Berikut ini ialah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SIMAK UI Tahun 2013 dengan arahan soal 333. Jika kalian ingin d0wnl0ad soalnya aja terlebih dahulu, silahkan. Dan jangan sungkan untuk share/bagikan ke teman-teman atau siswanya ya...!
Download Soal Matematika Dasar SIMAK UI 2013 Kode 333
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 1
Dari 26 aksara alphabet dipilih satu per satu 8 aksara sembarang dengan cara pengembalian dan disusun sehingga membentuk kata. Probabilitas bahwa di antara kata-kata yang terbentuk mengandung subkata “SIMAKUI” dalam satu rangkaian kata yang tidak terpisah ialah ….
A. $\frac{26}{{{26}^{8}}}$ B. $\frac{52}{{{26}^{8}}}$ C. $\frac{26}{\left( \begin{matrix} 26 \\ 8 \\ \end{matrix} \right)}$ D. $\frac{52}{\left( \begin{matrix} 26 \\ 8 \\ \end{matrix} \right)}$ E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan:
n(A) = banyak susunan 8 aksara yang didalamnya mengandung subkat “SIMAKUI”. Kemungkinannya ada 2 yaitu:
Kotak merah diisikan salah satu aksara dari 26 aksara alphabet, maka diperoleh:
n(A) = 2 x 26 = 52
n(S) = banyak susunan 8 aksara sembarang dari 26 aksara = ${{26}^{8}}$.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{52}{{{26}^{8}}}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 2
Jika ${}^{2}\log {{(}^{3}}\log {{(}^{4}}\log x))$ = $^{3}\log {{(}^{4}}\log {{(}^{2}}\log y))$ = $^{4}\log {{(}^{2}}\log {{(}^{3}}\log z))$ = 0, Nilai dari $x+y+z$ = …
A. 50 B. 58 C. 89 D. 111 E. 1296
Pembahasan:
*)
${}^{2}\log {{(}^{3}}\log {{(}^{4}}\log x))=0$
$^{3}\log {{(}^{4}}\log x)={{2}^{0}}$
$^{3}\log {{(}^{4}}\log x)=1$
$^{4}\log x={{3}^{1}}$
$x={{4}^{3}}=64$
*)
$^{3}\log {{(}^{4}}\log {{(}^{2}}\log y))=0$
$^{4}\log {{(}^{2}}\log y)={{3}^{0}}$
$^{4}\log {{(}^{2}}\log y)=1$
$^{2}\log y={{4}^{1}}$
$y={{2}^{4}}=16$
*)
$^{4}\log {{(}^{2}}\log {{(}^{3}}\log z))=0$
$^{2}\log {{(}^{3}}\log z)={{4}^{0}}$
$^{2}\log {{(}^{3}}\log z)=1$
$^{3}\log z={{2}^{1}}$
$z={{3}^{2}}=9$
*) maka $x+y+z=64+16+9=89$.
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 3
Diketahui bahwa $f(x)=mz+n$ dan $g(z)=pz+q$ untuk $m,n,p,q\in R$. Dengan demikian, $f(g(x))=g(f(x))$ akan mempunyai solusi untuk …
A. kalau dan hanya kalau $n(1-p)-q(1-m)=0$.
B. kalau dan hanya kalau $(1-n)(1-p)-(1-q)(1-m)=0$
C. kalau dan hanya kalau $m=p$ dan $n=q$.
D. kalau dan hanya kalau $mq-np=0$
E. setiap pilihan $m,n,p,q$.
Pembahasan:
$f(g(x))=g(f(x))$
$f(px+q)=g(mx+n)$
$m(px+q)+n=p(mx+n)+q$
$mpx+mq+n=pmx+pn+q$
$mq+n=pn+q$
$n-pn=q-mq$
$n(1-p)=(1-m)q$
$n(1-p)-(1-m)q=0$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 4
Jika r dan s ialah akar-akar persamaan $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ dan D ialah diskriminan dari persamaan tersebut, nilai dari $\frac{1}{{{r}^{2}}}+\frac{1}{{{s}^{2}}}$ ialah …
A. $\frac{D}{{{c}^{2}}}+\frac{2a}{c}$
B. $\frac{D}{2a}+c$
C. $\frac{D}{{{c}^{2}}}$
D. $\frac{D}{2a}$
E. $D$
Pembahasan:
$a{{x}^{2}}+bx+c=0$, akar-akarnya r dan s, maka:
$r+s=\frac{-b}{a}$ dan $r.s=\frac{c}{a}$
$D={{b}^{2}}-4ac$
$\frac{1}{{{r}^{2}}}+\frac{1}{{{s}^{2}}}=\frac{{{r}^{2}}+{{s}^{2}}}{{{r}^{2}}{{s}^{2}}}$
$=\frac{{{(r+s)}^{2}}-2rs}{{{(rs)}^{2}}}$
$=\frac{{{\left( \frac{-b}{a} \right)}^{2}}-2.\frac{c}{a}}{{{\left( \frac{c}{a} \right)}^{2}}}$
$=\frac{\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{2c}{a}}{\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}}$
$=\frac{{{b}^{2}}-2ac}{{{a}^{2}}}\times \frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
$=\frac{{{b}^{2}}-2ac}{{{c}^{2}}}$
$=\frac{{{b}^{2}}-4ac}{{{c}^{2}}}+\frac{2ac}{{{c}^{2}}}$
$=\frac{D}{{{c}^{2}}}+\frac{2a}{c}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 5
Jika diketahui bahwa $x=\frac{1}{2013}-\frac{2}{2013}+\frac{3}{2013}-\frac{4}{2013}+...-\frac{2012}{2013}$, nilai $x$ yang memenuhi ialah …
A. $-\frac{1007}{2013}$
B. $-\frac{1006}{2013}$
C. $\frac{1}{2013}$
D. $\frac{1006}{2013}$
E. $\frac{1007}{2013}$
Pembahasan:
$1-2+3-4+...+2011-2012$
$=(1-2)+(3-4)+...+(2011-2012)$
$=(-1)+(-1)+...+(-1)$ {sebanyak 1006}
Maka:
$1-2+3-4+...-2012=(-1).1006=-1006$
$x=\frac{1}{2013}-\frac{2}{2013}+\frac{3}{2013}-\frac{4}{2013}+...-\frac{2012}{2013}$
$x=\frac{1-2+3-4+...-2012}{2013}$
$x=\frac{-1006}{2013}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 6
Diketahui bahwa ${{2}^{w}}.{{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}=2013$ untuk setiap a, b, c, d, x, y, z merupakan bilangan bundar positif dan w bilangan bundar nonnegative dengan $a < b < c$. Nilai $2w+ax+by+cz$ = …
A. 0 B. 3 C. 11 D. 75 E. 611
Pembahasan:
${{2}^{w}}.{{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}=2013$
Factor dari 2013 ialah 3, 11, dan 61 sehingga:
${{2}^{0}}{{.3}^{1}}{{.11}^{1}}{{.61}^{1}}=2013$
${{2}^{0}}{{.3}^{1}}{{.11}^{1}}{{.61}^{1}}={{2}^{w}}.{{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}$
$w=0$, $a=3$, $x=1$, $b=11$, $y=1$, $c=61$, $z=1$
$2w+ax+by+cz=2.0+3.1+11.1+61.1=75$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 7
Perhatikan gambar berikut ini.
Himpunan penyelesaian system pertidaksamaan , , , ialah …
A. I B. II C. III D. IV E. V
Pembahasan:
Maka tempat penyelesaiannya ialah II.
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 8
Bilangan bundar terbesar $a$ sehingga hanya terdapat tiga pasangan bilangan bundar $(x,y)$ yang memenuhi system pertidaksamaan berikut:
$\left\{ \begin{matrix} 3y-x < 5 \\ y+ax < 11 \\ 4y+x > 9 \\ \end{matrix} \right.$
ialah …
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3
Pembahasan:
Tiga pasangan (x,y) bilangan bundar yang memenuhi sistem yaitu:
$(2,2)$, $(3,2)$, $(4,2)$
Substitusi ke: $y+ax < 11$
$(2,2)\to 2+2a < 11 \Leftrightarrow a < \frac{9}{2}=\{...,1,2,3,4\}$
$(3,2)\to 2+3a < 11 \Leftrightarrow a < 3=\{...,1,2\}$
$(4,2)\to 2+4a < 11 \Leftrightarrow a < \frac{9}{4}=\{...,1,2\}$
Sehingga nilai a terbesar ialah 2.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 9
Jika $A=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{matrix} \right]$ dan ${{A}^{2}}-xA+yI=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ maka $x+y$ = …
A. 9 B. 14 C. 19 D. 23 E. 25
Pembahasan:
${{A}^{2}}-xA+yI=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$
${{A}^{2}}-xA+yI=0$
${{A}^{2}}=xA-yI$
${{\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{matrix} \right]}^{2}}=x\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{matrix} \right]-y\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4x & 3x \\ 2x & 5x \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} y & 0 \\ 0 & y \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4x-y & 3x \\ 2x & 5x-y \\ \end{matrix} \right]$
$3x=27\to x=9$
$4x-y=22\Leftrightarrow 4.9-y=22\Leftrightarrow y=14$
$x+y=9+14=23$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 10
Diketahui bilangan $a,b,c$ membentuk barisan geometri. Bilangan $a,b,c-2$ membentuk barisan aritmetika dan bilangan $a,b+2,c+10$ membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk $b$ ialah …
A. $\frac{14}{9}$ B. $\frac{20}{9}$ C. $\frac{32}{9}$ D. $\frac{40}{9}$ E. $\frac{80}{9}$
Pembahasan:
Barisan Geometri:
$a,b,c\Rightarrow {{b}^{2}}=ac$ …. (1)
Barisan Aritmetika:
$a,b,c-2\Rightarrow 2b=a+c-2$ …. (2)
Barisan Geometri:
$a,b+2,c+10$ maka:
${{(b+2)}^{2}}=a(c+10)$
${{b}^{2}}+4b+4=ac+10a$
${{b}^{2}}+4b+4={{b}^{2}}+10a$
$4b+4=10a$
$2b+2=5a$ …. (3)
Substitusi (2) ke (3), diperoleh:
$a+c-2+2=5a$
$c=4a$ substitusi ke (1)
${{b}^{2}}=ac\Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.4a\Leftrightarrow b=\pm 2a$
Substitusi ke persamaan (3)
Untuk $b=2a$ maka:
$2b+2=5a$
$2.2a+2=5a$
$4a+2=5a$
$a=2$
$b=2a\to {{b}_{1}}=2.2=4$
Untuk $b=-2a$ maka:
$2b+2=5a$
$2(-2a)+2=5a$
$-4a+2=5a$
$a=\frac{2}{9}$
$b=-2a\to {{b}_{2}}=-2.\frac{2}{9}=-\frac{4}{9}$
${{b}_{1}}+{{b}_{2}}=4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}$
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 11
$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x-2\sqrt{x+1}}}=...$
A. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$
B. $5-2\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{6}$
D. 5
E. $5+2\sqrt{6}$
Pembahasan:
$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x-2\sqrt{x+1}}}$
$=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{6}}}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}$
$=\frac{\sqrt{(3+2)+2\sqrt{3.2}}}{\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3.2}}}$
$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
$=5+2\sqrt{6}$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 12
Sebuah matriks disebut matriks orthogonal kalau ${{A}^{-1}}={{A}^{T}}$. Jika diketahui $A=\left( \begin{matrix} a & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & b & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & c \\ \end{matrix} \right)$ maka ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ = …
A. -1 B. 0 C. $\frac{1}{9}$ D. $\frac{4}{9}$ E. 1
Pembahasan:
${{A}^{-1}}={{A}^{T}}$
$A.{{A}^{T}}=A.{{A}^{-1}}$
$A.{{A}^{T}}=I$
$\left( \begin{matrix} a & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & b & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & c \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & b & -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & c \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$
${{a}^{2}}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1\to {{a}^{2}}=\frac{1}{9}$
$\frac{4}{9}+{{b}^{2}}+\frac{1}{9}=1\to {{b}^{2}}=\frac{4}{9}$
$\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+{{c}^{2}}=1\to {{c}^{2}}=\frac{4}{9}$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 13
Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan orisinil yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa ialah $\frac{61}{4}$. Bilangan yang dihapus tersebut ialah …
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12
Pembahasan:
Sn ialah jumlah n bilangan orisinil yang pertama $Sn=\frac{n(n+1)}{2}$.
Misal: data yang terhapus = x
${{\bar{x}}_{baru}}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}-x}{n-1}=\frac{61}{4}$
$2{{n}^{2}}+2n-4x=61n-61$
$2{{n}^{2}}-59n+61-4x=0$
Ambil x = 8, maka:
$2{{n}^{2}}-59n+61-4.8=0$
$2{{n}^{2}}-59n+29=0$
$(2n-1)(n-29)=0$
$n=29$
Sehingga data yang terhapus x = 8.
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 14
Diketahui $y$ ialah bilangan real terkecil yang merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{4}} > \frac{1}{x}-\frac{1}{2}$. Nilai $y$ juga memenuhi pertidaksamaan berikut, kecuali …
A. $3+\frac{3}{2}y > 1$
B. $6-2y > 1$
C. $6y-3 < 1$
D. $3{{y}^{2}}+y > 1$
E. $6{{y}^{2}}-y < 1$
Pembahasan:
$\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{4}} > \frac{1}{x}-\frac{1}{2}$ (kuadratkan kedua ruas)
$\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{4} > \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{4}$
$\frac{1}{x}-1 > 0$
$\frac{1-x}{x} > 0$
$0 < x < 1$
$y$ ialah $x$ terkecil maka $y\cong 0$
Dari option yang diberikan, maka yang tidak memenuhi ialah option D.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 15
Diketahui bahwa salah satu sisi persegi ABCD menyinggung lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+1=0$ pada titik $(1,2)$. Dua titik sudut dari persegi tersebut terletak pada lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-7=0$. Luas persegi ABCD ialah …
A. $\frac{32}{25}(1-\sqrt{11})$
B. $\frac{32}{25}(\sqrt{11}-6)$
C. $\frac{32}{25}(\sqrt{11}-1)$
D. $\frac{32}{25}(6-\sqrt{11})$
E. $\frac{32}{5}(\sqrt{11}-1)$
Pembahasan:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+1=0$
${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=1$, diperoleh:
Titik pusat (1,1) dan jari-jari (r) = 1.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-7=0$
${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=9$, diperoleh:
Titik sentra (1,1) dan jari-jari (R) = 3
Perhatikan gambar berikut ini.
Misal, panjang sisi persegi ABCD ialah s, maka: BC = s, AB = s, PQ = $\frac{AB}{2}=\frac{s}{2}$
Perhatikan segitiga PQC siku-siku di titik Q, berlaku teorema phythagoras:
$P{{Q}^{2}}+Q{{C}^{2}}=P{{C}^{2}}$
${{\left( \frac{s}{2} \right)}^{2}}+{{(s+1)}^{2}}={{3}^{2}}$
$\frac{{{s}^{2}}}{4}+{{s}^{2}}+2s+1=9$
$\frac{{{s}^{2}}}{4}+{{s}^{2}}+2s-8=0$ kali 4
${{s}^{2}}+4{{s}^{2}}+8s-32=0$
$5{{s}^{2}}+8s-32=0$
$s=\frac{-8+\sqrt{{{8}^{2}}-4.5.(-32)}}{2.5}$
$s=\frac{-8+\sqrt{704}}{10}$
$s=\frac{-8+8\sqrt{11}}{10}$
$s=\frac{-4+4\sqrt{11}}{5}$
Luas = ${{s}^{2}}$
$={{\left( \frac{-4+4\sqrt{11}}{5} \right)}^{2}}$
$=\frac{16-32\sqrt{11}+176}{25}$
$=\frac{192-32\sqrt{11}}{25}$
$=\frac{32}{25}(6-\sqrt{11})$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 16
Bilangan bundar positif terkecil $n$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{n}-\sqrt{n-1} < 0,01$ ialah …
A. 2499
B. 2500
C. 2501
D. 10000
E. tidak ada bilangan bundar yang memenuhi.
Pembahasan:
$\sqrt{n}-\sqrt{n-1} < 0,01$
$n-2\sqrt{n(n-1)}+n-1 < 0,0001$
$2n-2\sqrt{{{n}^{2}}-n} < 1,0001$
$2n-1,0001 < 2\sqrt{{{n}^{2}}-n}$
$4{{n}^{2}}-(4,0004)n+{{(1,0001)}^{2}} < 4{{n}^{2}}-4n$
$(0,0004)n > {{(1,0001)}^{2}}$
$n > {{\left( \frac{10001}{10000} \right)}^{2}}.\frac{10000}{4}$
$n > 2500,5$
$n$ bilangan bundar positif terkecil ialah 2501.
Jawaban: C
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 17 hingga nomor 20.
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 17
Diketahui bahwa $n$ ialah bilangan asli. Misalkan S(n) menyatakan jumlah setiap digit $n$ (sebagai contoh: $n=1234$, S(1234) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10), maka nilai S(S(n)) yang memenuhi persamaan $n+S(n)+S(S(n))=2013$ ialah …
(1) 2 (2) 5 (3) 8 (4) 20
Pembahasan:
$n+S(n)+S(S(n))=2013$
$n+S(n)+S(S(n))=2013$
Ambil $n=1991$, maka:
$S(1991)=1+9+9+1=20$
$S(S(n))=S(20)=2+0=2$
(1) $1991+20+2=2013$ BENAR
(2) 2003 + 5 + 5 = 2013 BENAR
(3) 1979 + 26 + 8 = 2013 BENAR
(4) tidak ada nilai yang memenuhi.
(1), (2), dan (3) BENAR
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 18
Untuk setiap $x$ dan $y$ anggota bilangan real berlaku sebuah system persamaan sebagai berikut.
$\left\{ \begin{matrix} x=2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}} \\ y=4xy \\ \end{matrix} \right.$
Nilai $x+y$ = …
(1) 0
(2) $\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\sqrt{6}$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\sqrt{6}$
Pembahasan:
Dari persamaan:
$y=4xy$
$y-4y=0$
$y(1-4x)=0\Rightarrow y=0\vee x=\frac{1}{4}$
$x+y=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$
Untuk $x=\frac{1}{4}$ substitusi ke:
$x=2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}$
$\frac{1}{4}=2.{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}$
$\frac{1}{8}=3{{y}^{2}}\Rightarrow {{y}^{2}}=\frac{1}{24}\Rightarrow y=\pm \frac{1}{12}\sqrt{6}$
Sehingga:
$x+y=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\sqrt{6}$ dan $x+y=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\sqrt{6}$ diperoleh pernyataan (2) dan (4) BENAR.
Untuk y = 0 substitusi ke:
$x=2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}$
$x=2{{x}^{2}}+{{3.0}^{2}}$
$2{{x}^{2}}-x=0$
$x(2x-1)=0\Rightarrow x=0\vee x=\frac{1}{2}$
Maka:
$x+y=0+0=0$ diperoleh pernyatan (1) BENAR
$x+y=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$ diperoleh pernyataan (3) BENAR.
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 19
Jika diketahui bahwa ${{2}^{\cos 2x}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}={{3.2}^{-\cos 2x}}$, nilai $x$ ialah …
(1) $\frac{\pi }{2}$ (2) $\frac{\pi }{3}$ (3) $\frac{3\pi }{2}$ (4) $\pi $
Pembahasan:
${{2}^{\cos 2x}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}={{3.2}^{-\cos 2x}}$
${{2}^{2{{\cos }^{2}}x-1}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}{{.2}^{2.{{\cos }^{2}}x}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}{{\left( {{2}^{{{\cos }^{2}}x}} \right)}^{2}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=\frac{3}{2}$
Misal: ${{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=p$ dan $p > 0$ maka:
$\frac{1}{2}{{p}^{2}}+p=\frac{3}{2}$
${{p}^{2}}+2p-3=0$
$(p+3)(p-1)=0$
$p=1$
${{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=1$
${{2}^{{{\cos }^{2}}x}}={{2}^{0}}\Rightarrow {{\cos }^{2}}x=0$
${{x}_{1}}=\frac{\pi }{2}$ atau ${{x}_{2}}=\frac{3\pi }{2}$ diperoleh pernyataan (1) dan (3) BENAR.
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 20
Diketahui $f'(x)={{x}^{3}}{{(x-a)}^{2}}(x-b)$ dengan $a < x < b$. Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ ialah …
(1) Jika $x < b$, $f(a)$ ialah nilai maksimum $f$.
(2) Jika $x < 0$, $f(b)$ ialah nilai maksimum $f$.
(3) Jika $x < 0$, $f$ merupakan fungsi turun.
(3) Jika $x < b$, $f$ merupakan fungsi naik.
Pembahasan:
$f'(x)={{x}^{3}}{{(x-a)}^{2}}(x-b)$
$0 < a < b$
Stasioner maka $f'(x)=0$
(1) SALAH, seharusnya $f(a)$ ialah titik belok.
(2) BENAR
(3) SALAH, seharusnya $f$ merupakan fungsi naik.
(4) BENAR
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 1
Dari 26 aksara alphabet dipilih satu per satu 8 aksara sembarang dengan cara pengembalian dan disusun sehingga membentuk kata. Probabilitas bahwa di antara kata-kata yang terbentuk mengandung subkata “SIMAKUI” dalam satu rangkaian kata yang tidak terpisah ialah ….
A. $\frac{26}{{{26}^{8}}}$ B. $\frac{52}{{{26}^{8}}}$ C. $\frac{26}{\left( \begin{matrix} 26 \\ 8 \\ \end{matrix} \right)}$ D. $\frac{52}{\left( \begin{matrix} 26 \\ 8 \\ \end{matrix} \right)}$ E. $\frac{1}{8}$
Pembahasan:
n(A) = banyak susunan 8 aksara yang didalamnya mengandung subkat “SIMAKUI”. Kemungkinannya ada 2 yaitu:
Kotak merah diisikan salah satu aksara dari 26 aksara alphabet, maka diperoleh:
n(A) = 2 x 26 = 52
n(S) = banyak susunan 8 aksara sembarang dari 26 aksara = ${{26}^{8}}$.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{52}{{{26}^{8}}}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 2
Jika ${}^{2}\log {{(}^{3}}\log {{(}^{4}}\log x))$ = $^{3}\log {{(}^{4}}\log {{(}^{2}}\log y))$ = $^{4}\log {{(}^{2}}\log {{(}^{3}}\log z))$ = 0, Nilai dari $x+y+z$ = …
A. 50 B. 58 C. 89 D. 111 E. 1296
Pembahasan:
*)
${}^{2}\log {{(}^{3}}\log {{(}^{4}}\log x))=0$
$^{3}\log {{(}^{4}}\log x)={{2}^{0}}$
$^{3}\log {{(}^{4}}\log x)=1$
$^{4}\log x={{3}^{1}}$
$x={{4}^{3}}=64$
*)
$^{3}\log {{(}^{4}}\log {{(}^{2}}\log y))=0$
$^{4}\log {{(}^{2}}\log y)={{3}^{0}}$
$^{4}\log {{(}^{2}}\log y)=1$
$^{2}\log y={{4}^{1}}$
$y={{2}^{4}}=16$
*)
$^{4}\log {{(}^{2}}\log {{(}^{3}}\log z))=0$
$^{2}\log {{(}^{3}}\log z)={{4}^{0}}$
$^{2}\log {{(}^{3}}\log z)=1$
$^{3}\log z={{2}^{1}}$
$z={{3}^{2}}=9$
*) maka $x+y+z=64+16+9=89$.
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 3
Diketahui bahwa $f(x)=mz+n$ dan $g(z)=pz+q$ untuk $m,n,p,q\in R$. Dengan demikian, $f(g(x))=g(f(x))$ akan mempunyai solusi untuk …
A. kalau dan hanya kalau $n(1-p)-q(1-m)=0$.
B. kalau dan hanya kalau $(1-n)(1-p)-(1-q)(1-m)=0$
C. kalau dan hanya kalau $m=p$ dan $n=q$.
D. kalau dan hanya kalau $mq-np=0$
E. setiap pilihan $m,n,p,q$.
Pembahasan:
$f(g(x))=g(f(x))$
$f(px+q)=g(mx+n)$
$m(px+q)+n=p(mx+n)+q$
$mpx+mq+n=pmx+pn+q$
$mq+n=pn+q$
$n-pn=q-mq$
$n(1-p)=(1-m)q$
$n(1-p)-(1-m)q=0$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 4
Jika r dan s ialah akar-akar persamaan $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ dan D ialah diskriminan dari persamaan tersebut, nilai dari $\frac{1}{{{r}^{2}}}+\frac{1}{{{s}^{2}}}$ ialah …
A. $\frac{D}{{{c}^{2}}}+\frac{2a}{c}$
B. $\frac{D}{2a}+c$
C. $\frac{D}{{{c}^{2}}}$
D. $\frac{D}{2a}$
E. $D$
Pembahasan:
$a{{x}^{2}}+bx+c=0$, akar-akarnya r dan s, maka:
$r+s=\frac{-b}{a}$ dan $r.s=\frac{c}{a}$
$D={{b}^{2}}-4ac$
$\frac{1}{{{r}^{2}}}+\frac{1}{{{s}^{2}}}=\frac{{{r}^{2}}+{{s}^{2}}}{{{r}^{2}}{{s}^{2}}}$
$=\frac{{{(r+s)}^{2}}-2rs}{{{(rs)}^{2}}}$
$=\frac{{{\left( \frac{-b}{a} \right)}^{2}}-2.\frac{c}{a}}{{{\left( \frac{c}{a} \right)}^{2}}}$
$=\frac{\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{2c}{a}}{\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}}$
$=\frac{{{b}^{2}}-2ac}{{{a}^{2}}}\times \frac{{{a}^{2}}}{{{c}^{2}}}$
$=\frac{{{b}^{2}}-2ac}{{{c}^{2}}}$
$=\frac{{{b}^{2}}-4ac}{{{c}^{2}}}+\frac{2ac}{{{c}^{2}}}$
$=\frac{D}{{{c}^{2}}}+\frac{2a}{c}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 5
Jika diketahui bahwa $x=\frac{1}{2013}-\frac{2}{2013}+\frac{3}{2013}-\frac{4}{2013}+...-\frac{2012}{2013}$, nilai $x$ yang memenuhi ialah …
A. $-\frac{1007}{2013}$
B. $-\frac{1006}{2013}$
C. $\frac{1}{2013}$
D. $\frac{1006}{2013}$
E. $\frac{1007}{2013}$
Pembahasan:
$1-2+3-4+...+2011-2012$
$=(1-2)+(3-4)+...+(2011-2012)$
$=(-1)+(-1)+...+(-1)$ {sebanyak 1006}
Maka:
$1-2+3-4+...-2012=(-1).1006=-1006$
$x=\frac{1}{2013}-\frac{2}{2013}+\frac{3}{2013}-\frac{4}{2013}+...-\frac{2012}{2013}$
$x=\frac{1-2+3-4+...-2012}{2013}$
$x=\frac{-1006}{2013}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 6
Diketahui bahwa ${{2}^{w}}.{{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}=2013$ untuk setiap a, b, c, d, x, y, z merupakan bilangan bundar positif dan w bilangan bundar nonnegative dengan $a < b < c$. Nilai $2w+ax+by+cz$ = …
A. 0 B. 3 C. 11 D. 75 E. 611
Pembahasan:
${{2}^{w}}.{{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}=2013$
Factor dari 2013 ialah 3, 11, dan 61 sehingga:
${{2}^{0}}{{.3}^{1}}{{.11}^{1}}{{.61}^{1}}=2013$
${{2}^{0}}{{.3}^{1}}{{.11}^{1}}{{.61}^{1}}={{2}^{w}}.{{a}^{x}}.{{b}^{y}}.{{c}^{z}}$
$w=0$, $a=3$, $x=1$, $b=11$, $y=1$, $c=61$, $z=1$
$2w+ax+by+cz=2.0+3.1+11.1+61.1=75$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 7
Perhatikan gambar berikut ini.
Himpunan penyelesaian system pertidaksamaan , , , ialah …
A. I B. II C. III D. IV E. V
Pembahasan:
Maka tempat penyelesaiannya ialah II.
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 8
Bilangan bundar terbesar $a$ sehingga hanya terdapat tiga pasangan bilangan bundar $(x,y)$ yang memenuhi system pertidaksamaan berikut:
$\left\{ \begin{matrix} 3y-x < 5 \\ y+ax < 11 \\ 4y+x > 9 \\ \end{matrix} \right.$
ialah …
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3
Pembahasan:
Tiga pasangan (x,y) bilangan bundar yang memenuhi sistem yaitu:
$(2,2)$, $(3,2)$, $(4,2)$
Substitusi ke: $y+ax < 11$
$(2,2)\to 2+2a < 11 \Leftrightarrow a < \frac{9}{2}=\{...,1,2,3,4\}$
$(3,2)\to 2+3a < 11 \Leftrightarrow a < 3=\{...,1,2\}$
$(4,2)\to 2+4a < 11 \Leftrightarrow a < \frac{9}{4}=\{...,1,2\}$
Sehingga nilai a terbesar ialah 2.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 9
Jika $A=\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{matrix} \right]$ dan ${{A}^{2}}-xA+yI=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ maka $x+y$ = …
A. 9 B. 14 C. 19 D. 23 E. 25
Pembahasan:
${{A}^{2}}-xA+yI=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$
${{A}^{2}}-xA+yI=0$
${{A}^{2}}=xA-yI$
${{\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{matrix} \right]}^{2}}=x\left[ \begin{matrix} 4 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{matrix} \right]-y\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4x & 3x \\ 2x & 5x \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} y & 0 \\ 0 & y \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} 22 & 27 \\ 18 & 31 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 4x-y & 3x \\ 2x & 5x-y \\ \end{matrix} \right]$
$3x=27\to x=9$
$4x-y=22\Leftrightarrow 4.9-y=22\Leftrightarrow y=14$
$x+y=9+14=23$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 10
Diketahui bilangan $a,b,c$ membentuk barisan geometri. Bilangan $a,b,c-2$ membentuk barisan aritmetika dan bilangan $a,b+2,c+10$ membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk $b$ ialah …
A. $\frac{14}{9}$ B. $\frac{20}{9}$ C. $\frac{32}{9}$ D. $\frac{40}{9}$ E. $\frac{80}{9}$
Pembahasan:
Barisan Geometri:
$a,b,c\Rightarrow {{b}^{2}}=ac$ …. (1)
Barisan Aritmetika:
$a,b,c-2\Rightarrow 2b=a+c-2$ …. (2)
Barisan Geometri:
$a,b+2,c+10$ maka:
${{(b+2)}^{2}}=a(c+10)$
${{b}^{2}}+4b+4=ac+10a$
${{b}^{2}}+4b+4={{b}^{2}}+10a$
$4b+4=10a$
$2b+2=5a$ …. (3)
Substitusi (2) ke (3), diperoleh:
$a+c-2+2=5a$
$c=4a$ substitusi ke (1)
${{b}^{2}}=ac\Leftrightarrow {{b}^{2}}=a.4a\Leftrightarrow b=\pm 2a$
Substitusi ke persamaan (3)
Untuk $b=2a$ maka:
$2b+2=5a$
$2.2a+2=5a$
$4a+2=5a$
$a=2$
$b=2a\to {{b}_{1}}=2.2=4$
Untuk $b=-2a$ maka:
$2b+2=5a$
$2(-2a)+2=5a$
$-4a+2=5a$
$a=\frac{2}{9}$
$b=-2a\to {{b}_{2}}=-2.\frac{2}{9}=-\frac{4}{9}$
${{b}_{1}}+{{b}_{2}}=4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9}$
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 11
$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x-2\sqrt{x+1}}}=...$
A. $\sqrt{3}+\sqrt{2}$
B. $5-2\sqrt{6}$
C. $2\sqrt{6}$
D. 5
E. $5+2\sqrt{6}$
Pembahasan:
$\underset{x\to 5}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+2\sqrt{x+1}}}{\sqrt{x-2\sqrt{x+1}}}$
$=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{6}}}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}$
$=\frac{\sqrt{(3+2)+2\sqrt{3.2}}}{\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3.2}}}$
$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\times \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
$=5+2\sqrt{6}$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 12
Sebuah matriks disebut matriks orthogonal kalau ${{A}^{-1}}={{A}^{T}}$. Jika diketahui $A=\left( \begin{matrix} a & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & b & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & c \\ \end{matrix} \right)$ maka ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ = …
A. -1 B. 0 C. $\frac{1}{9}$ D. $\frac{4}{9}$ E. 1
Pembahasan:
${{A}^{-1}}={{A}^{T}}$
$A.{{A}^{T}}=A.{{A}^{-1}}$
$A.{{A}^{T}}=I$
$\left( \begin{matrix} a & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & b & \frac{1}{3} \\ -\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & c \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a & \frac{2}{3} & -\frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & b & -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & c \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$
${{a}^{2}}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1\to {{a}^{2}}=\frac{1}{9}$
$\frac{4}{9}+{{b}^{2}}+\frac{1}{9}=1\to {{b}^{2}}=\frac{4}{9}$
$\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+{{c}^{2}}=1\to {{c}^{2}}=\frac{4}{9}$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{4}{9}=1$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 13
Diketahui sebuah data terdiri dari $n$ bilangan orisinil yang pertama. Jika salah satu data dihapus, rata-rata data yang tersisa ialah $\frac{61}{4}$. Bilangan yang dihapus tersebut ialah …
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 E. 12
Pembahasan:
Sn ialah jumlah n bilangan orisinil yang pertama $Sn=\frac{n(n+1)}{2}$.
Misal: data yang terhapus = x
${{\bar{x}}_{baru}}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}-x}{n-1}=\frac{61}{4}$
$2{{n}^{2}}+2n-4x=61n-61$
$2{{n}^{2}}-59n+61-4x=0$
Ambil x = 8, maka:
$2{{n}^{2}}-59n+61-4.8=0$
$2{{n}^{2}}-59n+29=0$
$(2n-1)(n-29)=0$
$n=29$
Sehingga data yang terhapus x = 8.
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 14
Diketahui $y$ ialah bilangan real terkecil yang merupakan penyelesaian dari pertidaksamaan $\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{4}} > \frac{1}{x}-\frac{1}{2}$. Nilai $y$ juga memenuhi pertidaksamaan berikut, kecuali …
A. $3+\frac{3}{2}y > 1$
B. $6-2y > 1$
C. $6y-3 < 1$
D. $3{{y}^{2}}+y > 1$
E. $6{{y}^{2}}-y < 1$
Pembahasan:
$\sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{4}} > \frac{1}{x}-\frac{1}{2}$ (kuadratkan kedua ruas)
$\frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{3}{4} > \frac{1}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{x}+\frac{1}{4}$
$\frac{1}{x}-1 > 0$
$\frac{1-x}{x} > 0$
$0 < x < 1$
$y$ ialah $x$ terkecil maka $y\cong 0$
Dari option yang diberikan, maka yang tidak memenuhi ialah option D.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 15
Diketahui bahwa salah satu sisi persegi ABCD menyinggung lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+1=0$ pada titik $(1,2)$. Dua titik sudut dari persegi tersebut terletak pada lingkaran ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-7=0$. Luas persegi ABCD ialah …
A. $\frac{32}{25}(1-\sqrt{11})$
B. $\frac{32}{25}(\sqrt{11}-6)$
C. $\frac{32}{25}(\sqrt{11}-1)$
D. $\frac{32}{25}(6-\sqrt{11})$
E. $\frac{32}{5}(\sqrt{11}-1)$
Pembahasan:
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y+1=0$
${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=1$, diperoleh:
Titik pusat (1,1) dan jari-jari (r) = 1.
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-7=0$
${{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=9$, diperoleh:
Titik sentra (1,1) dan jari-jari (R) = 3
Perhatikan gambar berikut ini.
Misal, panjang sisi persegi ABCD ialah s, maka: BC = s, AB = s, PQ = $\frac{AB}{2}=\frac{s}{2}$
Perhatikan segitiga PQC siku-siku di titik Q, berlaku teorema phythagoras:
$P{{Q}^{2}}+Q{{C}^{2}}=P{{C}^{2}}$
${{\left( \frac{s}{2} \right)}^{2}}+{{(s+1)}^{2}}={{3}^{2}}$
$\frac{{{s}^{2}}}{4}+{{s}^{2}}+2s+1=9$
$\frac{{{s}^{2}}}{4}+{{s}^{2}}+2s-8=0$ kali 4
${{s}^{2}}+4{{s}^{2}}+8s-32=0$
$5{{s}^{2}}+8s-32=0$
$s=\frac{-8+\sqrt{{{8}^{2}}-4.5.(-32)}}{2.5}$
$s=\frac{-8+\sqrt{704}}{10}$
$s=\frac{-8+8\sqrt{11}}{10}$
$s=\frac{-4+4\sqrt{11}}{5}$
Luas = ${{s}^{2}}$
$={{\left( \frac{-4+4\sqrt{11}}{5} \right)}^{2}}$
$=\frac{16-32\sqrt{11}+176}{25}$
$=\frac{192-32\sqrt{11}}{25}$
$=\frac{32}{25}(6-\sqrt{11})$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 16
Bilangan bundar positif terkecil $n$ yang memenuhi pertidaksamaan $\sqrt{n}-\sqrt{n-1} < 0,01$ ialah …
A. 2499
B. 2500
C. 2501
D. 10000
E. tidak ada bilangan bundar yang memenuhi.
Pembahasan:
$\sqrt{n}-\sqrt{n-1} < 0,01$
$n-2\sqrt{n(n-1)}+n-1 < 0,0001$
$2n-2\sqrt{{{n}^{2}}-n} < 1,0001$
$2n-1,0001 < 2\sqrt{{{n}^{2}}-n}$
$4{{n}^{2}}-(4,0004)n+{{(1,0001)}^{2}} < 4{{n}^{2}}-4n$
$(0,0004)n > {{(1,0001)}^{2}}$
$n > {{\left( \frac{10001}{10000} \right)}^{2}}.\frac{10000}{4}$
$n > 2500,5$
$n$ bilangan bundar positif terkecil ialah 2501.
Jawaban: C
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 17 hingga nomor 20.
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 17
Diketahui bahwa $n$ ialah bilangan asli. Misalkan S(n) menyatakan jumlah setiap digit $n$ (sebagai contoh: $n=1234$, S(1234) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10), maka nilai S(S(n)) yang memenuhi persamaan $n+S(n)+S(S(n))=2013$ ialah …
(1) 2 (2) 5 (3) 8 (4) 20
Pembahasan:
$n+S(n)+S(S(n))=2013$
$n+S(n)+S(S(n))=2013$
Ambil $n=1991$, maka:
$S(1991)=1+9+9+1=20$
$S(S(n))=S(20)=2+0=2$
(1) $1991+20+2=2013$ BENAR
(2) 2003 + 5 + 5 = 2013 BENAR
(3) 1979 + 26 + 8 = 2013 BENAR
(4) tidak ada nilai yang memenuhi.
(1), (2), dan (3) BENAR
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 18
Untuk setiap $x$ dan $y$ anggota bilangan real berlaku sebuah system persamaan sebagai berikut.
$\left\{ \begin{matrix} x=2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}} \\ y=4xy \\ \end{matrix} \right.$
Nilai $x+y$ = …
(1) 0
(2) $\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\sqrt{6}$
(3) $\frac{1}{2}$
(4) $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\sqrt{6}$
Pembahasan:
Dari persamaan:
$y=4xy$
$y-4y=0$
$y(1-4x)=0\Rightarrow y=0\vee x=\frac{1}{4}$
$x+y=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$
Untuk $x=\frac{1}{4}$ substitusi ke:
$x=2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}$
$\frac{1}{4}=2.{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{2}}+3{{y}^{2}}$
$\frac{1}{8}=3{{y}^{2}}\Rightarrow {{y}^{2}}=\frac{1}{24}\Rightarrow y=\pm \frac{1}{12}\sqrt{6}$
Sehingga:
$x+y=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\sqrt{6}$ dan $x+y=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}\sqrt{6}$ diperoleh pernyataan (2) dan (4) BENAR.
Untuk y = 0 substitusi ke:
$x=2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}$
$x=2{{x}^{2}}+{{3.0}^{2}}$
$2{{x}^{2}}-x=0$
$x(2x-1)=0\Rightarrow x=0\vee x=\frac{1}{2}$
Maka:
$x+y=0+0=0$ diperoleh pernyatan (1) BENAR
$x+y=\frac{1}{2}+0=\frac{1}{2}$ diperoleh pernyataan (3) BENAR.
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 19
Jika diketahui bahwa ${{2}^{\cos 2x}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}={{3.2}^{-\cos 2x}}$, nilai $x$ ialah …
(1) $\frac{\pi }{2}$ (2) $\frac{\pi }{3}$ (3) $\frac{3\pi }{2}$ (4) $\pi $
Pembahasan:
${{2}^{\cos 2x}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}={{3.2}^{-\cos 2x}}$
${{2}^{2{{\cos }^{2}}x-1}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}{{.2}^{2.{{\cos }^{2}}x}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=\frac{3}{2}$
$\frac{1}{2}{{\left( {{2}^{{{\cos }^{2}}x}} \right)}^{2}}+{{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=\frac{3}{2}$
Misal: ${{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=p$ dan $p > 0$ maka:
$\frac{1}{2}{{p}^{2}}+p=\frac{3}{2}$
${{p}^{2}}+2p-3=0$
$(p+3)(p-1)=0$
$p=1$
${{2}^{{{\cos }^{2}}x}}=1$
${{2}^{{{\cos }^{2}}x}}={{2}^{0}}\Rightarrow {{\cos }^{2}}x=0$
${{x}_{1}}=\frac{\pi }{2}$ atau ${{x}_{2}}=\frac{3\pi }{2}$ diperoleh pernyataan (1) dan (3) BENAR.
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2013 No. 20
Diketahui $f'(x)={{x}^{3}}{{(x-a)}^{2}}(x-b)$ dengan $a < x < b$. Pernyataan yang BENAR mengenai fungsi $f$ ialah …
(1) Jika $x < b$, $f(a)$ ialah nilai maksimum $f$.
(2) Jika $x < 0$, $f(b)$ ialah nilai maksimum $f$.
(3) Jika $x < 0$, $f$ merupakan fungsi turun.
(3) Jika $x < b$, $f$ merupakan fungsi naik.
Pembahasan:
$f'(x)={{x}^{3}}{{(x-a)}^{2}}(x-b)$
$0 < a < b$
Stasioner maka $f'(x)=0$
(1) SALAH, seharusnya $f(a)$ ialah titik belok.
(2) BENAR
(3) SALAH, seharusnya $f$ merupakan fungsi naik.
(4) BENAR
Jawaban: C
Artikel Terkait: |