Berikut ini ialah Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN Tahun 2014 dengan kode soal 614. Mungkin soal ini bagi beberapa orang sudah expire, tapi bagi yang ingin mencar ilmu aku yakin bahwa tidak ada istilah expire, dan aku berharap soal dan pembahasan ini bermanfaat bagi teman-teman pengunjung setiap "Catatan Matematika", dan kiranya soal ini sanggup dijadikan sebagai materi belajar. Seperti biasa, cobalah mencar ilmu itu dimulai secara sanggup bangkit diatas kaki sendiri dengan cara d0wnl0ad soal tanpa pembahasan, sehabis itu silahkan didiskusikan atau dipelajari pembahasan berikut ini.
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 1
Jika $\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)={{\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$ dengan $x\ne -\frac{1}{2}$, maka nilai $\frac{1}{2}x+y$ = …
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)={{\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)=\frac{1}{2x+1}\left( \begin{matrix} x & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)=\frac{1}{2x+1}\left( \begin{matrix} 4x+1 \\ 4-2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{4x+1}{2x+1} \\ \frac{2}{2x+1} \\ \end{matrix} \right)$
$y=\frac{4x+1}{2x+1}$
$x=\frac{2}{2x+1}\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=\frac{1}{2x+1}$
$\begin{align} \frac{1}{2}x+y &=\frac{1}{2x+1}+\frac{4x+1}{2x+1} \\ &=\frac{4x+2}{2x+1} \\ \frac{1}{2}x+y &=\frac{2(2x+1)}{2x+1}=2 \end{align}$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 2
Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin orisinil dan satu koin palsu ialah …
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{16}{33}$ C. $\frac{1}{12}$ D. $\frac{1}{16}$ E. $\frac{1}{32}$
Pembahasan:
Dari 4 koin palsu dan 8 koin orisinil terambil dua koin maka $n(S)={}_{12}{{C}_{2}}=\frac{12!}{2!10!}=66$.
Kejadian A = {terambil 1 koin orisinil dan 1 koin palsu}, maka $n(A)={}_{8}{{C}_{1}}.{}_{4}{{C}_{1}}=8.4=32$.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{32}{66}=\frac{16}{33}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 3
Jika $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$, $x\ne 1$, maka ${{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right)$ = …
A. $-f(x)$
B. $-f(-x)$
C. $\frac{1}{f(x)}$
D. $\frac{1}{f(-x)}$
E. $-\frac{1}{f(x)}$
Pembahasan:
$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\Leftrightarrow {{f}^{-1}}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$f(x)=\frac{x+1}{x-1}\Leftrightarrow {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+1}{x-1}$
$\begin{align} {{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right) &=\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-1} \\ &=\frac{\frac{1+x}{x}}{\frac{1-x}{x}}=\frac{x+1}{1-x} \\ &=-\left( \frac{x+1}{x-1} \right) \\ {{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right) &=-f(x) \end{align}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 4
Tiga puluh data memiliki rata-rata $p$ . Jika rata-rata 20% data diantaranya ialah $p+0,1$. 40% lainnya ialah $p-0,1$, 10% lainnya lagi ialah $p-0,5$, dan rata-rata 30% data sisanya ialah $p+q$, maka $q$ = ….
A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{7}{30}$ C. $\frac{4}{15}$ D. $\frac{3}{10}$ E. $\frac{3}{3}$
Pembahasan:
${{n}_{total}}=30\to {{\bar{x}}_{total}}=p$
${{n}_{1}}=20%.30=6\to {{\bar{x}}_{1}}=p+0,1$
${{n}_{2}}=40%.30=12\to {{\bar{x}}_{2}}=p-0,1$
${{n}_{3}}=10%.30=3\to {{\bar{x}}_{3}}=p-0,5$
${{n}_{4}}=30%.30=9\to {{\bar{x}}_{4}}=p+q$
${{n}_{total}}.{{\bar{x}}_{total}}={{n}_{1}}.{{\bar{x}}_{1}}+{{n}_{2}}.{{\bar{x}}_{2}}+{{n}_{3}}.{{\bar{x}}_{3}}+{{n}_{4}}.{{\bar{x}}_{4}}$
$30p=6(p+0,1)+12(p-0,1)+3(p-0,5)+9(p+q)$
$30p=6p+0,6+12p-1,2+3p-1,5+9p+9q$
$30p=30p+9q-2,1$
$2,1=9q\Leftrightarrow q=\frac{2,1}{9}=\frac{7}{30}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 5
Nilai $\frac{1}{2}$ + $({}^{3}log8)({}^{2}log3+{}^{4}log5)$ - $4{}^{9}log45$ ialah …
A. $\frac{3}{2}\log 15$
B. ${}^{3}log225$
C. ${}^{3}log\sqrt{15}$
D. $-{}^{9}log15$
E. $-{}^{3}log15$
Pembahasan:
$\frac{1}{2}$ + $({}^{3}log8)({}^{2}log3+{}^{4}log5)$ - $4{}^{9}log45$
= $\frac{1}{2}$ + $({}^{3}log{{2}^{3}})({}^{2}log3+{}^{{{2}^{2}}}log5)$ - $4.{}^{{{3}^{2}}}log45$
= $\frac{1}{2}$ + $(3.{}^{3}log2)({}^{2}log3+{}^{2}log\sqrt{5})$ - $4.{}^{3}log\sqrt{45}$
= $\frac{1}{2}$ + $3.{}^{3}log2.{}^{2}log3\sqrt{5}$-$4.{}^{3}log3\sqrt{5}$
= ${}^{3}\log {{3}^{\frac{1}{2}}}$ + $3.{}^{3}log3\sqrt{5}$-$4.{}^{3}log3\sqrt{5}$
= ${}^{3}\log \sqrt{3}-{}^{3}log3\sqrt{5}$
= ${}^{3}\log \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$
= ${}^{3}\log \frac{1}{\sqrt{15}}$
= $-{}^{3}\log \sqrt{15}$
= $-{}^{{{3}^{2}}}\log {{\left( \sqrt{15} \right)}^{2}}$
= $-{}^{9}\log 15$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 6
Jika fungsi $f(x)={{a}^{2}}{{x}^{2}}-12x+{{c}^{2}}$ menyinggung sumbu X di $x=\frac{2}{3}$, maka ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}$ = …
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 7
Pembahasan:
$f(x)={{a}^{2}}{{x}^{2}}-12x+{{c}^{2}}$
$f'(x)=2{{a}^{2}}x-12$ menyinggung sumbu X di $x=\frac{2}{3}$, maka:
$f'\left( \frac{2}{3} \right)=0$
$2{{a}^{2}}.\frac{2}{3}-12=0$
$\frac{4}{3}{{a}^{2}}=12\Leftrightarrow {{a}^{2}}=9$
$f(x)={{a}^{2}}{{x}^{2}}-12x+{{c}^{2}}$ menyinggung sumbu X, maka:
D = 0
${{b}^{2}}-4ac=0$
${{12}^{2}}-4.{{a}^{2}}{{c}^{2}}=0$
${{12}^{2}}-4.9.{{c}^{2}}=0$
$144=36{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{c}^{2}}=4$
${{a}^{2}}-{{c}^{2}}=9-4=5$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 7
Garis $l$ memiliki gradien 2. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-{{x}^{2}}+px+1$ di $x=1$, maka persamaan $l$ ialah …
A. y = 2x – 3
B. y = 2x – 1
C. y = 2x
D. y = 2x + 2
E. y = 2x + 4
Pembahasan:
$f(x)=-{{x}^{2}}+px+1$
$f'(x)=-2x+p$ gradiennya di $x=1$ ialah 2, maka:
$f'(1)=2$
$-2.1+p=2\Leftrightarrow p=4$
$f(x)=-{{x}^{2}}+4x+1$
${{x}_{1}}=1\Rightarrow {{y}_{1}}=-{{1}^{2}}+4.1+1=4$
Persamaan garis $l$ di titik (1,4) dengan gradien m = 2 adalah:
$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$
$y-4=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x+2$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 8
Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ${{2}^{2x+2}}-17({{2}^{x}})+4 < 0$
A. $\frac{1}{2} < x < 2$
B. $\frac{1}{4} < x < 4$
C. $-\frac{1}{4} < x < 2$
D. $0 < x < 2$
E. $-2 < x < 2$
Pembahasan:
${{2}^{2x+2}}-17({{2}^{x}})+4 < 0$
${{2}^{2x}}{{.2}^{2}}-17({{2}^{x}})+4 < 0$
$4{{({{2}^{x}})}^{2}}-17({{2}^{x}})+4 < 0$
Misal: ${{2}^{x}}=p$ maka:
$4{{p}^{2}}-17p+4 < 0$
$(4p-1)(p-4) < 0$
$\frac{1}{4} < p < 4$, ingat: ${{2}^{x}}=p$, maka:
${{2}^{-2}} < {{2}^{x}} < {{2}^{2}}$
$-2 < x < 2$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 9
Diketahui ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+3x+p=0$ dengan ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$, ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$, dan $x_{1}^{2}x_{2}^{2}$ merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika maka $p$ = …
A. -3 B. -1 C. 0 D. 1 E. 3
Pembahasan:
${{x}^{2}}+3x+p=0$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$, maka:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=p$
$x_{1}^{2}x_{2}^{2}={{p}^{2}}$
Barisan aritmetika:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$, ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$, $x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
$-3,p,{{p}^{2}}$, maka:
$2{{U}_{2}}={{U}_{1}}+{{U}_{3}}$
$2p=-3+{{p}^{2}}$
${{p}^{2}}-2p-3=0$
$(p-3)(p+1)=0$
$p=3$ atau $p=-1$
Jawaban: B/E
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 10
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{{{x}^{2}}-2x} < \sqrt{3x+6}$ ialah …
A. {$x|-1 < x < 6$}
B. {$x|-2 < x \le 0$ atau $x \ge 2$}
C. {$x|x \ge -2$}
D. {$x|-2 < x \le 0$ atau $2 \le x < 6$}
E. {$x|-1 < x \le 0$ atau $2 \le x < 6$}
Pembahasan:
$\sqrt{{{x}^{2}}-2x} < \sqrt{3x+6}$
i)
${{x}^{2}}-2x \ge 0$
$x(x-2) \ge 0$
$x \le 0$ atau $x \ge 2$
ii) $3x+6 \ge 0\Leftrightarrow x \ge -2$
iii)
$\sqrt{{{x}^{2}}-2x} < \sqrt{3x+6}$
${{x}^{2}}-2x < 3x+6$
${{x}^{2}}-5x-6 < 0$
$(x-6)(x+1) < 0$
$-1 < x < 6$
Dari i), ii) dan iii) diperoleh:
$x|-1 < x \le 0$ atau $2 \le x < 6$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 11
Jika $\cos x=2\sin x$, maka nilai $\sin x.\cos x$ ialah …
A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{2}{5}$ E. $\frac{2}{3}$
Pembahasan:
$\cos x=2\sin x$
$\cos x=2\sin x$, bagi dengan $\sin x$
$\frac{\cos x}{\sin x}=2$
$\cot x=\frac{2}{1}=\frac{sa}{de}$
$mi=\sqrt{d{{e}^{2}}+s{{a}^{2}}}$
$mi=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$
Maka:
$\sin x.\cos x=\frac{de}{mi}.\frac{sa}{mi}=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 12
Jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 dari suatu barisan aritmetika ialah 55, sedangkan suku ke-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut ialah …
A. 17 B. 35 C. 37 D. 40 E. 60
Pembahasan:
Barisan Aritmetika: ${{U}_{n}}=a+(n-1)b$
${{U}_{4}}+{{U}_{5}}=55$
$a+3b+a+4b=55\Leftrightarrow 2a+7b=55$
${{U}_{9}}-2{{U}_{2}}=1$
$a+8b-2(a+b)=1\Leftrightarrow -a+6b=1$
$\begin{align} 2a+7b &=55|\times 1 \\ -a+6b & =1|\times 2 \\ \end{align}$
$2a+7b=55$
$-2a+12b=2$
------------------ ( + )
$19b=57\Rightarrow b=3$
Substitusi ke:
$2a+7b=55\Leftrightarrow 2a+7.3=55\Leftrightarrow a=17$
${{S}_{n}}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
${{S}_{3}}=\frac{3}{2}(2a+2b)$
${{S}_{3}}=\frac{3}{2}(2.17+2.3)=60$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 13
Seorang penjahit akan memuat 2 model pakaian. Dia memiliki persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin sanggup dibentuk ialah …
A. 10 B. 20 C. 22 D. 25 E. 30
Pembahasan:
Misalkan:
$x$ = banyak pakaian model A
$y$ = banyak pakaian model B
Kain batik: $x+2y\le 40$ | kali 2
Kain polos: $1,5x+0,5y\le 15$| kali 2
Maka:
$2x+4y\le 80$
$3x+y\le 30$
---------------- (+)
$5x+5y\le 110$
$x+y\le 22$
Jadi, jumlah maksimum pakaian yang sanggup dibentuk ialah 22.
Jawaban: C
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 14
Jika ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ akar-akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}$ dan $2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}$ ialah …
A. ${{x}^{2}}-11x+19=0$
B. ${{x}^{2}}+11x+19=0$
C. ${{x}^{2}}-11x-19=0$
D. ${{x}^{2}}-19x+11=0$
E. ${{x}^{2}}+19x+11=0$
Pembahasan:
PK. Awal: ${{x}^{2}}+3x+1=0$ akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$.
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3$ dan ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1$
PK. Baru: akar-akar $2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}$ dan $2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}$
Jumlah akar (J)
$J=2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}+2+\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}$
$J=4+\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$
$J=4+\frac{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$
$J=4+\frac{{{(-3)}^{2}}-2.1}{1}$
$J=11$
Hasil kali akar (K)
$K=\left( 2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right).\left( 2+\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)$
$K=4+2\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right)+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}.\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}$
$K=4+2.7+1$
$K=19$
PK. Baru:
${{x}^{2}}-Jx+K=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-11x+19=0$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 15
Agar sistem persamaan:
$\left\{ \begin{matrix} 2x-y-1=0 \\ 4x-y-5=0 \\ ax-y-7=0 \\ \end{matrix} \right.$
Mempunyai penyelesaian, maka nilai $a$ ialah …
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
Pembahasan:
$2x-y-1=0$
$4x-y-5=0$
----------------- (-)
$-2x=-4\Leftrightarrow x=2$
Substitusi ke:
$2x-y-1=0$
$2.2-y-1=0\Leftrightarrow 3=y$
Titik $(2,3)$ melalui $ax-y-7=0$ maka:
$a.2-3-7=0\Leftrightarrow 2a=10\Leftrightarrow a=5$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 1
Jika $\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)={{\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$ dengan $x\ne -\frac{1}{2}$, maka nilai $\frac{1}{2}x+y$ = …
A. -4 B. -2 C. 0 D. 2 E. 4
Pembahasan:
$\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)={{\left( \begin{matrix} 2 & 1 \\ -1 & x \\ \end{matrix} \right)}^{-1}}\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)=\frac{1}{2x+1}\left( \begin{matrix} x & -1 \\ 1 & 2 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 4 \\ -1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)=\frac{1}{2x+1}\left( \begin{matrix} 4x+1 \\ 4-2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} y \\ x \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \frac{4x+1}{2x+1} \\ \frac{2}{2x+1} \\ \end{matrix} \right)$
$y=\frac{4x+1}{2x+1}$
$x=\frac{2}{2x+1}\Leftrightarrow \frac{1}{2}x=\frac{1}{2x+1}$
$\begin{align} \frac{1}{2}x+y &=\frac{1}{2x+1}+\frac{4x+1}{2x+1} \\ &=\frac{4x+2}{2x+1} \\ \frac{1}{2}x+y &=\frac{2(2x+1)}{2x+1}=2 \end{align}$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 2
Empat koin palsu dicampur dengan delapan koin asli. Jika dua koin diambil secara acak, maka peluang terambil satu koin orisinil dan satu koin palsu ialah …
A. $\frac{1}{2}$ B. $\frac{16}{33}$ C. $\frac{1}{12}$ D. $\frac{1}{16}$ E. $\frac{1}{32}$
Pembahasan:
Dari 4 koin palsu dan 8 koin orisinil terambil dua koin maka $n(S)={}_{12}{{C}_{2}}=\frac{12!}{2!10!}=66$.
Kejadian A = {terambil 1 koin orisinil dan 1 koin palsu}, maka $n(A)={}_{8}{{C}_{1}}.{}_{4}{{C}_{1}}=8.4=32$.
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{32}{66}=\frac{16}{33}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 3
Jika $f(x)=\frac{x+1}{x-1}$, $x\ne 1$, maka ${{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right)$ = …
A. $-f(x)$
B. $-f(-x)$
C. $\frac{1}{f(x)}$
D. $\frac{1}{f(-x)}$
E. $-\frac{1}{f(x)}$
Pembahasan:
$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}\Leftrightarrow {{f}^{-1}}(x)=\frac{-dx+b}{cx-a}$
$f(x)=\frac{x+1}{x-1}\Leftrightarrow {{f}^{-1}}(x)=\frac{x+1}{x-1}$
$\begin{align} {{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right) &=\frac{\frac{1}{x}+1}{\frac{1}{x}-1} \\ &=\frac{\frac{1+x}{x}}{\frac{1-x}{x}}=\frac{x+1}{1-x} \\ &=-\left( \frac{x+1}{x-1} \right) \\ {{f}^{-1}}\left( \frac{1}{x} \right) &=-f(x) \end{align}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 4
Tiga puluh data memiliki rata-rata $p$ . Jika rata-rata 20% data diantaranya ialah $p+0,1$. 40% lainnya ialah $p-0,1$, 10% lainnya lagi ialah $p-0,5$, dan rata-rata 30% data sisanya ialah $p+q$, maka $q$ = ….
A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{7}{30}$ C. $\frac{4}{15}$ D. $\frac{3}{10}$ E. $\frac{3}{3}$
Pembahasan:
${{n}_{total}}=30\to {{\bar{x}}_{total}}=p$
${{n}_{1}}=20%.30=6\to {{\bar{x}}_{1}}=p+0,1$
${{n}_{2}}=40%.30=12\to {{\bar{x}}_{2}}=p-0,1$
${{n}_{3}}=10%.30=3\to {{\bar{x}}_{3}}=p-0,5$
${{n}_{4}}=30%.30=9\to {{\bar{x}}_{4}}=p+q$
${{n}_{total}}.{{\bar{x}}_{total}}={{n}_{1}}.{{\bar{x}}_{1}}+{{n}_{2}}.{{\bar{x}}_{2}}+{{n}_{3}}.{{\bar{x}}_{3}}+{{n}_{4}}.{{\bar{x}}_{4}}$
$30p=6(p+0,1)+12(p-0,1)+3(p-0,5)+9(p+q)$
$30p=6p+0,6+12p-1,2+3p-1,5+9p+9q$
$30p=30p+9q-2,1$
$2,1=9q\Leftrightarrow q=\frac{2,1}{9}=\frac{7}{30}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 5
Nilai $\frac{1}{2}$ + $({}^{3}log8)({}^{2}log3+{}^{4}log5)$ - $4{}^{9}log45$ ialah …
A. $\frac{3}{2}\log 15$
B. ${}^{3}log225$
C. ${}^{3}log\sqrt{15}$
D. $-{}^{9}log15$
E. $-{}^{3}log15$
Pembahasan:
$\frac{1}{2}$ + $({}^{3}log8)({}^{2}log3+{}^{4}log5)$ - $4{}^{9}log45$
= $\frac{1}{2}$ + $({}^{3}log{{2}^{3}})({}^{2}log3+{}^{{{2}^{2}}}log5)$ - $4.{}^{{{3}^{2}}}log45$
= $\frac{1}{2}$ + $(3.{}^{3}log2)({}^{2}log3+{}^{2}log\sqrt{5})$ - $4.{}^{3}log\sqrt{45}$
= $\frac{1}{2}$ + $3.{}^{3}log2.{}^{2}log3\sqrt{5}$-$4.{}^{3}log3\sqrt{5}$
= ${}^{3}\log {{3}^{\frac{1}{2}}}$ + $3.{}^{3}log3\sqrt{5}$-$4.{}^{3}log3\sqrt{5}$
= ${}^{3}\log \sqrt{3}-{}^{3}log3\sqrt{5}$
= ${}^{3}\log \frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}$
= ${}^{3}\log \frac{1}{\sqrt{15}}$
= $-{}^{3}\log \sqrt{15}$
= $-{}^{{{3}^{2}}}\log {{\left( \sqrt{15} \right)}^{2}}$
= $-{}^{9}\log 15$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 6
Jika fungsi $f(x)={{a}^{2}}{{x}^{2}}-12x+{{c}^{2}}$ menyinggung sumbu X di $x=\frac{2}{3}$, maka ${{a}^{2}}-{{c}^{2}}$ = …
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 E. 7
Pembahasan:
$f(x)={{a}^{2}}{{x}^{2}}-12x+{{c}^{2}}$
$f'(x)=2{{a}^{2}}x-12$ menyinggung sumbu X di $x=\frac{2}{3}$, maka:
$f'\left( \frac{2}{3} \right)=0$
$2{{a}^{2}}.\frac{2}{3}-12=0$
$\frac{4}{3}{{a}^{2}}=12\Leftrightarrow {{a}^{2}}=9$
$f(x)={{a}^{2}}{{x}^{2}}-12x+{{c}^{2}}$ menyinggung sumbu X, maka:
D = 0
${{b}^{2}}-4ac=0$
${{12}^{2}}-4.{{a}^{2}}{{c}^{2}}=0$
${{12}^{2}}-4.9.{{c}^{2}}=0$
$144=36{{c}^{2}}\Leftrightarrow {{c}^{2}}=4$
${{a}^{2}}-{{c}^{2}}=9-4=5$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 7
Garis $l$ memiliki gradien 2. Jika $l$ menyinggung grafik fungsi $f(x)=-{{x}^{2}}+px+1$ di $x=1$, maka persamaan $l$ ialah …
A. y = 2x – 3
B. y = 2x – 1
C. y = 2x
D. y = 2x + 2
E. y = 2x + 4
Pembahasan:
$f(x)=-{{x}^{2}}+px+1$
$f'(x)=-2x+p$ gradiennya di $x=1$ ialah 2, maka:
$f'(1)=2$
$-2.1+p=2\Leftrightarrow p=4$
$f(x)=-{{x}^{2}}+4x+1$
${{x}_{1}}=1\Rightarrow {{y}_{1}}=-{{1}^{2}}+4.1+1=4$
Persamaan garis $l$ di titik (1,4) dengan gradien m = 2 adalah:
$y-{{y}_{1}}=m(x-{{x}_{1}})$
$y-4=2(x-1)\Leftrightarrow y=2x+2$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 8
Semua nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ${{2}^{2x+2}}-17({{2}^{x}})+4 < 0$
A. $\frac{1}{2} < x < 2$
B. $\frac{1}{4} < x < 4$
C. $-\frac{1}{4} < x < 2$
D. $0 < x < 2$
E. $-2 < x < 2$
Pembahasan:
${{2}^{2x+2}}-17({{2}^{x}})+4 < 0$
${{2}^{2x}}{{.2}^{2}}-17({{2}^{x}})+4 < 0$
$4{{({{2}^{x}})}^{2}}-17({{2}^{x}})+4 < 0$
Misal: ${{2}^{x}}=p$ maka:
$4{{p}^{2}}-17p+4 < 0$
$(4p-1)(p-4) < 0$
$\frac{1}{4} < p < 4$, ingat: ${{2}^{x}}=p$, maka:
${{2}^{-2}} < {{2}^{x}} < {{2}^{2}}$
$-2 < x < 2$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 9
Diketahui ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+3x+p=0$ dengan ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ kedua-duanya tidak sama dengan nol. Jika ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$, ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$, dan $x_{1}^{2}x_{2}^{2}$ merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika maka $p$ = …
A. -3 B. -1 C. 0 D. 1 E. 3
Pembahasan:
${{x}^{2}}+3x+p=0$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$, maka:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3$
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=p$
$x_{1}^{2}x_{2}^{2}={{p}^{2}}$
Barisan aritmetika:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$, ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}$, $x_{1}^{2}x_{2}^{2}$
$-3,p,{{p}^{2}}$, maka:
$2{{U}_{2}}={{U}_{1}}+{{U}_{3}}$
$2p=-3+{{p}^{2}}$
${{p}^{2}}-2p-3=0$
$(p-3)(p+1)=0$
$p=3$ atau $p=-1$
Jawaban: B/E
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 10
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\sqrt{{{x}^{2}}-2x} < \sqrt{3x+6}$ ialah …
A. {$x|-1 < x < 6$}
B. {$x|-2 < x \le 0$ atau $x \ge 2$}
C. {$x|x \ge -2$}
D. {$x|-2 < x \le 0$ atau $2 \le x < 6$}
E. {$x|-1 < x \le 0$ atau $2 \le x < 6$}
Pembahasan:
$\sqrt{{{x}^{2}}-2x} < \sqrt{3x+6}$
i)
${{x}^{2}}-2x \ge 0$
$x(x-2) \ge 0$
$x \le 0$ atau $x \ge 2$
ii) $3x+6 \ge 0\Leftrightarrow x \ge -2$
iii)
$\sqrt{{{x}^{2}}-2x} < \sqrt{3x+6}$
${{x}^{2}}-2x < 3x+6$
${{x}^{2}}-5x-6 < 0$
$(x-6)(x+1) < 0$
$-1 < x < 6$
Dari i), ii) dan iii) diperoleh:
$x|-1 < x \le 0$ atau $2 \le x < 6$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 11
Jika $\cos x=2\sin x$, maka nilai $\sin x.\cos x$ ialah …
A. $\frac{1}{5}$ B. $\frac{1}{4}$ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{2}{5}$ E. $\frac{2}{3}$
Pembahasan:
$\cos x=2\sin x$
$\cos x=2\sin x$, bagi dengan $\sin x$
$\frac{\cos x}{\sin x}=2$
$\cot x=\frac{2}{1}=\frac{sa}{de}$
$mi=\sqrt{d{{e}^{2}}+s{{a}^{2}}}$
$mi=\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{5}$
Maka:
$\sin x.\cos x=\frac{de}{mi}.\frac{sa}{mi}=\frac{1}{\sqrt{5}}.\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 12
Jumlah suku ke-4 dan suku ke-5 dari suatu barisan aritmetika ialah 55, sedangkan suku ke-9 dikurangi dua kali suku ke-2 bernilai 1. Jumlah tiga suku pertama barisan tersebut ialah …
A. 17 B. 35 C. 37 D. 40 E. 60
Pembahasan:
Barisan Aritmetika: ${{U}_{n}}=a+(n-1)b$
${{U}_{4}}+{{U}_{5}}=55$
$a+3b+a+4b=55\Leftrightarrow 2a+7b=55$
${{U}_{9}}-2{{U}_{2}}=1$
$a+8b-2(a+b)=1\Leftrightarrow -a+6b=1$
$\begin{align} 2a+7b &=55|\times 1 \\ -a+6b & =1|\times 2 \\ \end{align}$
$2a+7b=55$
$-2a+12b=2$
------------------ ( + )
$19b=57\Rightarrow b=3$
Substitusi ke:
$2a+7b=55\Leftrightarrow 2a+7.3=55\Leftrightarrow a=17$
${{S}_{n}}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
${{S}_{3}}=\frac{3}{2}(2a+2b)$
${{S}_{3}}=\frac{3}{2}(2.17+2.3)=60$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 13
Seorang penjahit akan memuat 2 model pakaian. Dia memiliki persediaan kain batik 40 meter dan kain polos 15 meter. Model A memerlukan 1 meter kain batik dan 1,5 meter kain polos, sedang model B memerlukan 2 meter kain batik dan 0,5 meter kain polos. Maksimum banyak pakaian yang mungkin sanggup dibentuk ialah …
A. 10 B. 20 C. 22 D. 25 E. 30
Pembahasan:
Misalkan:
$x$ = banyak pakaian model A
$y$ = banyak pakaian model B
Kain batik: $x+2y\le 40$ | kali 2
Kain polos: $1,5x+0,5y\le 15$| kali 2
Maka:
$2x+4y\le 80$
$3x+y\le 30$
---------------- (+)
$5x+5y\le 110$
$x+y\le 22$
Jadi, jumlah maksimum pakaian yang sanggup dibentuk ialah 22.
Jawaban: C
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 14
Jika ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ akar-akar persamaan kuadrat ${{x}^{2}}+3x+1=0$, maka persamaan kuadrat dengan akar-akar $2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}$ dan $2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}$ ialah …
A. ${{x}^{2}}-11x+19=0$
B. ${{x}^{2}}+11x+19=0$
C. ${{x}^{2}}-11x-19=0$
D. ${{x}^{2}}-19x+11=0$
E. ${{x}^{2}}+19x+11=0$
Pembahasan:
PK. Awal: ${{x}^{2}}+3x+1=0$ akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$.
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-3$ dan ${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=1$
PK. Baru: akar-akar $2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}$ dan $2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}$
Jumlah akar (J)
$J=2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}+2+\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}$
$J=4+\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$
$J=4+\frac{{{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}$
$J=4+\frac{{{(-3)}^{2}}-2.1}{1}$
$J=11$
Hasil kali akar (K)
$K=\left( 2+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right).\left( 2+\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right)$
$K=4+2\left( \frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}} \right)+\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}.\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}$
$K=4+2.7+1$
$K=19$
PK. Baru:
${{x}^{2}}-Jx+K=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-11x+19=0$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2014 No. 15
Agar sistem persamaan:
$\left\{ \begin{matrix} 2x-y-1=0 \\ 4x-y-5=0 \\ ax-y-7=0 \\ \end{matrix} \right.$
Mempunyai penyelesaian, maka nilai $a$ ialah …
A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
Pembahasan:
$2x-y-1=0$
$4x-y-5=0$
----------------- (-)
$-2x=-4\Leftrightarrow x=2$
Substitusi ke:
$2x-y-1=0$
$2.2-y-1=0\Leftrightarrow 3=y$
Titik $(2,3)$ melalui $ax-y-7=0$ maka:
$a.2-3-7=0\Leftrightarrow 2a=10\Leftrightarrow a=5$
Jawaban: B
Artikel Terkait: |