\Leftrightarrow d=-4$
$P(x)=a{{x}^{5}}+{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+cx+d$ dibagi $x$ maka sisanya adalah:
$P(0)=d=-4$
Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 10
Diberikan suku banyak $p(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a$ dengan $a\ne 0$. Jika ${{x}^{2}}+nx+1$ merupakan faktor $p(x)$, maka $n$ = …A. -3 B. -2 C. -1 D. 1 E. 3
Pembahasan:
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a=({{x}^{2}}+nx+1)(ax+a)$
$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+a=a{{x}^{3}}+(a+an){{x}^{2}}+(an+a)x+a$
$0=an+a$
$0=a(n+1)$
$n+1=0\Leftrightarrow n=-1$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 11
Jika $(p,q)$ merupakan klimaks grafik fungsi $f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$, dengan $f(a)=19$ maka $p+2q+3a$ = …A. 7 B. 6 C. 0 D. -1 E. -2
Pembahasan:
$f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$
$f(a)={{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+a+1=19$
${{a}^{3}}+2{{a}^{2}}+a-18=0$
$(a-2)({{a}^{2}}+4a+9)=0$
${{a}^{2}}+4a+9=0$ nilai $a$ imaginer alasannya ialah D < 0
$a-2=0\Leftrightarrow a=2$
$f(x)=a{{x}^{2}}+2ax+a+1$
$f(x)=2{{x}^{2}}+4x+3$
$(p,q)=\left( \frac{-b}{2a},\frac{{{b}^{2}}-4ac}{-4a} \right)$
$(p,q)=\left( \frac{-4}{2.2},\frac{{{4}^{2}}-4.2.3}{-4.2} \right)$
$(p,q)=\left( -1,1 \right)$
$p+2q+3a=-1+2.1+3.2=7$
Kunci: A
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 12
Diketahui ${{P}_{1}}$ ialah pencerminan titik $P(2,k)$ terhadap garis $y=x$. Jika luas segitiga $PO{{P}_{1}}$ ialah 6, maka |k| = …A. $2\sqrt{2}$ B. $2\sqrt{3}$ C. $\sqrt{10}$ D. 4 E. 16
Pembahasan:
$P(2,k)$ dicerminkan terhadap garis $y=x$ menghasilkan ${{P}_{1}}(k,2)$. Luas segitiga $PO{{P}_{1}}$ dengan $O(0,0)$ adalah:
$\frac{1}{2}\left| \left| \begin{matrix} 2 & k \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ k & 2 \\ \end{matrix} \right|+\left| \begin{matrix} k & 2 \\ 2 & k \\ \end{matrix} \right| \right|=6$
$\left| 0+0+{{k}^{2}}-4 \right|=12$
${{k}^{2}}-4=12$
${{k}^{2}}=16 \Leftrightarrow k= \pm 4 \Leftrightarrow |k|=4$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 13
Diketahui proyeksi vektor $v$ pada vektor $u$ sama dengan proyeksi vektor $w$ pada vektor $u$. Jika $2v.u=\sqrt{3}|v||u|$ dan $2w.u=|w||u|$, maka $\frac{v.w}{|v||w|}$ = …A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$ C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$ D. 1 E. $\frac{1}{2}\sqrt{5}$
Pembahasan:
$2v.u=\sqrt{3}|v||u|$
$\frac{v.u}{|v||u|}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$
$\cos (u,v)=\frac{1}{2}\sqrt{3}\Leftrightarrow \angle (u,v)={{30}^{o}}$
$2w.u=|w||u|$
$\frac{w.u}{|w||u|}=\frac{1}{2}$
$\cos (w,u)=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \angle (w,u)={{60}^{o}}$
Perhatikan gambar berikut!
Dari gambar diperoleh bahwa $\angle (v,w)={{30}^{o}}$
$\cos \angle (v,w)=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
$\cos {{30}^{o}}=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
$\frac{1}{2}\sqrt{3}=\frac{v.w}{|v|.|w|}$
Kunci: C
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 14
Diketahui segitiga ABC dengan $|BC|=2\sqrt{3}$ dan $\angle BAC={{60}^{o}}$. Jika $|AC|+|AB|=6$, maka $||AC|-|AB||$ = …A. $\frac{1}{2}$ B. 1 C. $\frac{3}{2}$ D. 2 E. $\frac{5}{2}$
Pembahasan:
$\angle BAC={{60}^{o}}$
Aturan cosinus:
$\cos \angle BAC=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$
$\cos {{60}^{o}}=\frac{{{(AB+AC)}^{2}}-2.AB.AC-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$
$\frac{1}{2}=\frac{{{(AB+AC)}^{2}}-2.AB.AC-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}$
$1=\frac{{{6}^{2}}-2.AB.AC-{{(2\sqrt{3})}^{2}}}{AB.AC}$
$AB.AC=36-2.AB.AC-12$
$3.AB.AC=24$
$AB.AC=8$
${{(AC-AB)}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{B}^{2}}-2.AC.AB$
${{(AC-AB)}^{2}}={{(AC+AB)}^{2}}-2.AC.AB-2.AC.AB$
${{(AC-AB)}^{2}}={{6}^{2}}-4.AC.AB$
${{(AC-AB)}^{2}}=36-4.8$
${{(AC-AB)}^{2}}=4$
$AC-AB=2$
Kunci: D
Matematika IPA UM-UGM 2018 No. 15
Diberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-X di (1,0) dan (3,0). Jika lingkaran tersebut menyinggung sumbu-Y, maka titik singgung yang mungkin ialah …A. (0,1)
B. (0,2)
C. (0, $\sqrt{3}$)
D. (0, $\sqrt{5}$)
E. (0,3)
Pembahasan:
Titik sentra lingkaran ialah (a,b), maka lingkaran melalui titik (1,0), (3,0), (0,b).
Bentuk umum persamaan lingkaran: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+Ax+By+C=0$, $B=-2b$
Lingkaran melalui titik (1,0) maka:
${{1}^{2}}+{{0}^{2}}+A.1+B.0+C=0$
$A+C=-1$
Lingkaran melalui titik (3,0) maka:
${{3}^{2}}+{{0}^{2}}+A.3+B.0+C=0$
$3A+C=-9$
$A+C=-1$
--------------- (-)
$2A=-8\Leftrightarrow A=-4,C=3$
Lingkaran melalui titik (0, b), dan $B=-2b$maka:
${{0}^{2}}+{{y}^{2}}+A.0+B.b+3=0$
${{b}^{2}}+(-2b).b+3=0$
$-{{b}^{2}}+3=0$
${{b}^{2}}=3\Leftrightarrow b=\pm \sqrt{3}$
Titik singgung lingkaran yang mungkin ialah $(0,-\sqrt{3})$ dan $(0,\sqrt{3})$
Kunci: C
Baca Juga: |