Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 46
Jika ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ memenuhi ${{\left( {}^{3}\log (x+1) \right)}^{2}}=4$, maka nilai ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$ yakni …
A. 8 B. $\frac{64}{9}$ C. $-\frac{8}{9}$ D. $-\frac{64}{9}$ E. $-\frac{80}{9}$
Pembahasan:
${{\left( {}^{3}\log (x+1) \right)}^{2}}=4$
${}^{3}\log (x+1)=\pm 2$
Untuk (+)
${}^{3}\log (x+1)=2\Leftrightarrow x+1={{3}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{x}_{1}}=8$
Untuk (-)
${}^{3}\log (x+1)=-2\Leftrightarrow x+1={{3}^{-2}}$
$\Leftrightarrow x_2=\frac{-8}{9}$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=8.(-\frac{8}{9})=-\frac{64}{9}$
Kunci: D
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 47
Jika $A=\left[ \begin{matrix} a & 1 \\ b & 2 \\ \end{matrix} \right]$, $B=\left[ \begin{matrix} a & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$, dan $AB=\left[ \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \\ \end{matrix} \right]$, maka nilai $ab$ = …
A. 9 B. 10 C. 12 D. 14 E. 16
Pembahasan:
$AB=\left[ \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} a & 1 \\ b & 2 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} a & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} {{a}^{2}}+1 & a \\ ab+2 & b \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 10 & a \\ 14 & b \\ \end{matrix} \right]$
$ab+2=14\Leftrightarrow ab=14-2=12$
Kunci: C
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 48
Diketahui persegipanjang ABCD dengan $AB=\sqrt{15}$ cm dan $AD=\sqrt{5}$ cm. Jika E merupakan titik potong diagonal persegipanjang tersebut, maka besar $\angle BEC$ yakni …
A. ${{30}^{o}}$ B. ${{45}^{o}}$ C. ${{60}^{o}}$ D. ${{75}^{o}}$ E. ${{90}^{o}}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Pada segitiga ABC berlaku pythagoras, maka:
$\begin{align} AC&=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}} \\ &=\sqrt{{{(\sqrt{15})}^{2}}+{{(\sqrt{5})}^{2}}} \\ &=\sqrt{20} \\ AC&=2\sqrt{5} \end{align}$
$CE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{5}=\sqrt{5}$
$BE=CE=\sqrt{5}$
Perhatikan $\Delta BEC$, dengan $BC=\sqrt{5}$, $BE=\sqrt{5}$, $CE=\sqrt{5}$, artinya $\Delta BEC$ yakni segitiga sama sisi dan tentu masing-masing sudut dalamnya sama yaitu ${{60}^{o}}$, maka $\angle BEC={{60}^{o}}$.
Kunci: C
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 49
Sebelas siswa mengikuti tes. Guru mengumumkan bahwa jangkauan data nilai siswa tersebut yakni 15. Jika diumumkan tiga siswa memperoleh nilai 100, satu siswa memperoleh nilai 96, tiga siswa memperoleh nilai 90, serta dua siswa memperoleh nilai 86, maka nilai dua siswa yang belum diumumkan tersebut yang paling mungkin yakni …
A. 99 dan 85
B. 99 dan 88
C. 95 dan 91
D. 89 dan 87
E. 85 dan 84
Pembahasan:
Misal sebelas nilai siswa tersebut diurutkan menyerupai berikut:
${{x}_{1}}\le {{x}_{2}}\le {{x}_{3}}\le ...\le {{x}_{11}}$, dengan nilai maksimum 100
${{x}_{\max }}-{{x}_{\min }}=Jangkauan$
$100-{{x}_{1}}=15\Leftrightarrow {{x}_{1}}=85$
$-{{x}_{1}}=15-100$
$-{{x}_{1}}=-85$
${{x}_{1}}=85$ (nilai terendah)
Dari soal diperoleh data nilai sebagai berikut: 100, 100, 100, 96, 90, 90, 90, 86, 86, a, b ini mengatakan bahwa salah satu dari a atau b merupakan nilai minimal yaitu 85. Opsi yang memenuhi yakni A.
Kunci: A
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 50
Himpunan penyelesaian $x-\sqrt{6-x}\ge 0$ yakni …
A. $\{x|x\le -3$ atau $x\ge 2\}$
B. $\{x|x\le -3$ atau $2\le x\le 6\}$
C. $\{x|0\le x\le 6\}$
D. $\{x|2\le x\le 6\}$
E. $\{x|x\le 6\}$
Pembahasan:
(i) Syarat Akar: $\sqrt{a}\Rightarrow a\ge 0$ maka syarat $\sqrt{6-x}$ adalah:
$6-x\ge 0$
$-x\ge -6$
$x\le 6$
(ii) solusi:
$x\ge \sqrt{6-x}$ (catatan: hati-hati dengan bentuk akar simbol pertidaksamaan tidak dapat kita pertahankan untuk itu kita eksklusif cari $x$ pembuat nol.
$x=\sqrt{6-x}$
${{x}^{2}}=6-x$
${{x}^{2}}+x-6=0$
$(x+3)(x-2)=0$
$x=-3$ atau $x=2$
Untuk $x\le -3$, kita ambil $x=-4$, uji ke $x\ge \sqrt{6-x}\Leftrightarrow -4\ge \sqrt{10}$ tidak memenuhi.
Untuk $-3\le x\le 2$, kita ambil $x=0$, uji ke $0\ge \sqrt{6-0}\Leftrightarrow 0\ge \sqrt{6}$ tidak memenuhi.
Untuk $x\ge 2$, kita ambil $x=3$, uji ke $3\ge \sqrt{6-3}\Leftrightarrow 3\ge \sqrt{3}$ memenuhi.
Jadi, yang memenuhi$x\ge \sqrt{6-x}$ yakni $x\ge 2$
Dari (i) dan (ii) diperoleh himpunan penyelesaiannya yakni $\{x|2\le x\le 6\}$
Kunci: D
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 51
Jika A merupakan himpunan semua nila $c$ sehingga sistem persamaan linear $x-y=1$ dan $cx+y=1$ mempunyai penyelesaian di kuadrat I, maka A = …
A. $\{c|c=-1\}$
B. $\{c|c < -1\}$
C. $\{c|-1 < c < 1\}$
D. $\{c|c=1\}$
E. $\{c|c > 1\}$
Pembahasan:
$x-y=1$
$cx+y=1$
------------ (+)
$(c+1)x=2$
$x=\frac{2}{c+1}$, $x > 0$ maka:
$\frac{2}{c+1} > 0$
$c+1 > 0\Leftrightarrow c>-1$… (pertidaksaman 1)
$x=\frac{2}{c+1}$ substitusi ke: $x-y=1$, diperoleh:
$\frac{2}{c+1}-y=1$
$\frac{2}{c+1}-1=y$
$\frac{1-c}{c+1}=y$, $y > 0$ maka:
$\frac{1-c}{c+1} > 0$
$(1-c)(c+1) > 0$
$(c-1)(c+1) < 0$
$c=1$ atau $c=-1$, diperoleh:
$-1 < c < 1$ … (pertidaksamaan 2)
Dari pertidaksamaan 1 dan 2, diperoleh: $-1 < c < 1$
Kunci: C
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 52
Diketahui A = {9, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1}. Lima anggota A diambil secara acak. Peluang terambilnya lima anggota tersebut berjumlah genap yakni …
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{25}{56}$ C. $\frac{5}{12}$ D. $\frac{1}{4}$ E. $\frac{5}{56}$
Pembahasan:
Dari A = {9, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1} diambil 5 bilangan maka $n(S)=C_{5}^{8}=56$
Bilangan genap ada 3 yaitu {6, 4, 2}
Bilangan ganjil ada 5 yaitu {9, 7, 5, 3, 1}
Ingat: Genap + Genap = Genap, Ganjil + Ganjil = Ganjil
B = {terambil 5 bilangan secara acak yang jumlahnya genap}, maka kemungkinannya adalah:
1) terambil 2 ganjil dan 3 genap
$C_{2}^{5}\times C_{3}^{3}=10\times 1=10$
2) terambil 4 ganjil dan 1 genap
$C_{4}^{5}\times C_{1}^{3}=5\times 3=15$
$n(B)=10+15=25$
$P(B)=\frac{n(B)}{n(S)}=\frac{25}{56}$
Kunci: B
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 53
Diketahui suatu barisan geometri yang terdiri atas empat suku dengan rasio $\frac{1}{2}$ dan suku barisan aritmetika yang terdiri atas tiga suku dengan beda $b$. Jumlah semua suku barisan aritmetika tersebut masing-masing 1. Jika suku pertama barisan geometri tersebut sama dengan suku ketiga barisan aritmetika, maka nilai $b$ yakni …
A. $\frac{1}{15}$ B. $\frac{2}{15}$ C. $\frac{1}{5}$ D. $\frac{1}{3}$ E. $\frac{8}{15}$
Pembahasan:
Barisan Geometri: $r=\frac{1}{2}$, ${{s}_{4}}=1$
${{S}_{n}}=\frac{a(1-{{r}^{n}})}{1-r}$
$1=\frac{a\left( 1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{4}} \right)}{1-\frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2}=a.\frac{15}{16}\Leftrightarrow a=\frac{8}{15}$
Jadi, suku pertama barisan geometri tersebut yakni $a=\frac{8}{15}$.
Barisan Aritmetika: beda = $b$, ${{S}_{3}}=1$, ${{U}_{3}}$ = suku pertama barisan geometri, maka ${{U}_{3}}=\frac{8}{15}$
${{S}_{n}}=\frac{n}{2}\left( a+{{U}_{n}} \right)$
${{S}_{3}}=\frac{3}{2}\left( a+{{U}_{3}} \right)=1$
$a+{{U}_{3}}=\frac{2}{3}$
$a=\frac{2}{3}-{{U}_{3}}$
$a=\frac{2}{3}-\frac{8}{15}=\frac{2}{15}$
${{U}_{3}}=a+2b=\frac{8}{15}$
$2b=\frac{8}{15}-a$
$2b=\frac{8}{15}-\frac{2}{15}$
$2b=\frac{6}{15}\Leftrightarrow b=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}$
Kunci: C
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 54
Jika puncak grafik fungsi $y=p{{x}^{2}}-qx-1$ sama dengan puncak grafik fungsi $y={{x}^{2}}-2x+4$, maka nilai $p+q$ yakni …
A. -12 B. -4 C. 0 D. 4 E. 12
Pembahasan:
Teori: $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ maka Puncak: $\left( \frac{-b}{2a},\frac{{{b}^{2}}-4ac}{-4a} \right)$ dan sumbu simetri: $x=\frac{-b}{2a}$
$y={{x}^{2}}-2x+4$ puncak $\left( \frac{2}{2.1},\frac{{{(-2)}^{2}}-4.1.4}{-4.1} \right)=(1,3)$ mempunyai puncak yang sama dengan $y=p{{x}^{2}}-qx-1$, sehingga diperoleh:
$(x,y)\Rightarrow y=p{{x}^{2}}-qx-1$
$\Rightarrow 3=p{{.1}^{2}}-q.1-1$
$\Rightarrow 3=p{{.1}^{2}}-q.1-1$
$\Rightarrow q+4=p$
Jika puncak sama, maka sumbu simetrinya juga sama, sehingga diperoleh:
$x=\frac{-b}{2a}$
$1=\frac{q}{2p}$
$q=2p$
$q=2(q+4)$
$q=2q+8$
$-q=8\Leftrightarrow q=-8$
$p=q+4\Leftrightarrow p=-8+4=-4$
$p+q=-4+-8=-12$
Kunci: A
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 55
Diketahui $p>0$, serta $p$ dan ${{p}^{2}}-2$ merupakan akar ${{x}^{2}}-10x+c=0$. Jika $c$ merupakan salah satu akar ${{x}^{2}}+ax+42=0$, maka nilai $a$ yakni …
A. -23 B. -21 C. -12 D. 21 E. 23
Pembahasan:
${{x}^{2}}-10x+c=0$ akar-akarnya $p$ dan ${{p}^{2}}-2$, maka jumlah akarnya adalah:
$p+{{p}^{2}}-2=\frac{-b}{a}=10$
${{p}^{2}}+p-12=0$
$(p+4)(p-3)=0$
$p=-4$ atau $p=3$
Karena $p>0$ maka nilai yang memenuhi yakni $p=3$.
Hasil kali akar-akar ${{x}^{2}}-10x+c=0$ adalah:
$p({{p}^{2}}-2)=c$
$3({{3}^{2}}-2)=c$
$21=c$
Salah satu akar ${{x}^{2}}+ax+42=0$ yakni $c=21=x$, maka:
${{21}^{2}}+21a+42=0$
$21+a+2=0$
$a=-23$
Kunci: A
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 56
Jika $f(x)=\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}$ dan $g(x)=\frac{1}{x-2}$, maka himpunan penyelesaian $\frac{f(x).g(x)}{(f\circ g)(x)} < 0$ yakni ...A. {$x|x < 1$ atau $x > 3$}
B. {$x|x < 1$ atau $2 < x < 3$
C. {$x|x < 1$ atau $1 < x < 2$}
D. {$x|1 < x < 2$ atau $x > 3$}
E. {$x|2 < x < 3$ atau $x > 3$}
Pembahasan:
$\frac{\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}}.\frac{1}{(x-2)}}{\frac{1}{{{\left( \frac{1}{x-2}-1 \right)}^{2}}}} < 0$
$\frac{\frac{1}{{{(x-1)}^{2}}(x-2)}}{\frac{1}{{{\left( \frac{3-x}{x-2} \right)}^{2}}}} < 0$, dari pertidaksamaan ini kita peroleh nilai $x\ne 1$, $x\ne 2$, $x\ne 3$, dengan garis bilangan kita uji:
$\{x|x < 1$ atau $1 < x < 2\}$
Kunci: C
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 57
Diketahui $f$ dan $g$ merupakan fungsi yang mempunyai invers. Jika $f(g(x))=x+1$ dan $g(x+2)=x-4$, maka ${{f}^{-1}}(2)+{{g}^{-1}}(2)=...$
A. -5 B. -3 C. 1 D. 3 E. 5
Pembahasan:
$g(x+2)=x-4$
$g(x+2)=(x+2)-6$
$g(x)=x-6$
${{g}^{-1}}(x)=x+6$
$f(g(x))=x+1$
$f(x-6)=x+1$
$f(x-6)=(x-6)+7$
$f(x)=x+7$
${{f}^{-1}}(x)=x+7$
${{f}^{-1}}(2)+{{g}^{-1}}(2)=\left( 2+7 \right)+\left( 2+6 \right)=5$
Kunci: D
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 58
$\int{\left( \frac{-16-6{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}} \right)}dx$ = …
A. $\frac{16}{x}+2{{x}^{3}}+c$
B. $\frac{16}{x}-2{{x}^{3}}+c$
C. $-\frac{16}{x}-{{x}^{3}}+c$
D. $-\frac{8}{x}+2{{x}^{3}}+c$
E. $\frac{8}{x}-2{{x}^{3}}+c$
Pembahasan:
$\int{\left( \frac{-16-6{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}} \right)}dx$
$=\int{(-16-6{{x}^{4}}){{x}^{-2}}}dx$
$=\int{(-16{{x}^{-2}}-6{{x}^{2}})}dx$
$=\frac{-16}{-2+1}{{x}^{-2+1}}-\frac{6}{2+1}{{x}^{2+1}}+c$
$=\frac{16}{x}-2{{x}^{3}}+c$
Kunci: B
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 59
Diketahui $f(x)=a{{x}^{2}}-4x+1$ dan $g(x)=3{{x}^{2}}+ax+2$. Jika $h(x)=f(x)+g(x)$ dan $k(x)=f(x).g(x)$ dengan $h'(0)=-3$ maka nilai $k'(0)$ yakni …
A. -7 B. -4 C. -3 D. 0 E. 2
Pembahasan:
$h(x)=f(x)+g(x)$
$h(x)=a{{x}^{2}}-4x+1+3{{x}^{2}}+ax+2$
$h'(x)=2ax-4+6x+a$
$h'(0)=2a.0-4+6.0+a=-3\Leftrightarrow a=1$
Maka:
$f(x)={{x}^{2}}-4x+1\Leftrightarrow f(0)=1$
$f'(x)=2x-4\Leftrightarrow f'(0)=-4$
$g(x)=3{{x}^{2}}+x+2\Leftrightarrow g(0)=2$
$g'(x)=6x+1\Leftrightarrow g'(0)=1$
$k(x)=f(x).g(x)$
$k'(x)=f(x)'.g(x)+f(x).g'(x)$
$k'(0)=f(0)'.g(0)+f(0).g'(0)$
$k'(0)=-4.2+1.1=-7$
Kunci: A
Matematika Dasar SBMPTN 2018 Kode 527 No. 60
Diketahui $O(0,0)$, $A(2,0)$, $B(2,y)$, $C(0,y)$ dan $D(0,\tfrac{1}{2}y)$. Nilai $\underset{y\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{keliling\Delta BCD}{keliling\Delta OABD}$ yakni …
A. $\frac{5+2\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{5+\sqrt{5}}{10}$
C. $\frac{1}{2}\sqrt{5}$
D. $\frac{5-2\sqrt{5}}{5}$
E. $\frac{5-\sqrt{5}}{10}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
Pada segitiga BCD berlaku teorema pythagoras:
$BD=\sqrt{B{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}$
$BD=\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( \frac{1}{2}y \right)}^{2}}}$
$BD=\sqrt{4+\frac{1}{4}{{y}^{2}}}$
Keliling BCD = BC + CD + BD
$=2+\frac{1}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}{{y}^{2}}}$
Keliling OABD = OA + AB + BD + DO
$=2+y+\sqrt{4+\frac{1}{4}{{y}^{2}}}+\frac{1}{2}y$
$=2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}{{y}^{2}}}$
$\underset{y\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{keliling\Delta BCD}{keliling\Delta OABD}$
$=\underset{y\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{2+\frac{1}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}{{y}^{2}}}}{2+\frac{3}{2}y+\sqrt{4+\frac{1}{4}{{y}^{2}}}}$
$=\frac{2+\frac{1}{2}.2+\sqrt{4+\frac{1}{4}{{.2}^{2}}}}{2+\frac{3}{2}.2+\sqrt{4+\frac{1}{4}{{.2}^{2}}}}$
$=\frac{3+\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}\times \frac{5-\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}$
$=\frac{10+2\sqrt{5}}{20}$
$=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$
Kunci: B
Artikel Terkait: |