Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 1
Hasil perkalian semua solusi bilangan real yang memenuhi $\sqrt[3]{x}=\frac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$ yaitu …A. -8 B. -6 C. 4 D. 6 E. 8
Pembahasan:
$\sqrt[3]{x}=\frac{2}{1+\sqrt[3]{x}}$, misal: $y=\sqrt[3]{x}$, maka:
$y=\frac{2}{1+y}$
${{y}^{2}}+y=2$
${{y}^{2}}+y-2=0$
$(y+2)(y-1)=0$
$y=-2$ atau $y=1$
$\sqrt[3]{x}=-2\Leftrightarrow {{x}_{1}}=-8$
$\sqrt[3]{x}=1\Leftrightarrow {{x}_{2}}=1$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-8.1=-8$
Kunci: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 2
Jika $2+{}^{2}\log x=3+{}^{3}\log y={}^{6}\log (x-4y)$, nilai $\frac{1}{2y}-\frac{2}{x}$ yaitu …
A. 36 B. 54 C. 81 D. 108 E. 216
Pembahasan:
$2+{}^{2}\log x=a$
${}^{2}\log x=a-2\Leftrightarrow x={{2}^{a-2}}$
$3+{}^{3}\log y=a$
${}^{3}\log y=a-3\Leftrightarrow y={{3}^{a-3}}$
${}^{6}\log (x-4y)=a\Leftrightarrow x-4y={{6}^{a}}$
$\frac{1}{2y}-\frac{2}{x}=\frac{x-4y}{2xy}$
$=\frac{{{6}^{a}}}{{{2.2}^{a-2}}{{.3}^{a-3}}}$
$=\frac{{{6}^{a}}}{2.\frac{{{2}^{a}}}{{{2}^{2}}}.\frac{{{3}^{a}}}{{{3}^{3}}}}$
$=\frac{{{6}^{a}}}{\frac{{{6}^{a}}}{54}}$
= 54
Kunci: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 3
Jika $p$ dan $q$ yaitu akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+x-4=0$, nilai $5{{p}^{2}}+4{{q}^{2}}+p$ yaitu …A. 20 B. 28 C. 32 D. 40 E. 44
Pembahasan:
${{x}^{2}}+x-4=0$, akar-akar $p$ dan $q$, maka: $p+q=\frac{-b}{a}=-1$, dan $p.q=\frac{c}{a}=-4$
Untuk $x=p$, maka ${{x}^{2}}+x-4=0$ menjadi:
${{p}^{2}}+p-4=0\Leftrightarrow {{p}^{2}}+p=4$
$5{{p}^{2}}+4{{q}^{2}}+p=4{{p}^{2}}+4{{q}^{2}}+{{p}^{2}}+p$
$=4({{p}^{2}}+{{q}^{2}})+{{p}^{2}}+p$
$=4\left[ {{(p+q)}^{2}}-2pq \right]+4$
$=4\left[ {{(-1)}^{2}}-2.(-4) \right]+4$
= 40
Kunci: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 4
Jika a – 3 = -b – 4 = -c – 5 = d + 6 = e + 7 = a – b – c + d + e + 8, maka a – b – c + d + e = …A. $-\frac{39}{4}$ B. $-\frac{1}{4}$ C. $-\frac{7}{3}$ D. $\frac{15}{4}$ E. $\frac{39}{4}$
Pembahasan:
$a-3$=$-b-4$=$-c-5$=$d+6$=$e+7$=$a-b-c+d+e+8$
kurangkan dengan 8, maka diperoleh:
$a-11$=$-b-12$=$-c-13$=$d-2$=$e-1$=$a-b-c+d+e$=$x$
Misal: $a-b-c+d+e=x$
$a-11=x$ ... pers (1)
$-b-12=x$ … pers (2)
$-c-13=x$ … pers (3)
$d-2=x$ … pers (4)
$e-1=x$ … pers (5)
Jumlahkan seluruh persamaan, maka diperoleh:
$(a-11)$ + $(-b-12)$ + $(-c-13)$ + $(d-2)$ + $e-1$=$5x$
$a-b-c+d+e-39=5x$
$x-39=5x$
$-4x=39$
$x=-\frac{39}{4}$
$a-b-c+d+e=-\frac{39}{4}$
Kunci: A Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 5
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 3-x$ yaitu …
A. $\left\{ x\in R:x\le -2 \right.$ atau $2\le x\le \frac{13}{6}\}$
B. $\left\{ x\in R:x\le -2 \right.$ atau $2\le x\}$
C. $\left\{ x\in R:-2\le x\le \frac{13}{6} \right\}$
D. $\left\{ x\in R:x\le \frac{13}{6} \right\}$
E. $\left\{ x\in R:2\le x\le \frac{13}{6} \right\}$
Pembahasan:
i) Syarat: $\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 3-x$:
${{x}^{2}}-4\ge 0$
$(x+2)(x-2)\ge 0$
$x=-2$ atau $x=2$
$x\le -2$ atau $x\ge 2$
ii) Solusi: $\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 3-x$, memilih x pembuat nol.
${{x}^{2}}-4={{\left( 3-x \right)}^{2}}$
${{x}^{2}}-4=9-6x+{{x}^{2}}$
$6x=13\Leftrightarrow x=\frac{13}{6}$
Yang memenuhi $\sqrt{{{x}^{2}}-4}\le 3-x$ yaitu $x\le \frac{13}{6}$
Dari i) dan ii) diperoleh himpunan penyelesaiannya yaitu $\left\{ x\in R:x\le -2 \right.$ atau $2\le x\le \frac{13}{6}\}$.
Kunci: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 6
Sebuah barisan geometri terdiri dari 3 suku mempunyai suku pertama $\frac{1}{2}$. Jika suku kedua ditambah 3 dan suku ketiga ditambah 4, maka barisan tersebut menjadi barisan aritmetika. Suku kedua terbesar yang mungkin dari barisan aritmetika tersebut yaitu …
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{3}{2}$ C. $\frac{5}{2}$ D. $\frac{7}{2}$ E. $\frac{9}{2}$
Pembahasan:
Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$; $a=\frac{1}{2}$, maka ketiga suku tersebut adalah:
$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}r$, $\frac{1}{2}{{r}^{2}}$
Barisan aritmetika:
$\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}r+3$, $\frac{1}{2}{{r}^{2}}+4$
$2{{U}_{2}}={{U}_{1}}+{{U}_{3}}$
$2\left( \frac{1}{2}r+3 \right)=\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}{{r}^{2}}+4 \right)$
$r+6=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{r}^{2}}+4$
$2r+12=1+{{r}^{2}}+8$
${{r}^{2}}-2r-3=0$
$(r-3)(r+1)=0$
$r=3$ atau $r=-1$
Agar suku kedua barisan aritmetika $\frac{1}{2}r+3$ terbesar maka $r=3$, diperoleh:
${{U}_{2}}=\frac{1}{2}r+3\Leftrightarrow {{U}_{2}}=\frac{1}{2}.3+3=\frac{9}{2}$
Kunci: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 7
Jika $A=\left[ \begin{matrix} 1 & x \\ 1 & 4 \\ \end{matrix} \right]$ yaitu matriks yang mempunyai invers, rata-rata dari nilai-nilai $x$ yang memenuhi $\det \left( -\frac{1}{3}A \right)=\det \left( 3{{A}^{-1}} \right)$ yaitu …
A. 1 B. 4 C. 5 D. 8 E. 10
Pembahasan:
$A=\left[ \begin{matrix} 1 & x \\ 1 & 4 \\ \end{matrix} \right] \Rightarrow |A|=4-x$
$\det \left( -\frac{1}{3}A \right)=\det \left( 3{{A}^{-1}} \right)$
${{\left( -\frac{1}{3} \right)}^{2}}|A|={{3}^{2}}.\frac{1}{|A|}$
$\frac{4-x}{9}=\frac{9}{4-x}$
$16-8x+{{x}^{2}}=81$
${{x}^{2}}-8x-65=0$
$(x-13)(x+5)=0$
${{x}_{1}}=13$ atau ${{x}_{2}}=-5$
Maka:
$\frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{2}=\frac{13+(-5)}{2}=4$
Kunci: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 8
Daerah R persegipanjang yang mempunyai titik sudut $(-1,1)$, $(4,1)$, $(-1,-5)$, dan $(4,-5)$. Suatu titik akan dipilih dari R. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $y=\frac{3}{2}x-5$ yaitu …
A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{2}{5}$ C. $\frac{3}{5}$ D. $\frac{1}{4}$ E. $\frac{3}{4}$
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut:
Titik-titik yang berada di atas $y=\frac{3}{2}x-5$ yaitu luas ABED
AB = 5 satuan, BC = 6 satuan, maka:
Luas ABCD = 5 x 6 = 30
Luas BCE = $\frac{1}{2}.EC\times BC=\frac{1}{2}\times 4\times 6=12$
Luas ABED = Luas ABCD – Luas BCE = 18
Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis $y=\frac{3}{2}x-5$ adalah:
$=\frac{[ABED]}{[ABCD]}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$
Kunci: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 9
Diketahui $f$ yaitu fungsi kuadrat yang mempunyai garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$. Jika $f'(1)=3$ maka $f(4)$ = ….
A. 11 B. 12 C. 14 D. 17 E. 22
Pembahasan:
Misal: $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$
$f'(x)=2ax+b$, gradien garis singgung di titik $x=-1$ adalah:
$m=f'(1)$
$m=-2a+b$, sama dengan gradien $y=-x+1$, maka:
$-2a+b=-1$ … pers (1)
$f'(1)=3\Leftrightarrow 2a+b=3$… (2)
$-2a+b=-1$
$2a+b=3$
--------------- (-)
$-4a=-4\Leftrightarrow a=1,b=1$
$f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$
$y={{x}^{2}}+x+c$ garis singgung $y=-x+1$ di titik $x=-1$, maka $y=2$
$2={{(-1)}^{2}}-1+c\Leftrightarrow c=2$
$f(x)={{x}^{2}}+x+2\Leftrightarrow f(4)={{4}^{2}}+4+2=22$
Kunci: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 10
Misalkan dalam sebuah kotak terdapat 10 bola yang terdiri dari bola warna merah dan biru, kemudian diambil 2 secara bersamaan. Jika banyak cara mengambil bola merah dan biru yaitu 9, selisih banyaknya bola merah dan biru yaitu …
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
Pembahasan:
Banyak bola merah = m
Banyak bola biru = b
Maka m + b = 10 … persamaan 1
Banyak cara mengambil 1 merah dan 1 biru adalah:
$C_{1}^{m}\times C_{1}^{b}=9\Leftrightarrow m\times b=9$ … persamaan 2
Dari persamaan 1 dan 2 maka diperoleh: $m=9,b=1$ atau $m=1,b=9$.
Makara selisihnya = 9-1 = 8
Kunci: E
Banyak bola biru = b
Maka m + b = 10 … persamaan 1
Banyak cara mengambil 1 merah dan 1 biru adalah:
$C_{1}^{m}\times C_{1}^{b}=9\Leftrightarrow m\times b=9$ … persamaan 2
Dari persamaan 1 dan 2 maka diperoleh: $m=9,b=1$ atau $m=1,b=9$.
Makara selisihnya = 9-1 = 8
Kunci: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 11
Diberikan sebuah segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di B dengan AB = 6 dan BC = 8. Titik M, N berturut-turut berada pada sisi AC sehingga AM : MN : NC = 1 : 2 : 3. Titik P dan Q secara berurutan berada pada sisi AB dan BC sehingga AP tegak lurus PM dan BQ tegak lurus QN. Luas segilima PMNQB yaitu …
A. $21\frac{1}{3}$ B. $20\frac{1}{3}$ C. $19\frac{1}{3}$ D. $18\frac{1}{3}$ E. $17\frac{1}{3}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
$AB=6,BC=8$, maka luas ABC = 24
Misal: $AM=a\Rightarrow MN=2a,NC=3a$, maka:
$\Delta APM\approx \Delta NQC\approx \Delta ABC$, dengan perbandingan luas segitiga yang sebangun kita peroleh:
$[APM]:[ABC]=A{{M}^{2}}:A{{C}^{2}}$
$\frac{[APM]}{[ABC]}=\frac{{{a}^{2}}}{{{(6a)}^{2}}}$
$[APM]=\frac{1}{36}\times [ABC]$
$[APM]=\frac{1}{36}\times 24=\frac{2}{3}$
$[NQC]:[ABC]=N{{C}^{2}}:A{{C}^{2}}$
$\frac{[NQC]}{[ABC]}=\frac{{{(3a)}^{2}}}{{{(6a)}^{2}}}$
$[NQC]=\frac{1}{4}\times [ABC]$
$[NQC]=\frac{1}{4}\times 24=6$
$[PMNQB]=[ABC]-[APM]-[NQC]$
$[PMNQB]=24-\frac{2}{3}-6=17\frac{1}{3}$
Kunci: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 12
Jika ${{g}^{-1}}(x+1)=2x-1$ dan ${{\left( g\circ {{f}^{-1}} \right)}^{-1}}(x+1)=4{{x}^{2}}-2$, nilai $f(2)$ yaitu …
A. 5 B. 7 C. 8 D. 11 E. 13
Pembahasan:
${{\left( g\circ {{f}^{-1}} \right)}^{-1}}(x+1)=4{{x}^{2}}-2$
$\left( f\circ {{g}^{-1}} \right)(x+1)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( {{g}^{-1}}(x+1) \right)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( 2x-1 \right)=4{{x}^{2}}-2$
Ambil nilai $x=\frac{3}{2}$, maka:
$f\left( 2x-1 \right)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( 2.\frac{3}{2}-1 \right)=4.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-2$
$f(2)=7$
Kunci: B
$\left( f\circ {{g}^{-1}} \right)(x+1)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( {{g}^{-1}}(x+1) \right)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( 2x-1 \right)=4{{x}^{2}}-2$
Ambil nilai $x=\frac{3}{2}$, maka:
$f\left( 2x-1 \right)=4{{x}^{2}}-2$
$f\left( 2.\frac{3}{2}-1 \right)=4.{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}-2$
$f(2)=7$
Kunci: B
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 13 hingga nomor 15.
Petunjuk C yaitu pilihlah:
A. Jika (1), (2), (3) benar.
B. Jika (1) dan (3) benar.
C. Jika (2) dan (4) benar.
D. Jika hanya (4) yang benar.
E. Jika semuanya benar.
Petunjuk C yaitu pilihlah:
A. Jika (1), (2), (3) benar.
B. Jika (1) dan (3) benar.
C. Jika (2) dan (4) benar.
D. Jika hanya (4) yang benar.
E. Jika semuanya benar.
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 13
Jika $f(x)=\sqrt{x-4}$ dan $g(x)={{x}^{2}}$, maka …(1) tempat asal fungsi $f$ yaitu $\left\{ x\in R:x\ge 0 \right\}$
(2) derah asal fungsi $g$ yaitu $\left\{ x\in R:x\ge 0 \right\}$
(3) tempat asal fungsi $f\circ g$ yaitu $\left\{ x\in R:-2\le x\le 2 \right\}$
(4) tempat asal fungsi $g\circ f$ yaitu $\left\{ x\in R:x\ge 4 \right\}$
Pembahasan:
Pernyataan (1) SALAH, lantaran tempat asal fungsi $f$ yaitu $\left\{ x\in R:x\ge 4 \right\}$, lantaran pernyataan (1) salah maka opsi yang mungkin yaitu C dan D, selanjutnya kita cek pernyataan (2).
Pernyataan (2) SALAH, lantaran tempat asal fungsi $g$ yaitu $\left\{ x\in R \right\}$, maka opsi yang kita pilih yaitu D.
Kunci: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 14
Jika $f(x)={{(x-1)}^{\frac{2}{3}}}$, maka …(1) $f$ terdefinisi di $x\ge 0$
(2) $f'(2)=\frac{2}{3}$
(3) $y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$ yaitu garis singgung di $x=2$
(4) $f$ selalu mempunyai turunan di setiap titik.
Pembahasan:
Pernyataan (1) BENAR
$f(x)={{(x-1)}^{\frac{2}{3}}}$
$f'(x)=\frac{2}{3}{{(x-1)}^{\frac{2}{3}-1}}$
$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}$
$m=f'(2)=\frac{2}{3\sqrt[3]{2-1}}=\frac{2}{3}$ , maka (2) BENAR
${{x}_{1}}=2\Rightarrow f(2)={{(2-1)}^{\frac{2}{3}}}\Rightarrow {{y}_{1}}=1$
Persamaan garis singgung kurva di (2, 1) adalah:
$y-1=\frac{2}{3}(x-2)$
$y=\frac{2}{3}x-\frac{4}{3}+1\Leftrightarrow y=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}$, maka (3) BENAR
$f'(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x-1}}$ selalu mempunyai turunan di setiap titik, maka (4) SALAH, lantaran untuk $x = 1$ tidak terdefinisi f'(x).
Kunci: A (1, 2, dan 3 benar).
Matematika Dasar SIMAK UI 2018 No. 15
Rata-rata dari tiga buah bilangan yaitu 6 lebihnya dibandingkan dengan bilangan terkecil dan 12 kurangnya dibandingkan dengan bilangan terbesar. Jika median ketiga bilangan tersebut yaitu 6, maka …(1) jangkauannya yaitu 18
(2) simpangan rata-ratanya yaitu 8.
(3) variansinya yaitu 108
(4) modusnya yaitu 6
Pembahasan:
Misal: a, b, dan c ketiga bilangan itu, dengan $a < b < c$ mediannya $b=6$ maka:
$\frac{a+b+c}{3}=a+6$
$-2a+b+c=18$
$-2a+6+c=18$
$-2a+c=12$ … persamaan (1)
$\frac{a+b+c}{3}=c-12$
$a+b-2c=-36$
$a+6-2c=-36$
$a-2c=-42$ … persamaan (2)
Dengan metode eliminasi dari persamaan (1) dan (2)
$\left. \begin{align} & -2a+c=12 \\ & a-2c=-42 \\ \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2 \\ \times 1 \\ \end{matrix}$
$-4a+2c=24$
$a-2c=-42$
----------------- (+)
$-3a=-18\Rightarrow a=6$
$a=6$ substitusi ke persamaan (1), maka:
$-2a+c=12\Leftrightarrow -2.6+c=12\Leftrightarrow c=24$,
Ketiga bilangan itu yaitu 6, 6, 24, $\bar{x}=12$
Jangkauan = 24 – 6 = 18 …. (1) BENAR
$SR=\frac{|6-12|+|6-12|+|24-12|}{3}$
$SR=\frac{6+6+12}{3}=8$ … (2) BENAR
Varians ($\sigma $)
$\sigma =\frac{{{(6-12)}^{2}}+{{(6-12)}^{2}}+{{(24-12)}^{2}}}{3}$
$\sigma =\frac{36+36+144}{3}=72$ … (3) SALAH
Modus = 6 … (4) BENAR
Kunci: C
Misal: a, b, dan c ketiga bilangan itu, dengan $a < b < c$ mediannya $b=6$ maka:
$\frac{a+b+c}{3}=a+6$
$-2a+b+c=18$
$-2a+6+c=18$
$-2a+c=12$ … persamaan (1)
$\frac{a+b+c}{3}=c-12$
$a+b-2c=-36$
$a+6-2c=-36$
$a-2c=-42$ … persamaan (2)
Dengan metode eliminasi dari persamaan (1) dan (2)
$\left. \begin{align} & -2a+c=12 \\ & a-2c=-42 \\ \end{align} \right|\begin{matrix} \times 2 \\ \times 1 \\ \end{matrix}$
$-4a+2c=24$
$a-2c=-42$
----------------- (+)
$-3a=-18\Rightarrow a=6$
$a=6$ substitusi ke persamaan (1), maka:
$-2a+c=12\Leftrightarrow -2.6+c=12\Leftrightarrow c=24$,
Ketiga bilangan itu yaitu 6, 6, 24, $\bar{x}=12$
Jangkauan = 24 – 6 = 18 …. (1) BENAR
$SR=\frac{|6-12|+|6-12|+|24-12|}{3}$
$SR=\frac{6+6+12}{3}=8$ … (2) BENAR
Varians ($\sigma $)
$\sigma =\frac{{{(6-12)}^{2}}+{{(6-12)}^{2}}+{{(24-12)}^{2}}}{3}$
$\sigma =\frac{36+36+144}{3}=72$ … (3) SALAH
Modus = 6 … (4) BENAR
Kunci: C
Itulah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI 2018, biar bermanfaat bagi kita semua.
Baca Juga: |