SIMAK UI-2015. Selamat pagi sahabat-sahabatku guru yang HEBAT dan LUAR BIASA. Selamat pagi adik-adik p0juang Perguruan Tinggi Negeri dan p0juang SIMAK UI. Catatan Matematika kembali mengupdate pembahasan matematika dasar SIMAK UI tahun 2015. Dan kembali aku ingatkan teknik berguru sederhana, usahakan terlebih dahulu menjawab soal secara berdikari (d0wnl0ad soal), selanjutnya lirik pembahasan ini, bila kurang paham silahkan diskusikan di kolom komentar atau silahkan sharing bersama teman, guru, abang/kakak pengajar bimbel ya...!
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 1
Nilai minimum fungsi $z=4x+3y$ pada himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:
$x\ge 0$, $y\ge 0$, $2x+3y\ge 6$; $3x-2y\le 9$, dan $x+5y\le 20$ ialah ….
A. 0 B. 2 C. 6 D. 12 E. 29
Pembahasan:
Untuk menuntaskan sistem pertidaksamaan linear, kita harus menciptakan skema kawasan himpunan penyelesaiannya:
Tentukan titik potong terhadap sumbu Y dan sumbu X, diperoleh:
$2x + 3y = 6 \rightarrow (0,2), \, (3,0)$
$3x - 2y = 9 \rightarrow (0,-\frac{9}{2}), \, (3,0)$
$x + 5y = 20 \rightarrow (0,4), \, (20,0)$
perhatikan gambar berikut:
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 11
Diketahui garis $2x+(p-2)y+1=0$ sejajar dengan garis $(p-1)x+6y+7=0$. Misalkan $a$ dan $b$ ialah nilai-nilai $p$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut dengan $a < b$
A. 15 B. 10 C. 6 D. 3 E. 2
Pembahasan:
$2x + (p-2)y + 1 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-2}{p-2}$
$(p-1)x + 6y + 7 = 0 \rightarrow m_2 = \frac{-(p-1)}{6}$
Kedua garis sejajar maka:
${{m}_{1}}={{m}_{2}}$
$\frac{-2}{p-2}=\frac{-(p-1)}{6}$
$(p-2)(p-1)=12$
${{p}^{2}}-3p+2=12$
${{p}^{2}}-3p-10=0$
$(p+2)(p-5)=0$
$p = -2$ atau $p=5$, $a < b$ maka:
$a = -2$ dan $b = 5$
$^{{{(a+7)}^{\frac{1}{5}}}}\log {{b}^{2}}$
${{=}^{{{(-2+7)}^{\frac{1}{5}}}}}\log {{5}^{2}}$
${{=}^{{{5}^{\frac{1}{5}}}}}\log {{5}^{2}}$
$=\frac{2}{\frac{1}{5}}{{\times }^{5}}\log 5$
$=10$
Jadi, nilai $^{{{(a+7)}^{\frac{1}{5}}}}\log {{b}^{2}}=10$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 12
Perkalian akar-akar real dari persamaan $\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}$ + $\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-45}$ - $\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-69}=0$ ialah …
A. -39 B. -10 C. 2 D. 10 E. 39
Pembahasan:
Misal: ${{x}^{2}}-10x-29=y$
$\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}+\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-45}-\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-69}=0$
$\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}+\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29-16}-\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-29-40}=0$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{y-16}-\frac{2}{y-40}=0$
$\frac{(y-16)(y-40)+y(y-40)-2y(y-16)}{y(y-16)(y-40)}=0$
$\frac{{{y}^{2}}-56y+16.40+{{y}^{2}}-40y-2{{y}^{2}}+32y}{y(y-16)(y-40)}=0$
$\frac{-64y+16.40}{y(y-16)(y-40)}=0$
$-64y+16.40=0$
$y=10$
Nilai $y=10$ substitusi ke:
${{x}^{2}}-10x-29=y$
${{x}^{2}}-10x-29=10$
${{x}^{2}}-10x-39=0$, akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ maka:
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-39}{1} = -39$
Jadi, perkalian akar-akar realnya ialah $-39$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 13
Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-10x+a=0$ mempunyai tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat ${{x}^{2}}+10x-a=0$ dimana $a$ ialah sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+2ax-5=0$ ialah …
A. 36 B. 20 C. 18 D. 15 E. 10
Pembahasan:
*) $x^2 - 10x + a = 0 \,$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-(-10)}{1}\to {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10$ .... pers (1)
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{a}{1}\to {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=a\to {{x}_{1}}=\frac{a}{{{x}_{2}}}$ .... pers (2)
*) $x^2 + 10x - a = 0 \,$ akar-akarnya $-{{x}_{2}}$ dan ${{x}_{3}}$, alasannya salah satu akarnya mempunyai tanda yang berlawanan dengan akar persamaan $x^2 - 10x + a = 0 \,$.
${{x}_{3}}+(-{{x}_{2}})=\frac{-(10)}{1}\to {{x}_{3}}-{{x}_{2}}=-10$ .... pers (3)
${{x}_{3}}.(-{{x}_{2}})=\frac{-a}{1}\to -{{x}_{3}}.{{x}_{2}}=-a\to {{x}_{3}}=\frac{a}{{{x}_{2}}}$ .... pers (4)
*) Eliminasi pers (1) ke pers (3)
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10$
${{x}_{3}}-{{x}_{2}}=-10$
---------------- (+)
${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0$
*) Substitusi pers (2) ke pers (4) ke:
${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0$
$\frac{a}{{{x}_{2}}}+\frac{a}{{{x}_{2}}}=0$
$\frac{2a}{{{x}_{2}}}=0$
$2a=0\Leftrightarrow a=0$
Substitusi ke:
${{x}^{2}}+2ax-5=0$
${{x}^{2}}+2.0.x-5=0$
${{x}^{2}}-5=0$
$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=0$
$x=-\sqrt{5}$ atau $x=\sqrt{5}$
Jumlah kuadratnya adalah:
$={{\left( -\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}=10$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 14
Diketahui $a$ dan $b$ ialah bilangan bundar positif yang tidak sama dengan satu dan persamaan ${{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x=\frac{{{\log }_{x}}b}{{{\log }_{x}}a}$. Nilai $(a+b)x$ ialah …
A. $ab+{{b}^{2}}$ atau $\frac{a}{b}+1$
B. ${{a}^{2}}b+ab$ atau $\frac{{{a}^{2}}}{b}+a$
C. $ab+{{a}^{2}}$ atau $\frac{b}{a}+1$
D. $ab+a{{b}^{2}}$ atau $\frac{{{b}^{2}}}{a}+a$
E. $2a+2{{b}^{2}}$ atau $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}$
Pembahasan:
${{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x=\frac{{{\log }_{x}}b}{{{\log }_{x}}a}$
$^{a}\log x{{.}^{b}}\log x=\frac{^{x}\log b}{^{x}\log a}$
$\frac{1}{^{x}\log a}{{.}^{b}}\log x=\frac{1}{^{b}\log x{{.}^{x}}\log a}$
$^{b}\log x=\frac{1}{^{b}\log x}$
${{{{(}^{b}}\log x)}^{2}}=1$
$^{b}\log x=\pm 1$
$^{b}\log x=1\to x=b$ atau $^{b}\log x=-1\to x={{b}^{-1}}=\frac{1}{b}$
*). Untuk $x = b$
$(a+b)x = (a+b)b = ab + b^2$
*) Untuk $x = \frac{1}{b}$
$(a+b)x = (a+b)\frac{1}{b} = \frac{a}{b} + 1$
Jadi, nilai $(a+b)x \,$ ialah $ab + b^2 \,$ atau $\frac{a}{b}+1$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 15
Misalkan $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)$, $D=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \\ \end{matrix} \right)$, dan $P=\left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \\ \end{matrix} \right)$ dengan $a$, $b$ ialah bilangan-bilangan real, sedemikian sehingga $A=PD{{P}^{T}}$, maka pernyataan berikut ialah benar, KECUALI …
A. ${{P}^{T}}={{P}^{-1}}$
B. $\det A=\det D$
C. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$
D. $\det P=\det A$
E. ${{P}^{-1}}=P$
Pembahasan:
Determinan matriks masing-masing :
$A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A) = 1.4 - 2.2 = 0$
$D = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(D) = 0.5 - 0.0 = 0$
$P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \rightarrow Det(P) = -a^2 -b^2 = -(a^2 + b^2 )$
$A=PD{{P}^{T}}$
$\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 5b \\ 0 & -5a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5{{b}^{2}} & -5ab \\ -5ab & 5{{a}^{2}} \\ \end{matrix} \right)$
$5{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow {{b}^{2}}=\frac{1}{5}$
$5{{a}^{2}}=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\frac{4}{5}$
Nilai ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$ (opsi C, BENAR)
$Det(P)=-({{a}^{2}}+{{b}^{2}})=-1$
$\det (A)\ne \det (P)$ (opsi D, SALAH)
Jawaban: D
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 16 hingga nomor 20.
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 16
Misalkan $g(x)=4-{{x}^{2}}$ dan $f(g(x))=\frac{2-{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}},x\ne 0$ maka …
(1) $f\left( \frac{1}{4} \right).f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{80}$
(2) $f\left( \frac{1}{4} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-47}{210}$
(3) $f\left( \frac{1}{4} \right)-f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{105}$
(4) $\frac{f\left( \frac{1}{2} \right)}{f\left( \frac{1}{4} \right)}=\frac{45}{49}$
Pembahasan:
$f(g(x))=\frac{2-{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}},x\ne 0$
$f(4-{{x}^{2}})=\frac{2-{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}}$
Misal: $4-{{x}^{2}}=a\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4-a$
$f(a)=\frac{2-(4-a)}{4(4-a)}$
$f(a)=\frac{a-2}{16-4a}$
$f\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{\frac{1}{4}-2}{16-4.\frac{1}{4}}=\frac{-7}{60}$
$f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{\frac{1}{2}-2}{16-4.\frac{1}{2}}=\frac{-3}{28}$
Pernyataan (1):
$f\left( \frac{1}{4} \right).f\left( \frac{1}{2} \right)$
$=\frac{\frac{-7}{4}}{15}.\frac{\frac{-3}{2}}{14}=\frac{1}{80}$ (pernyataan 1, BENAR).
Pernyataan (2):
$f\left( \frac{1}{4} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)$= $\frac{-7}{60}+\frac{-3}{28}=\frac{-47}{210}$ (pernyataan 2, BENAR)
Pernyataan (3):
$f\left( \frac{1}{4} \right)-f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-7}{60}-\frac{-3}{28}=\frac{-1}{105}$ (pernyataan 3, BENAR).
Pernyataan (4):
$\frac{f\left( \frac{1}{2} \right)}{f\left( \frac{1}{4} \right)}=\frac{\frac{-3}{28}}{\frac{-7}{60}}=\frac{-3}{28}\times \frac{60}{-7}=\frac{45}{49}$ (pernyataan 4, BENAR)
Sesuai dengan Petunjuk C, semua pernyataan BENAR maka opsi E.
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 17
Misalkan $f(x)=2x$, $0\le x\le \frac{1}{2}$ dan $f(x)=2-2x$, $\frac{1}{2} < x \le1$. Jika ${{f}^{(2)}}(x)=f(f(x))$ dan ${{f}^{(n+1)}}(x)={{f}^{(n)}}(f(x))$ maka pernyataan berikut yang BENAR ...
(1) ${{f}^{(n)}}(0)=0$
(2) ${{f}^{(n)}}(1)=0$, $n > 1$
(3) ${{f}^{(n)}}\left( \frac{1}{2} \right)=0$, $n > 2$
(4) ${{f}^{(n)}}\left( \frac{1}{4} \right)=0$, $n > 3$
Pembahasan:
*) $f(x)=2x$, $0\le x\le \frac{1}{2}$
$f(0)=2.0=0$
$f\left( \frac{1}{4} \right)=2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
$f\left( \frac{1}{2} \right)=2.\frac{1}{2}=1$
*) $f(x)=2-2x$, $\frac{1}{2} < x \le 1$, maka:
$f(1)=2-2.1=0$
Pernyataan (1):
$f(0) = 0$
${{f}^{(2)}}(0) = f(f(0)) = f(0) = 0$
${{f}^{(3)}}(0) = {{f}^{(2)}}(f(x)) = {{f}^{(2)}}(0) = 0$
Dengan contoh yang sama, maka ${{f}^{(n)}}(0) = 0$ (pernyataan 1, BENAR)
Pernyataan (2):
$f(1) = 0$
${{f}^{(2)}}(1) = f(f(1)) = f(0) = 0$
${{f}^{(3)}}(1) = {{f}^{(2)}}(f(1)) = {{f}^{(2)}}(0) = 0$
dst… maka ${{f}^{(n)}}(1) = 0$, $n > 1$ (pernyataan 2, BENAR).
Pernyataan (3):
$f\left( \frac{1}{2} \right) = 1$
${{f}^{(2)}}\left( \frac{1}{2} \right) = f\left( f\left( \frac{1}{2} \right) \right) = f(1) = 0$
${{f}^{(3)}}\left( \frac{1}{2} \right) = {{f}^{(2)}}\left( f\left( \frac{1}{2} \right) \right) = {{f}^{(2)}}(1) = 0$
${{f}^{(n)}}\left( \frac{1}{2} \right) = 0$, $n > 2$ (pernyataan , BENAR)
Pernyataan (4):
$f\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}$
${{f}^{(2)}}\left( \frac{1}{4} \right)=f\left( f\left( \frac{1}{4} \right) \right) = f\left( \frac{1}{2} \right) = 1$
${{f}^{(3)}}\left( \frac{1}{4} \right) = {{f}^{(2)}}\left( f\left( \frac{1}{4} \right) \right) = {{f}^{(2)}}\left( \frac{1}{2} \right) = 0$
${{f}^{(4)}}\left( \frac{1}{4} \right) = {{f}^{(3)}}\left( f\left( \frac{1}{4} \right) \right) = {{f}^{(3)}}\left( \frac{1}{2} \right) = 0$
${{f}^{(n)}}\left( \frac{1}{4} \right) = 0$, $n > 3$ (pernyataan 4, BENAR)
Kesimpulan: semua pernyataan benar maka opsi E.
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 18
Misalkan turunan kedua dari $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$ di titik (1,2) ialah 0 dan garis singgung di titik (1,2) tegak lurus dengan garis $2y-x=3$, maka pernyataan berikut yang BENAR ialah …
(1) Nilai dari $2{{a}^{2}}+3b+c=6$
(2) f(x) naik pada interval $\left( 1-\frac{\sqrt{6}}{6},1+\frac{\sqrt{6}}{6} \right)$
(3) Jumlahan semua nilai a, b, dan c ialah 2.
(4) f(x) turun pada $x < 1 -\frac{\sqrt{6}}{6}$ atau $x > 1+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Pembahasan:
*) $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$ melalui titik (1,2) maka:
$2=a{{.1}^{3}}+b{{.1}^{2}}+c.1$
$a+b+c=2$ … pers (1)
*) $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$
$f'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
$f''(x)=6ax+2b$, $f''(x)=0$ untuk $x=1$ maka:
$f''(1)=6a.1+2b=0$
$3a+b=0$ … pers (2)
*) $2y-x=3\to {{m}_{1}}=\frac{1}{2}$ tegak lurus dengan garis singgung (gradien m) maka $m=\frac{-1}{{{m}_{1}}}=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2$.
*) gradien garis singgung $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$ di (1,2) adalah:
$f'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
$-2=3a{{.1}^{2}}+2b.1+c$
$3a+2b+c=-2$ … pers (3)
*) Eliminasi pers (3) dan pers (1)
$3a+2b+c=-2$
$a+b+c=2$
------------------- (-)
$2a+b=-4$ … pers (4)
*) Eliminasi pers (2) dan pers (4)
$3a+b=0$
$2a+b=-4$
-------------- (-)
$a=4$ substitusi ke pers (4)
$2a+b=-4\Leftrightarrow 2.4+b=-4\Leftrightarrow b=-12$ substitusi ke pers (1)
$a+b+c=2\Leftrightarrow 4-12+c=2\Leftrightarrow c=10$
Pernyataan (1):
$2{{a}^{2}}+3b+c={{2.4}^{2}}+3(-12)+10=6$ (BENAR)
Pernyataan (2) dan pernyataan (4):
$f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$
$f(x)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+10x$
$f(x)$ naik maka $f'(x) > 0$
$f'(x)=12{{x}^{2}}-24x+10 > 0$
$6{{x}^{2}}-12x+5 > 0$
$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-(-12)\pm \sqrt{{{(-12)}^{2}}-4.6.5}}{2.6}$
$x=\frac{12\pm 2\sqrt{6}}{2.6}$
$x=1-\frac{\sqrt{6}}{6}$ atau $x=1+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Fungsi $f(x)$ naik pada interval: $x < 1-\frac{\sqrt{6}}{6}$ atau $x > 1+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Fungsi $f(x)$ turun pada interval $1-\frac{\sqrt{6}}{6} < x < 1+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Pernyataan (2) dan Pernyataan (4) SALAH.
Pernyataan (3):
$a+b+c=4+(-12)+10=2$ (BENAR)
Jawaban: B (1 dan 3 BENAR)
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 19
Misalkan x, y, dan z memenuhi sistem persamaan berikut:
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=6$
$\frac{1}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=-2$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=3$
Pernyataan berikut yang BENAR ialah …
(1) Selisih nilai x dan y ialah $\frac{1}{6}$
(2) Jumlah nilai-nilai x, y, dan z ialah 1.
(3) $\left| \begin{matrix} x & y & z \\ -x & y & z \\ -x & -y & z \\ \end{matrix} \right|=\frac{2}{15}$
(4) ${{\log }_{x}}y.{{\log }_{y}}z={{\log }_{3}}5$
Pembahasan:
Eliminasi persamaan (1) dan (2):
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=6$
$\frac{1}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=-2$
------------------- (-)
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=8$ …. Pers (4)
Eliminasi persamaan (2) dan (3):
$\frac{1}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=-2$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=3$
------------------ (+)
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=1$ …. Pers (5)
Persamaan (4) dikali dengan 2 kemudian jumlahkan dengan persamaan (5):
$\frac{2}{x}+\frac{4}{y}=16$
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=1$
------------- (-)
$\frac{5}{y}=15\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}$
Substitusi $y=\frac{1}{3}$ ke persamaan (4):
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=8$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{\frac{1}{3}}=8$
$\frac{1}{x}+6=8\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
Substitusi $x=\frac{1}{2}$ dan $y=\frac{1}{5}$ ke persamaan (2):
$\frac{1}{\frac{1}{2}}-\frac{3}{\frac{1}{3}}+\frac{1}{z}=-2$
$2-9+\frac{1}{z}=-2\Leftrightarrow z=\frac{1}{5}$
Pernyataan (1):
$x-y=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ (BENAR)
Pernyataan (2):
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15+10+6}{30}=\frac{31}{30}$ (SALAH)
Pernyataan (3):
$\left| \begin{matrix} x & y & z \\ -x & y & z \\ -x & -y & z \\ \end{matrix} \right|$
$=(xyz-xyz+xyz)-(-xyz-xyz-xyz)$
$=4xyz$
$=4.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{5}$
$=\frac{2}{15}$ (BENAR)
Pernyataan (4):
${{\log }_{x}}y.{{\log }_{y}}z$
${{=}^{x}}\log y{{.}^{y}}\log z$
${{=}^{x}}\log z$
${{=}^{\frac{1}{2}}}\log \frac{1}{5}$
${{=}^{{{2}^{-1}}}}\log {{5}^{-1}}$
$=\frac{-1}{-1}{{.}^{2}}\log 5$
${{=}^{2}}\log 5$
$={{\log }_{2}}5$ (SALAH)
Jawaban: B (1 dan 3 BENAR)
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 20
Jika a, b > 0 maka pertidaksamaan berikut yang BENAR ialah …
(1) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$
(2) $2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})\ge {{(a+b)}^{2}}$
(3) $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
(4) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$
Pembahasan:
Pernyataan (1):
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{1}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ (BENAR)
Pernyataan (2):
${{(a-b)}^{2}}\ge 0$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\ge 0$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$ (kedua ruas ditambah ${{a}^{2}}$ dan ${{b}^{2}}$)
$2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab$
$2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})\ge {{(a+b)}^{2}}$ (BENAR)
Pernyataan (3):
$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ (BENAR)
Pernyataan (4):
${{(a-b)}^{2}}\ge 0$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\ge 0$ (kedua ruas ditambah 4ab)
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab\ge 4ab$
${{(a+b)}^{2}}\ge 4ab$
$\frac{a+b}{ab}\ge \frac{4}{a+b}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ (BENAR)
Jawaban: E (semua pernyataan BENAR)
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 1
Nilai minimum fungsi $z=4x+3y$ pada himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan:
$x\ge 0$, $y\ge 0$, $2x+3y\ge 6$; $3x-2y\le 9$, dan $x+5y\le 20$ ialah ….
A. 0 B. 2 C. 6 D. 12 E. 29
Pembahasan:
Untuk menuntaskan sistem pertidaksamaan linear, kita harus menciptakan skema kawasan himpunan penyelesaiannya:
Tentukan titik potong terhadap sumbu Y dan sumbu X, diperoleh:
$2x + 3y = 6 \rightarrow (0,2), \, (3,0)$
$3x - 2y = 9 \rightarrow (0,-\frac{9}{2}), \, (3,0)$
$x + 5y = 20 \rightarrow (0,4), \, (20,0)$
perhatikan gambar berikut:
Titik D ialah titik potong $3x-2y=9$ dan $x+5y=20$
$\begin{matrix} 3x-2y=9 & |\times 5 \\ x+5y=20 & |\times 2 \\ \end{matrix}$
$15x-10y=45$
$2x+10y=40$
----------------- (+)
$17x=85\Leftrightarrow x=5$
Substitusi ke:
$x+5y=20$
$5+5y=20\Leftrightarrow y=3$ sehingga titik D(5,3)
Dengan Metode Uji titik pojok:
$(x,y)\to z=4x+3y$
$A(0,4)\to z=4.0+3.4=12$
$B(0,2)\to z=4.0+3.2=6$
$C(3,0)\to z=4.3+3.0=12$
$D(5,3)\to z=4.5+3.3=29$
Jadi, nilai minimumnya ialah 6.
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 2
Jika $(x,y)=(a,b)$ ialah penyelesaian dari sistem persamaan
$2xy-{{y}^{2}}+5x+20=0$
$3x+2y-3=0$
Maka jumlah semua $a+b$ dimana $a$ dan $b$ bukan merupakan bilangan bundar ialah …
A. $-\frac{8}{21}$ B. $-\frac{4}{21}$ C. $\frac{24}{21}$ D. $\frac{42}{21}$
E. Semua penyelesaian berupa pasangan bilangan bulat.
Pembahasan:
$3x + 2y - 3 = 0 \rightarrow y = \frac{3-3x}{2}$
Substitusi ke:
$2xy-{{y}^{2}}+5x+20=0$ maka:
$2x\left( \frac{3-3x}{2} \right)-{{\left( \frac{3-3x}{2} \right)}^{2}}+5x+20=0$
$3x-3{{x}^{2}}-\left( \frac{9-18x+9{{x}^{2}}}{4} \right)+5x+20=0|\times 4$
$12x-12{{x}^{2}}-9+18x-9{{x}^{2}}+20x+80=0$
$-21{{x}^{2}}+50x+71=0$
$21{{x}^{2}}-50x-71=0$
$(21x-71)(x+1)=0$
$x=\frac{71}{21}$ atau $x=-1$
Karena $x \,$ bukan bulat, maka yang memenuhi ialah $x = \frac{71}{21}$.
Nilai $x = \frac{71}{21}$ substitusi ke:
$y=\frac{3-3x}{2}$ maka:
$y=\frac{3}{2}(1-x)=\frac{3}{2}(1-\frac{71}{21})=-\frac{75}{21}$
maka penyelesaiannya ialah $(a,b) = (\frac{71}{21}, - \frac{75}{21} )$ .
Nilai $a + b = \frac{71}{21}+ ( - \frac{75}{21} ) = - \frac{4}{21}$
Jadi, nilai $a+b=-\frac{4}{21}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 3
Diketahui matriks $A=\left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix} \right]$ dan B ialah matriks dengan entri-entri bernilai real sedemikian sehingga AB = BA. Nilai terkecil untuk determinan B ialah …
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 E. 2
Pembahasan:
Misalkan matriks $B = \left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right]$
AB = BA
$\left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 2 & -2 \\ 2 & 2 \\ \end{matrix} \right]$
$\left[ \begin{matrix} 2a-2c & 2b-2d \\ 2a+2c & 2b+2d \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 2a+2b & -2a+2b \\ 2c+2d & -2c+2d \\ \end{matrix} \right]$
$2a-2c=2a+2b\to b=-c$
$2a+2c=2c+2d\to a=d$
Misalkan : $a = d = x, \, b = y, \, c = -y$
Sehingga matriks B menjadi :
$B = \left[ \begin{matrix} x & y \\ -y & x \end{matrix} \right]$
Nilai $Det(B) = x^2 - (-y^2) = x^2 + y^2$
Karena $x, y \,$ bilangan real, maka semoga Det(B) terkecil, haruslah $x = 0 \,$ dan $y = 0$ , sehingga nilai $Det(B) = x^2 + y^2 = 0^2 + 0^2 = 0$
Jadi, nilai terkecil determinan B ialah 0.
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 4
Jika $a$ dan $b$ ialah dua bilangan (tidak harus berbeda) yang dipilih secara acak dan dengan pengembalian dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5}, maka probabilitas bahwa $\frac{a}{b}$ merupakan bilangan bundar ialah …
A. $\frac{4}{25}$ B. $\frac{9}{25}$ C. $\frac{6}{25}$ D. $\frac{9}{25}$ E. $\frac{10}{25}$
Pembahasan:
$a$ dan $b$ dipilih dari $\{ 1,2,3,4,5\}$ , artinya $a \,$ ada lima pilihan angka, begitu juga $b$ ada lima pilihan angka, maka diperoleh $n(S) = 5.5 = 25$
A = Kejadian $\frac{a}{b} \,$ ialah bilangan bulat,
$b = \{ 1 \} \rightarrow a = \{ 1,2,3,4,5 \} \,$ ada 5 kemungkinan.
$b = \{ 2 \} \rightarrow a = \{ 2,4 \} \,$ ada 2 kemungkinan.
$b = \{ 3 \} \rightarrow a = \{ 3 \} \,$ ada 1 kemungkinan.
$b = \{ 4 \} \rightarrow a = \{ 4 \} \,$ ada 1 kemungkinan.
$b = \{ 5 \} \rightarrow a = \{ 5 \} \,$ ada 1 kemungkinan.
kita peroleh $n(A) = 5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{10}{25}$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 5
Diketahui ${{\log }_{2}}5=b$ dan ${{\log }_{5}}3=c$, maka nilai dari ${{\log }_{8}}\left( \sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}} \right)$ = …
A. $\frac{3c+2b}{c}$
B. $\frac{3b+2c}{cb}$
C. $\frac{2+bc}{6}$
D. $\frac{3+2bc}{6}$
E. $\frac{4+2c}{3b}$
Pembahasan:
${{\log }_{8}}\left( \sqrt{5+2\sqrt{6}}-\sqrt{5-2\sqrt{6}} \right)$
= ${{\log }_{8}}\left( \sqrt{(3+2)+2\sqrt{3.2}}-\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3.2}} \right)$
= ${{\log }_{8}}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}-\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right) \right)$
= ${{\log }_{8}}2\sqrt{2}$
= $^{8}\log \sqrt{8}$
= $^{8}\log {{8}^{\frac{1}{2}}}$
= $\frac{1}{2}$ (tidak ada opsi).
Coba kita ubah soalnya menjadi:
${{\log }_{8}}\left( \sqrt{5+2\sqrt{6}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}} \right)$
= ${{\log }_{8}}\left( \sqrt{(3+2)+2\sqrt{3.2}}+\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3.2}} \right)$
= ${{\log }_{8}}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2} \right)$
= ${{\log }_{8}}2\sqrt{3}$
= $^{8}\log {{2.3}^{\frac{1}{2}}}$
= $^{8}\log 2{{+}^{8}}\log {{3}^{\frac{1}{2}}}$
= $^{{{2}^{3}}}\log 2+\frac{1}{2}{{.}^{8}}\log 3$
= $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{^{5}\log 3}{^{5}\log 8}$
= $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{{{\log }_{5}}3}{{{\log }_{5}}{{2}^{3}}}$
= $\frac{1}{3}+\frac{1}{2}.\frac{{{\log }_{5}}3}{3.{{\log }_{5}}2}$
= $\frac{1}{3}+\frac{c}{6.\frac{1}{b}}$
= $\frac{1}{3}+\frac{bc}{6}$
= $\frac{2+bc}{6}$ (opsi C)
Jawaban: C (Catatan: Soal di Ralat)
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 6
Berikut ialah enam bilangan dari data yang berisi 9 bilangan asli: 9, 8, 9, 7, 5, 3. Nilai terkecil yang mungkin untuk median dari data 9 bilangan orisinil tersebut ialah …
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 E. 4
Pembahasan:
Median = nilai tengah data.
Data terurut : 3,5,7,8,9,9
Misalkan tiga nilai sisanya ialah ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$, dan ${{x}_{3}}$ maka median terkecil akan diperoleh bila $x_1,x_2,x_3$ kita letakkan disebelah kiri angka 5.
Urutan yang mungkin :
*) $x_1, x_2, x_3, 3, 5, 7, 8, 9, 9$
*) $x_1, x_2, 3, x_3, 5, 7, 8, 9, 9$
*) $x_1, 3, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9$
*) $3, x_1, x_2, x_3, 5, 7, 8, 9, 9$
Dari 4 urutan data yang mungkin, nilai median terkecilnya ialah data ke-5 yaitu 5.
Jadi, median terkecilnya ialah 5.
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 7
Misalkan tiga suku pertama dari barisan aritmetika ialah $\log {{a}^{3}}{{b}^{7}}$, $\log {{a}^{5}}{{b}^{12}}$, $\log {{a}^{8}}{{b}^{15}}$ dan suku ke-12 ialah $\log {{a}^{m}}{{b}^{n}}$. Nilai 2m + n ialah …
A. 40 B. 56 C. 76 D. 112 E. 143
Pembahasan:
Barisan Aritmetika:
$\log {{a}^{3}}{{b}^{7}}$, $\log {{a}^{5}}{{b}^{12}}$, $\log {{a}^{8}}{{b}^{15}}$
A = suku pertama, B = beda, maka:
$A=\log {{a}^{3}}{{b}^{7}}$
$B={{U}_{2}}-{{U}_{1}}$
$B=\log {{a}^{5}}{{b}^{12}}-\log {{a}^{3}}{{b}^{7}}$
$B=\log \frac{{{a}^{5}}{{b}^{12}}}{{{a}^{3}}{{b}^{7}}}$
$B=\log {{a}^{2}}{{b}^{5}}$
${{U}_{12}}=A+11B$
${{U}_{12}}=\log {{a}^{3}}{{b}^{7}}+11.\log {{a}^{2}}{{b}^{5}}$
$\log {{a}^{m}}{{b}^{n}}=\log ({{a}^{3}}{{b}^{7}}.{{({{a}^{2}}{{b}^{5}})}^{11}})$
$\log {{a}^{m}}{{b}^{n}}=\log {{a}^{25}}{{b}^{62}}$
$m=25$ dan $n=62$
$2m+n=2.25+62=112$
Jawaban: D
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 8
Diketahui selisih rusuk dari dua kubus ialah 5 dan selisih volumenya ialah 1385. Misalkan y menyatakan selisih dari kuadrat rusuk-rusuk kedua kubus tersebut dan z menyatakan jumlah dari rusuk-rusuk kedua kubus tersebut, maka $z-y+5$ = …
A. 95 B. 261 C. 271 D. 276 E. 361
Pembahasan:
Misalkan rusuk-rusuknya $r_1 \,$ dan $r_2 \,$ dengan $r_1 > r_2$
*) Selisih kedua rusuk = 5
$r_1 - r_2 = 5 \rightarrow r_1 = r_2 + 5$ .....pers (1)
*) Selisih volume = 1385
${{v}_{1}}-{{v}_{2}}=1385$
$r_1^3 - r_2^3 = 1385$ .....pers (2)
Substitusi pers (1) ke pers (2)
$r_{1}^{3}-r_{2}^{3}=1385$
$({{r}_{1}}-{{r}_{2}})(r_{1}^{2}+{{r}_{1}}{{r}_{2}}+r_{2}^{2})=1385$
$(5)({{({{r}_{2}}+5)}^{2}}+({{r}_{2}}+5){{r}_{2}}+r_{2}^{2})=1385$
$(r_{2}^{2}+10{{r}_{2}}+25+r_{2}^{2}+5{{r}_{2}}+r_{2}^{2})=277$
$3r_{2}^{2}+15{{r}_{2}}-252=0$
$r_{2}^{2}+5{{r}_{2}}-84=0$
$({{r}_{2}}-7)({{r}_{2}}+12)=0$
${{r}_{2}}=7$ atau ${{r}_{2}}=-12$
Sehingga yang memenuhi $r_2 = 7$ lantaran panjang rusuk selalu positif.
${{r}_{1}}={{r}_{2}}+5\Leftrightarrow {{r}_{1}}=7+5\Leftrightarrow {{r}_{1}}=12$
$y = r_1^2 - r_2^2 = 12^2 - 7^2 = 95$
$z = (r_1+r_2)^2 = (12+7)^2 = 19^2 = 361$
maka nilai $z - y + 5 = 361 - 95 + 5 = 271$
Jawaban: C
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 9
Diketahui ${{u}_{n}}$ dan ${{v}_{n}}$ ialah barisan aritmetika dengan $n>0$. Jumlah $n$ suku pertama dari masing-masing barisan ini ialah ${{S}_{u}}(n)$ dan ${{S}_{v}}(n)$. Jika $\frac{{{S}_{v}}(n)}{{{S}_{u}}(n)}=\frac{2n+8}{5n+9}$ dan ${{v}_{2}}=\frac{7}{3}$ maka ${{u}_{4}}$ = …
A. $\frac{22}{3}$ B. $\frac{17}{3}$ C. 4 D. $\frac{11}{3}$ E. 3
Pembahasan:
Barisan aritmatika: $U_n = a + (n-1)b \,$ dan $\, S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)b)$
Misalkan suku pertama dan beda masing-masing barisan :
*) Barisan ${{U}_{n}}$ dengan suku pertama = ${{a}_{1}}$ dan beda $={{b}_{1}}$ maka:
${{U}_{n}}={{a}_{1}}+(n-1){{b}_{1}}$ dan ${{S}_{u}}(n)=\frac{n}{2}(2{{a}_{1}}+(n-1){{b}_{1}})$
${{U}_{4}}={{a}_{1}}+3{{b}_{1}}$ = ….?
*) Barisan ${{V}_{n}}$ dengan suku pertama = ${{a}_{2}}$ dan beda $={{b}_{2}}$
${{V}_{n}}={{a}_{2}}+(n-1){{b}_{2}}$ dan ${{S}_{v}}(n)=\frac{n}{2}(2{{a}_{2}}+(n-1){{b}_{2}})$
${{V}_{2}}=\frac{7}{3}\to {{a}_{2}}+{{b}_{2}}=\frac{7}{3}\to {{b}_{2}}=\frac{7}{3}-{{a}_{2}}$ .... pers (1)
$\frac{{{S}_{v}}(n)}{{{S}_{u}}(n)}=\frac{2n+8}{5n+9}$
$\frac{\frac{n}{2}(2{{a}_{2}}+(n-1){{b}_{2}})}{\frac{n}{2}(2{{a}_{1}}+(n-1){{b}_{1}})}=\frac{2n+8}{5n+9}$
$\frac{2{{a}_{2}}+(n-1){{b}_{2}}}{2{{a}_{1}}+(n-1){{b}_{1}}}=\frac{2n+8}{5n+9}$ …. Pers (2)
Substitusi $n = 1 \,$ ke pers (2)
$\frac{2{{a}_{2}}+(1-1){{b}_{2}}}{2{{a}_{1}}+(1-1){{b}_{1}}}=\frac{2.1+8}{5.1+9}$
$\frac{2{{a}_{2}}}{2{{a}_{1}}}=\frac{10}{14}$
$\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{1}}}=\frac{5}{7}$
${{a}_{2}}=\frac{5}{7}{{a}_{1}}$ …. Pers (3)
Substitusi $n = 3 \,$ ke pers (2)
$\frac{2{{a}_{2}}+(n-1){{b}_{2}}}{2{{a}_{1}}+(n-1){{b}_{1}}}=\frac{2n+8}{5n+9}$
$\frac{2{{a}_{2}}+(3-1){{b}_{2}}}{2{{a}_{1}}+(3-1){{b}_{1}}}=\frac{2.3+8}{5.3+9}$
$\frac{2{{a}_{2}}+2{{b}_{2}}}{2{{a}_{1}}+2{{b}_{1}}}=\frac{14}{24}$
$\frac{{{a}_{2}}+{{b}_{2}}}{{{a}_{1}}+{{b}_{1}}}=\frac{7}{12}$
$\frac{\frac{7}{3}}{{{a}_{1}}+{{b}_{1}}}=\frac{7}{12}$
$\frac{\frac{7}{3}}{{{a}_{1}}+{{b}_{1}}}=\frac{7}{12}$
$\frac{7}{12}\left( {{a}_{1}}+{{b}_{1}} \right)=\frac{7}{3}$
${{a}_{1}}+{{b}_{1}}=\frac{7}{3}\times \frac{12}{7}=4$
${{b}_{1}}=4-{{a}_{1}}$
Substitusi $n = 2 \,$ ke pers (2)
$\frac{2{{a}_{2}}+(n-1){{b}_{2}}}{2{{a}_{1}}+(n-1){{b}_{1}}}=\frac{2n+8}{5n+9}$
$\frac{2{{a}_{2}}+(2-1){{b}_{2}}}{2{{a}_{1}}+(2-1){{b}_{1}}}=\frac{2.2+8}{5.2+9}$
$\frac{2{{a}_{2}}+{{b}_{2}}}{2{{a}_{1}}+{{b}_{1}}}=\frac{12}{19}$
$38{{a}_{2}}+19{{b}_{2}}=24{{a}_{1}}+12{{b}_{1}}$
$38{{a}_{2}}+19\left( \frac{7}{3}-{{a}_{2}} \right)=24{{a}_{1}}+12(4-{{a}_{1}})$
$19{{a}_{2}}+\frac{133}{3}=12{{a}_{1}}+48$
$19\left( \frac{5}{7}{{a}_{1}} \right)+\frac{133}{3}=12{{a}_{1}}+48$
$\frac{95}{7}{{a}_{1}}+\frac{133}{3}=12{{a}_{1}}+48$
$\frac{11}{7}{{a}_{1}}=\frac{11}{3}\Leftrightarrow {{a}_{1}}=\frac{7}{3}$, Sehingga:
${{b}_{1}}=4-{{a}_{1}}=4-\frac{7}{3}=\frac{5}{3}$
${{U}_{4}}={{a}_{1}}+3{{b}_{1}}$
${{U}_{4}}=\frac{7}{3}+3.\frac{5}{3}=\frac{22}{3}$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 10
Mira menentukan secara acak sebuah bilangan bundar positif yang kemudian beliau kuadratkan dan dibagi 9. Probabilitas bahwa sisa dari hasil bagi tersebut 4 ialah …
A. $\frac{5}{9}$ B. $\frac{4}{9}$ C. $\frac{3}{9}$ D. $\frac{2}{9}$ E. $\frac{1}{9}$
Pembahasan:
Misalkan, Mira menentukan bilangan n, dikuadratkan menjadi ${{n}^{2}}$ dan dibagi 9, maka kemungkinan-kemungkinan bilangan tersebut adalah:
${{n}^{2}}=9m$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 0
${{n}^{2}}=9m+1$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 1.
${{n}^{2}}=9m+2$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 2.
${{n}^{2}}=9m+3$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 3.
${{n}^{2}}=9m+4$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 4.
${{n}^{2}}=9m+5$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 5.
${{n}^{2}}=9m+6$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 6.
${{n}^{2}}=9m+7$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 7.
${{n}^{2}}=9m+8$ yaitu bilangan yang dibagi 9 bersisa 8.
Kita peroleh, S = seluruh kemungkinan maka $n(S)=9$ dan A = kemungkinan bilangan dibagi 9 bersisa 4 maka $n(A)=1$, sehingga diperoleh peluangnya:
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{1}{9}$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 11
Diketahui garis $2x+(p-2)y+1=0$ sejajar dengan garis $(p-1)x+6y+7=0$. Misalkan $a$ dan $b$ ialah nilai-nilai $p$ yang memenuhi kedua persamaan tersebut dengan $a < b$
A. 15 B. 10 C. 6 D. 3 E. 2
Pembahasan:
$2x + (p-2)y + 1 = 0 \rightarrow m_1 = \frac{-2}{p-2}$
$(p-1)x + 6y + 7 = 0 \rightarrow m_2 = \frac{-(p-1)}{6}$
Kedua garis sejajar maka:
${{m}_{1}}={{m}_{2}}$
$\frac{-2}{p-2}=\frac{-(p-1)}{6}$
$(p-2)(p-1)=12$
${{p}^{2}}-3p+2=12$
${{p}^{2}}-3p-10=0$
$(p+2)(p-5)=0$
$p = -2$ atau $p=5$, $a < b$ maka:
$a = -2$ dan $b = 5$
$^{{{(a+7)}^{\frac{1}{5}}}}\log {{b}^{2}}$
${{=}^{{{(-2+7)}^{\frac{1}{5}}}}}\log {{5}^{2}}$
${{=}^{{{5}^{\frac{1}{5}}}}}\log {{5}^{2}}$
$=\frac{2}{\frac{1}{5}}{{\times }^{5}}\log 5$
$=10$
Jadi, nilai $^{{{(a+7)}^{\frac{1}{5}}}}\log {{b}^{2}}=10$
Jawaban: B
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 12
Perkalian akar-akar real dari persamaan $\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}$ + $\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-45}$ - $\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-69}=0$ ialah …
A. -39 B. -10 C. 2 D. 10 E. 39
Pembahasan:
Misal: ${{x}^{2}}-10x-29=y$
$\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}+\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-45}-\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-69}=0$
$\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29}+\frac{1}{{{x}^{2}}-10x-29-16}-\frac{2}{{{x}^{2}}-10x-29-40}=0$
$\frac{1}{y}+\frac{1}{y-16}-\frac{2}{y-40}=0$
$\frac{(y-16)(y-40)+y(y-40)-2y(y-16)}{y(y-16)(y-40)}=0$
$\frac{{{y}^{2}}-56y+16.40+{{y}^{2}}-40y-2{{y}^{2}}+32y}{y(y-16)(y-40)}=0$
$\frac{-64y+16.40}{y(y-16)(y-40)}=0$
$-64y+16.40=0$
$y=10$
Nilai $y=10$ substitusi ke:
${{x}^{2}}-10x-29=y$
${{x}^{2}}-10x-29=10$
${{x}^{2}}-10x-39=0$, akar-akar ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ maka:
$x_1.x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-39}{1} = -39$
Jadi, perkalian akar-akar realnya ialah $-39$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 13
Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat ${{x}^{2}}-10x+a=0$ mempunyai tanda yang berlawanan dengan salah satu akar dari persamaan kuadrat ${{x}^{2}}+10x-a=0$ dimana $a$ ialah sebuah bilangan real, maka jumlah kuadrat dari akar-akar persamaan ${{x}^{2}}+2ax-5=0$ ialah …
A. 36 B. 20 C. 18 D. 15 E. 10
Pembahasan:
*) $x^2 - 10x + a = 0 \,$ akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-(-10)}{1}\to {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10$ .... pers (1)
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{a}{1}\to {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=a\to {{x}_{1}}=\frac{a}{{{x}_{2}}}$ .... pers (2)
*) $x^2 + 10x - a = 0 \,$ akar-akarnya $-{{x}_{2}}$ dan ${{x}_{3}}$, alasannya salah satu akarnya mempunyai tanda yang berlawanan dengan akar persamaan $x^2 - 10x + a = 0 \,$.
${{x}_{3}}+(-{{x}_{2}})=\frac{-(10)}{1}\to {{x}_{3}}-{{x}_{2}}=-10$ .... pers (3)
${{x}_{3}}.(-{{x}_{2}})=\frac{-a}{1}\to -{{x}_{3}}.{{x}_{2}}=-a\to {{x}_{3}}=\frac{a}{{{x}_{2}}}$ .... pers (4)
*) Eliminasi pers (1) ke pers (3)
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=10$
${{x}_{3}}-{{x}_{2}}=-10$
---------------- (+)
${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0$
*) Substitusi pers (2) ke pers (4) ke:
${{x}_{1}}+{{x}_{3}}=0$
$\frac{a}{{{x}_{2}}}+\frac{a}{{{x}_{2}}}=0$
$\frac{2a}{{{x}_{2}}}=0$
$2a=0\Leftrightarrow a=0$
Substitusi ke:
${{x}^{2}}+2ax-5=0$
${{x}^{2}}+2.0.x-5=0$
${{x}^{2}}-5=0$
$(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})=0$
$x=-\sqrt{5}$ atau $x=\sqrt{5}$
Jumlah kuadratnya adalah:
$={{\left( -\sqrt{5} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}=10$
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 14
Diketahui $a$ dan $b$ ialah bilangan bundar positif yang tidak sama dengan satu dan persamaan ${{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x=\frac{{{\log }_{x}}b}{{{\log }_{x}}a}$. Nilai $(a+b)x$ ialah …
A. $ab+{{b}^{2}}$ atau $\frac{a}{b}+1$
B. ${{a}^{2}}b+ab$ atau $\frac{{{a}^{2}}}{b}+a$
C. $ab+{{a}^{2}}$ atau $\frac{b}{a}+1$
D. $ab+a{{b}^{2}}$ atau $\frac{{{b}^{2}}}{a}+a$
E. $2a+2{{b}^{2}}$ atau $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}$
Pembahasan:
${{\log }_{a}}x.{{\log }_{b}}x=\frac{{{\log }_{x}}b}{{{\log }_{x}}a}$
$^{a}\log x{{.}^{b}}\log x=\frac{^{x}\log b}{^{x}\log a}$
$\frac{1}{^{x}\log a}{{.}^{b}}\log x=\frac{1}{^{b}\log x{{.}^{x}}\log a}$
$^{b}\log x=\frac{1}{^{b}\log x}$
${{{{(}^{b}}\log x)}^{2}}=1$
$^{b}\log x=\pm 1$
$^{b}\log x=1\to x=b$ atau $^{b}\log x=-1\to x={{b}^{-1}}=\frac{1}{b}$
*). Untuk $x = b$
$(a+b)x = (a+b)b = ab + b^2$
*) Untuk $x = \frac{1}{b}$
$(a+b)x = (a+b)\frac{1}{b} = \frac{a}{b} + 1$
Jadi, nilai $(a+b)x \,$ ialah $ab + b^2 \,$ atau $\frac{a}{b}+1$
Jawaban: A
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 15
Misalkan $A=\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)$, $D=\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \\ \end{matrix} \right)$, dan $P=\left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \\ \end{matrix} \right)$ dengan $a$, $b$ ialah bilangan-bilangan real, sedemikian sehingga $A=PD{{P}^{T}}$, maka pernyataan berikut ialah benar, KECUALI …
A. ${{P}^{T}}={{P}^{-1}}$
B. $\det A=\det D$
C. ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1$
D. $\det P=\det A$
E. ${{P}^{-1}}=P$
Pembahasan:
Determinan matriks masing-masing :
$A = \left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(A) = 1.4 - 2.2 = 0$
$D = \left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right) \rightarrow Det(D) = 0.5 - 0.0 = 0$
$P = \left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \end{matrix} \right) \rightarrow Det(P) = -a^2 -b^2 = -(a^2 + b^2 )$
$A=PD{{P}^{T}}$
$\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & 5b \\ 0 & -5a \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} a & b \\ b & -a \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 5{{b}^{2}} & -5ab \\ -5ab & 5{{a}^{2}} \\ \end{matrix} \right)$
$5{{b}^{2}}=1\Leftrightarrow {{b}^{2}}=\frac{1}{5}$
$5{{a}^{2}}=4\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\frac{4}{5}$
Nilai ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$ (opsi C, BENAR)
$Det(P)=-({{a}^{2}}+{{b}^{2}})=-1$
$\det (A)\ne \det (P)$ (opsi D, SALAH)
Jawaban: D
Gunakan petunjuk C dalam menjawab soal nomor 16 hingga nomor 20.
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 16
Misalkan $g(x)=4-{{x}^{2}}$ dan $f(g(x))=\frac{2-{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}},x\ne 0$ maka …
(1) $f\left( \frac{1}{4} \right).f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{80}$
(2) $f\left( \frac{1}{4} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-47}{210}$
(3) $f\left( \frac{1}{4} \right)-f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-1}{105}$
(4) $\frac{f\left( \frac{1}{2} \right)}{f\left( \frac{1}{4} \right)}=\frac{45}{49}$
Pembahasan:
$f(g(x))=\frac{2-{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}},x\ne 0$
$f(4-{{x}^{2}})=\frac{2-{{x}^{2}}}{4{{x}^{2}}}$
Misal: $4-{{x}^{2}}=a\Leftrightarrow {{x}^{2}}=4-a$
$f(a)=\frac{2-(4-a)}{4(4-a)}$
$f(a)=\frac{a-2}{16-4a}$
$f\left( \frac{1}{4} \right)=\frac{\frac{1}{4}-2}{16-4.\frac{1}{4}}=\frac{-7}{60}$
$f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{\frac{1}{2}-2}{16-4.\frac{1}{2}}=\frac{-3}{28}$
Pernyataan (1):
$f\left( \frac{1}{4} \right).f\left( \frac{1}{2} \right)$
$=\frac{\frac{-7}{4}}{15}.\frac{\frac{-3}{2}}{14}=\frac{1}{80}$ (pernyataan 1, BENAR).
Pernyataan (2):
$f\left( \frac{1}{4} \right)+f\left( \frac{1}{2} \right)$= $\frac{-7}{60}+\frac{-3}{28}=\frac{-47}{210}$ (pernyataan 2, BENAR)
Pernyataan (3):
$f\left( \frac{1}{4} \right)-f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{-7}{60}-\frac{-3}{28}=\frac{-1}{105}$ (pernyataan 3, BENAR).
Pernyataan (4):
$\frac{f\left( \frac{1}{2} \right)}{f\left( \frac{1}{4} \right)}=\frac{\frac{-3}{28}}{\frac{-7}{60}}=\frac{-3}{28}\times \frac{60}{-7}=\frac{45}{49}$ (pernyataan 4, BENAR)
Sesuai dengan Petunjuk C, semua pernyataan BENAR maka opsi E.
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 17
Misalkan $f(x)=2x$, $0\le x\le \frac{1}{2}$ dan $f(x)=2-2x$, $\frac{1}{2} < x \le1$. Jika ${{f}^{(2)}}(x)=f(f(x))$ dan ${{f}^{(n+1)}}(x)={{f}^{(n)}}(f(x))$ maka pernyataan berikut yang BENAR ...
(1) ${{f}^{(n)}}(0)=0$
(2) ${{f}^{(n)}}(1)=0$, $n > 1$
(3) ${{f}^{(n)}}\left( \frac{1}{2} \right)=0$, $n > 2$
(4) ${{f}^{(n)}}\left( \frac{1}{4} \right)=0$, $n > 3$
Pembahasan:
*) $f(x)=2x$, $0\le x\le \frac{1}{2}$
$f(0)=2.0=0$
$f\left( \frac{1}{4} \right)=2.\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$
$f\left( \frac{1}{2} \right)=2.\frac{1}{2}=1$
*) $f(x)=2-2x$, $\frac{1}{2} < x \le 1$, maka:
$f(1)=2-2.1=0$
Pernyataan (1):
$f(0) = 0$
${{f}^{(2)}}(0) = f(f(0)) = f(0) = 0$
${{f}^{(3)}}(0) = {{f}^{(2)}}(f(x)) = {{f}^{(2)}}(0) = 0$
Dengan contoh yang sama, maka ${{f}^{(n)}}(0) = 0$ (pernyataan 1, BENAR)
Pernyataan (2):
$f(1) = 0$
${{f}^{(2)}}(1) = f(f(1)) = f(0) = 0$
${{f}^{(3)}}(1) = {{f}^{(2)}}(f(1)) = {{f}^{(2)}}(0) = 0$
dst… maka ${{f}^{(n)}}(1) = 0$, $n > 1$ (pernyataan 2, BENAR).
Pernyataan (3):
$f\left( \frac{1}{2} \right) = 1$
${{f}^{(2)}}\left( \frac{1}{2} \right) = f\left( f\left( \frac{1}{2} \right) \right) = f(1) = 0$
${{f}^{(3)}}\left( \frac{1}{2} \right) = {{f}^{(2)}}\left( f\left( \frac{1}{2} \right) \right) = {{f}^{(2)}}(1) = 0$
${{f}^{(n)}}\left( \frac{1}{2} \right) = 0$, $n > 2$ (pernyataan , BENAR)
Pernyataan (4):
$f\left( \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{2}$
${{f}^{(2)}}\left( \frac{1}{4} \right)=f\left( f\left( \frac{1}{4} \right) \right) = f\left( \frac{1}{2} \right) = 1$
${{f}^{(3)}}\left( \frac{1}{4} \right) = {{f}^{(2)}}\left( f\left( \frac{1}{4} \right) \right) = {{f}^{(2)}}\left( \frac{1}{2} \right) = 0$
${{f}^{(4)}}\left( \frac{1}{4} \right) = {{f}^{(3)}}\left( f\left( \frac{1}{4} \right) \right) = {{f}^{(3)}}\left( \frac{1}{2} \right) = 0$
${{f}^{(n)}}\left( \frac{1}{4} \right) = 0$, $n > 3$ (pernyataan 4, BENAR)
Kesimpulan: semua pernyataan benar maka opsi E.
Jawaban: E
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 18
Misalkan turunan kedua dari $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$ di titik (1,2) ialah 0 dan garis singgung di titik (1,2) tegak lurus dengan garis $2y-x=3$, maka pernyataan berikut yang BENAR ialah …
(1) Nilai dari $2{{a}^{2}}+3b+c=6$
(2) f(x) naik pada interval $\left( 1-\frac{\sqrt{6}}{6},1+\frac{\sqrt{6}}{6} \right)$
(3) Jumlahan semua nilai a, b, dan c ialah 2.
(4) f(x) turun pada $x < 1 -\frac{\sqrt{6}}{6}$ atau $x > 1+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Pembahasan:
*) $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$ melalui titik (1,2) maka:
$2=a{{.1}^{3}}+b{{.1}^{2}}+c.1$
$a+b+c=2$ … pers (1)
*) $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$
$f'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
$f''(x)=6ax+2b$, $f''(x)=0$ untuk $x=1$ maka:
$f''(1)=6a.1+2b=0$
$3a+b=0$ … pers (2)
*) $2y-x=3\to {{m}_{1}}=\frac{1}{2}$ tegak lurus dengan garis singgung (gradien m) maka $m=\frac{-1}{{{m}_{1}}}=\frac{-1}{\frac{1}{2}}=-2$.
*) gradien garis singgung $f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$ di (1,2) adalah:
$f'(x)=3a{{x}^{2}}+2bx+c$
$-2=3a{{.1}^{2}}+2b.1+c$
$3a+2b+c=-2$ … pers (3)
*) Eliminasi pers (3) dan pers (1)
$3a+2b+c=-2$
$a+b+c=2$
------------------- (-)
$2a+b=-4$ … pers (4)
*) Eliminasi pers (2) dan pers (4)
$3a+b=0$
$2a+b=-4$
-------------- (-)
$a=4$ substitusi ke pers (4)
$2a+b=-4\Leftrightarrow 2.4+b=-4\Leftrightarrow b=-12$ substitusi ke pers (1)
$a+b+c=2\Leftrightarrow 4-12+c=2\Leftrightarrow c=10$
Pernyataan (1):
$2{{a}^{2}}+3b+c={{2.4}^{2}}+3(-12)+10=6$ (BENAR)
Pernyataan (2) dan pernyataan (4):
$f(x)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx$
$f(x)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+10x$
$f(x)$ naik maka $f'(x) > 0$
$f'(x)=12{{x}^{2}}-24x+10 > 0$
$6{{x}^{2}}-12x+5 > 0$
$x=\frac{-b\pm \sqrt{{{b}^{2}}-4ac}}{2a}$
$x=\frac{-(-12)\pm \sqrt{{{(-12)}^{2}}-4.6.5}}{2.6}$
$x=\frac{12\pm 2\sqrt{6}}{2.6}$
$x=1-\frac{\sqrt{6}}{6}$ atau $x=1+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Fungsi $f(x)$ naik pada interval: $x < 1-\frac{\sqrt{6}}{6}$ atau $x > 1+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Fungsi $f(x)$ turun pada interval $1-\frac{\sqrt{6}}{6} < x < 1+\frac{\sqrt{6}}{6}$
Pernyataan (2) dan Pernyataan (4) SALAH.
Pernyataan (3):
$a+b+c=4+(-12)+10=2$ (BENAR)
Jawaban: B (1 dan 3 BENAR)
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 19
Misalkan x, y, dan z memenuhi sistem persamaan berikut:
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=6$
$\frac{1}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=-2$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=3$
Pernyataan berikut yang BENAR ialah …
(1) Selisih nilai x dan y ialah $\frac{1}{6}$
(2) Jumlah nilai-nilai x, y, dan z ialah 1.
(3) $\left| \begin{matrix} x & y & z \\ -x & y & z \\ -x & -y & z \\ \end{matrix} \right|=\frac{2}{15}$
(4) ${{\log }_{x}}y.{{\log }_{y}}z={{\log }_{3}}5$
Pembahasan:
Eliminasi persamaan (1) dan (2):
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=6$
$\frac{1}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=-2$
------------------- (-)
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=8$ …. Pers (4)
Eliminasi persamaan (2) dan (3):
$\frac{1}{x}-\frac{3}{y}+\frac{1}{z}=-2$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}-\frac{1}{z}=3$
------------------ (+)
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=1$ …. Pers (5)
Persamaan (4) dikali dengan 2 kemudian jumlahkan dengan persamaan (5):
$\frac{2}{x}+\frac{4}{y}=16$
$\frac{2}{x}-\frac{1}{y}=1$
------------- (-)
$\frac{5}{y}=15\Leftrightarrow y=\frac{1}{3}$
Substitusi $y=\frac{1}{3}$ ke persamaan (4):
$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=8$
$\frac{1}{x}+\frac{2}{\frac{1}{3}}=8$
$\frac{1}{x}+6=8\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
Substitusi $x=\frac{1}{2}$ dan $y=\frac{1}{5}$ ke persamaan (2):
$\frac{1}{\frac{1}{2}}-\frac{3}{\frac{1}{3}}+\frac{1}{z}=-2$
$2-9+\frac{1}{z}=-2\Leftrightarrow z=\frac{1}{5}$
Pernyataan (1):
$x-y=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ (BENAR)
Pernyataan (2):
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=\frac{15+10+6}{30}=\frac{31}{30}$ (SALAH)
Pernyataan (3):
$\left| \begin{matrix} x & y & z \\ -x & y & z \\ -x & -y & z \\ \end{matrix} \right|$
$=(xyz-xyz+xyz)-(-xyz-xyz-xyz)$
$=4xyz$
$=4.\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.\frac{1}{5}$
$=\frac{2}{15}$ (BENAR)
Pernyataan (4):
${{\log }_{x}}y.{{\log }_{y}}z$
${{=}^{x}}\log y{{.}^{y}}\log z$
${{=}^{x}}\log z$
${{=}^{\frac{1}{2}}}\log \frac{1}{5}$
${{=}^{{{2}^{-1}}}}\log {{5}^{-1}}$
$=\frac{-1}{-1}{{.}^{2}}\log 5$
${{=}^{2}}\log 5$
$={{\log }_{2}}5$ (SALAH)
Jawaban: B (1 dan 3 BENAR)
Matematika Dasar SIMAK UI 2015 No. 20
Jika a, b > 0 maka pertidaksamaan berikut yang BENAR ialah …
(1) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$
(2) $2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})\ge {{(a+b)}^{2}}$
(3) $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
(4) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$
Pembahasan:
Pernyataan (1):
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\sqrt{1}$
$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2$ (BENAR)
Pernyataan (2):
${{(a-b)}^{2}}\ge 0$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\ge 0$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$ (kedua ruas ditambah ${{a}^{2}}$ dan ${{b}^{2}}$)
$2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab$
$2({{a}^{2}}+{{b}^{2}})\ge {{(a+b)}^{2}}$ (BENAR)
Pernyataan (3):
$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ (BENAR)
Pernyataan (4):
${{(a-b)}^{2}}\ge 0$
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\ge 0$ (kedua ruas ditambah 4ab)
${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab\ge 4ab$
${{(a+b)}^{2}}\ge 4ab$
$\frac{a+b}{ab}\ge \frac{4}{a+b}$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$ (BENAR)
Jawaban: E (semua pernyataan BENAR)
Baca juga: |
Sumber http://www.catatanmatematika.com