Kalian kini kelas XII SMA? Pengen melanjutkan studi ke jenjang sekolah tinggi tinggi? Punya Harapan ingin masuk Perguruan Tinggi Negeri yang diidam-idamkan? Syaratnya... kau harus lulus SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), dan untuk sanggup menjadi salah satu mahasiswa di Perguruan Tinggi Negeri maka adik-adik kudu mencar ilmu dari sekarang. Nih Catatan Matematika menyebarkan Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN 2017 isyarat 232. Lho... tunggu apalagi? Silahkan di d0wnl0ad soalnya dan lirik pembahasannya di postingan ini. Semangat...! Semoga kalian lulus ya...!
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 46
Misalkan ${{A}^{T}}$ ialah transpose matriks A dan $I=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$. Jika $A=\left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right)$ sehingga $2A+3{{A}^{T}}=15I$, maka nilai ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ ialah …
A. 2
B. 4
C. 5
D. 8
E. 9
Pembahasan:
$2A+3{{A}^{T}}=15I$
$2\left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right)+3\left( \begin{matrix} a & 0 \\ b & 3 \\ \end{matrix} \right)=15\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2a & 2b \\ 0 & 6 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3a & 0 \\ 3b & 9 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 5a & 2b \\ 3b & 15 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \\ \end{matrix} \right)$
$5a=15\Leftrightarrow a=3$
$2b=0\Leftrightarrow b=0$
Nilai ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{3}^{2}}+{{0}^{2}}=9$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 47
Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| < 5$ ialah {$x|-1 < x < 4$}, maka nilai $a$ ialah …
A. -4
B. -3
C. -1
D. 3
E. 4
Pembahasan:
$|2x-a| < 5$
$-5 < 2x-a < 5$
$-5+a < 2x < 5+a$
$\frac{-5+a}{2} < x < \frac{5+a}{2}$ ekuivalen dengan $-1 < x < 4$, maka:
$\frac{5+a}{2}=4\Leftrightarrow 5+a=8\Leftrightarrow a=3$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 48
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga belahan yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, M, dan N. Jika luas segitiga ABC ialah $x$ $c{{m}^{2}}$, maka luas segitiga KMN ialah … $c{{m}^{2}}$.
A. $\frac{x}{3}$
B. $\frac{2x}{9}$
C. $\frac{x}{9}$
D. $\frac{x}{18}$
E. $\frac{x}{36}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Misalkan BC = AC = $y$
Sehingga luas ABC:
$\frac{1}{2}{{y}^{2}}=x$
BM = MN = NC = $\frac{1}{3}y$ serta BK = $\frac{2}{3}y$.
Luas segitiga KMN dengan bantalan = MN dan tinggi = BK adalah:
= $\frac{1}{2}.\frac{1}{3}y.\frac{2}{3}y=\frac{2}{9}.\frac{1}{2}{{y}^{2}}$
= $\frac{2}{9}.\frac{1}{2}{{y}^{2}}$
= $\frac{2}{9}.x=\frac{2x}{9}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 49
Jika $f(x)=\sqrt{x-1}$ dan $g(x)=\frac{x-5}{x-1}$, $x\ne 1$, maka kawasan asal $f.g$ ialah …
A. $-\infty < x < \infty $
B. $x\ne 0$
C. $x\ne 1$
D. $x\ge 1$
E. $x > 1$
Pembahasan:
$f.g=\sqrt{x-1}.\frac{x-5}{x-1}$
$f.g=\frac{(x-5)\sqrt{x-1}}{x-1}$
Daerah asal $f.g$ yaitu:
i) syarat bentuk akar $\sqrt{x-1}$ ialah $x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$
ii) syarat penyebut $x-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne 1$
dari i) dan ii) diperoleh:
Daerah asal $f.g$ ialah $x > 1$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 50
Diketahui median dan rata-rata berat tubuh 5 balita ialah sama. Setelah ditambahkan satu data berat tubuh balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat tubuh tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat tubuh antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 ialah … kg.
A. 4
B. $\frac{9}{2}$
C. 5
D. 6
E. $\frac{13}{2}$
Pembahasan:
Setelah diurutkan berat tubuh kelima balita itu adalah:
$a$, $b$, $c$, $d$, $e$
$Me=c=\bar{x}$
$\bar{x}=\frac{a+b+c+d+e}{5}=c$, maka:
$a+b+c+d+e=5c$.
Jika ditambah data berat tubuh seorang balita lagi, misalkan $f$, maka rata-ratanya naik 1 dan mediannya tetap, artinya:
*) sebab rata-rata mengalami kenaikan maka dapatlah disimpulkan bahwa $f$ data terbesar.
*) $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$
$Me=c$, maka $d=c$
*) rata-rata menjadi:
$\frac{a+b+c+d+e+f}{6}=c+1$
$\frac{5c+f}{6}=c+1$
$5c+f=6c+6$
$f-c=6$
Selisih berat tubuh balita ke-6 ($f$) dengan balita urutan ke-4 ($d$) adalah:
$f-d=f-c=6$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 51
Jumlah suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmetika dengan suku-sukunya bilangan orisinil ialah 28. Jika beda barisan tersebut 3, maka suku ke-7 ialah …
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
E. 23
Pembahasan:
Barisan Aritmetika: ${{U}_{n}}=a+(n-1)b$
${{U}_{3}}+{{U}_{7}}=28$
$(a+2b)+(a+6b)=28$
$2a+8b=28$
$a+4b=14$; $b=3$
$a+4.3=14\Leftrightarrow a=2$
${{U}_{7}}=a+6b=2+6.3=20$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 52
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada dikala panen dari bak tersebut ialah $(6-0,02x)$ kg, dengan $x$ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada dikala panen yang mungkin ialah … kg.
A. 400
B. 420
C. 435
D. 450
E. 465
Pembahasan:
Total bobot semua ikan adalah:
$f(x)=(6-0,02x)x=6x-0,02{{x}^{2}}$.
Agar total maksimum, maka $f'(x)=0$
$f(x)=6x-0,02{{x}^{2}}$
$f'(x)=6-0,04x=0$
$0,04x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{0,04}=150$
$f(150)=(6-0,02.(150)).150$
$f(150)=(6-3).150=450$
Maka total bobot maksimum ialah 450 kg.
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 53
Lima bilangan orisinil membentuk barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah 3 suku terbesar dan jumlah 3 suku terkecil barisan geometri berturut-turut ialah 171 dan 76, maka jumlah 5 bilangan tersebut ialah …
A. 125
B. 130
C. 180
D. 211
E. 347
Pembahasan:
Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$,
${{U}_{1}},{{U}_{2}},{{U}_{3}},{{U}_{4}},{{U}_{5}}$ $r > 0$
Jumlah 3 suku terbesar ialah 171, maka:
${{U}_{3}}+{{U}_{4}}+{{U}_{5}}=171$
$a{{r}^{2}}+a{{r}^{3}}+a{{r}^{4}}=171$
$a{{r}^{2}}(1+r+{{r}^{2}})=171$ …. Persamaan (1)
Jumlah 3 suku terbesar ialah 76, maka:
${{U}_{1}}+{{U}_{2}}+{{U}_{3}}=76$
$a+ar+a{{r}^{2}}=76$
$a(1+r+{{r}^{2}})=76$ …. Persamaan (2)
Persamaan (1) dibagi dengan persamaan (2), maka:
$\frac{a{{r}^{2}}(1+r+{{r}^{2}})}{a(1+r+{{r}^{2}})}=\frac{171}{76}$
${{r}^{2}}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow r=\frac{3}{2}$
Substitusi ke persamaan (2):
$a(1+r+{{r}^{2}})=76$
$a\left( 1+\frac{3}{2}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \right)=76$
$a\left( 1+\frac{3}{2}+\frac{9}{4} \right)=76$
$\frac{19}{4}a=76\Leftrightarrow a=16$
${{S}_{n}}=\frac{a({{r}^{n}}-1)}{r-1}$
${{S}_{5}}=\frac{16\left( {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{5}}-1 \right)}{\frac{3}{2}-1}$
${{S}_{5}}=\frac{16\left( \frac{243}{32}-1 \right)}{\frac{1}{2}}$
${{S}_{5}}=32.\frac{211}{32}=211$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 54
Jika $f(x)={{x}^{2}}+2$ dan $g(x)=-3x+8$, maka nilai maksimum fungsi $(g\circ f)(x)$ ialah …
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Pembahasan:
$\begin{align} (g\circ f)(x) &=g(f(x)) \\ &=g({{x}^{2}}+2) \\ & =-3({{x}^{2}}+2)+8 \\ (g\circ f)(x) &=-3{{x}^{2}}+2
\end{align}$
Nilai maksimum diperoleh jika:
$(g\circ f)'(x)=0$
$-6x=0\Leftrightarrow x=0$
$(g\circ f)(x)=-3{{x}^{2}}+2$
$(g\circ f)(0)=-{{3.0}^{2}}+2=2$
Jawaban: C
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 55
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P terletak pada perpanjangan BF sehingga FP = 3 cm dan garis AP berpotongan dengan garis EF di titik Q. Jika panjang rusuk kubus tersebut ialah 6 cm, maka jarak Q ke D ialah … cm.
A. $2\sqrt{13}$
B. $2\sqrt{18}$
C. $2\sqrt{22}$
D. $4\sqrt{7}$
E. $4\sqrt{11}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Segitiga ABP sebangun dengan segitiga QFP, maka berlaku:
$\frac{x}{6}=\frac{3}{3+6}\Leftrightarrow \frac{x}{6}=\frac{3}{9}\Leftrightarrow x=2$
Karena $QF=x=2$, maka $EQ=6-2=4$ sehingga:
$A{{Q}^{2}}=E{{Q}^{2}}+E{{A}^{2}}$
$A{{Q}^{2}}={{4}^{2}}+{{6}^{2}}=52$
Perhatikan segitiga DAQ siku-siku di A, maka:
$\begin{align} DQ &= \sqrt{D{{A}^{2}}+A{{Q}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{6}^{2}}+52} \\ & =\sqrt{88} \\ DQ &=2\sqrt{22} \end{align}$
Jawaban: C
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 56
Luas kawasan penyelesaian sistem pertidaksamaan $y+4x\le 12$, $y+2x\ge 8$, $x\ge 0$ ialah … satuan luas.
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10
Pembahasan:
Derah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut ialah kawasan yang diarsir pada gambar berikut!
Derah yang diarsir merupakan segitiga yang alasnya $a=12-8=4$ dan tingginya $t=2$.
Jadi, luasnya adalah:
L = $\frac{1}{2}.a.t$
L = $\frac{1}{2}.4.2=4$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 57
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks $A=\left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \\ \end{matrix} \right)$ memetakan titik $(1,2)$ ke titik $(4,2)$. Jika transformasi yang sama memetakan titik $(x,y)$ ke titik $(12,6)$, maka nilai $x-y$ ialah …
A. -9
B. -3
C. 0
D. 3
E. 9
Pembahasan:
$\left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2a \\ b \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow a=2,b=2$
$A=\left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \\ \end{matrix} \right)$
Sehingga:
$\left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 12 \\ 6 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2y \\ 2x \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 12 \\ 6 \\ \end{matrix} \right)$
$2y=12\Leftrightarrow y=6$
$2x=6\Leftrightarrow x=3$
Nilai $x-y=3-6=-3$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 58
$\int{\sqrt{x}\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}$ = …
A. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}+c$
B. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+c$
C. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+c$
D. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}+c$
E. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}+c$
Pembahasan:
$\int{\sqrt{x}\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}$
= $\int{{{x}^{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}-{{x}^{-2}} \right)dx}$
= $\int{\left( {{x}^{\frac{5}{2}}}-{{x}^{\frac{-3}{2}}} \right)dx}$
= $\frac{2}{7}{{x}^{\frac{7}{2}}}+2{{x}^{\frac{-1}{2}}}+c$
= $\frac{2}{7}{{x}^{2}}\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}+c$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 59
Jika kurva $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ memotong sumbu-y di titik $(0,1)$ dan $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=-4$, maka $\frac{b+c}{a}$ = …
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. 1
E. $\frac{3}{2}$
Pembahasan:
$(0,1)\to f(0)=a{{.0}^{2}}+b.0+c=1$ maka $c=1$ atau $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+1$
Dari $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=-4$, maka $f(1)=0$
$f(1)=a{{.1}^{2}}+b.1+1=0$
$a+b+1=0$
$a+b=-1$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=-4$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{2}}+bx+1}{x-1}=-4$
Dengan Teorema L’Hospital
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2ax+b}{1}=-4$
$2a+b=-4$
$a+b=-1$
-------------- (-)
$a=-3$ ,
$a+b=-1\Leftrightarrow -3+b=-1\Leftrightarrow b=2$
$\frac{b+c}{a}=\frac{2+1}{-3}=-1$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 60
Sebuah bilangan ganjil 5 angka diketahui memuat sempurna 2 angka genap dan tidak mempunyai angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut ialah …
A. 4.260
B. 4.290
C. 4.320
D. 5.400
E. 7.200
Pembahasan:
Langkah pertama:
Bilangan ganjil 5 angka, maka tersedia 5 kotak.
Untuk mengisi angka terakhir haruslah ganjil, sehingga ada 5 pilihan.
Langkah kedua:
Untuk mengisi 4 kotak pertama, sebab dihentikan memuat nol, tidak berulang, dan memuat sempurna 2 angka genap, maka haruslah terdiri dari 2 pilihan angka genap (XX) dan 2 angka ganjil (YY), sehingga:
Susunan ${{X}_{1}}{{X}_{2}}{{Y}_{1}}{{Y}_{2}}$ ada sebanyak $\frac{4!}{2!.2!}=6$.
Langkah ketiga:
Kemudian untuk mengisi ${{X}_{1}}$ ada sebanyak 4 Pilihan, ${{X}_{2}}$ ada 3 pilihan, ${{Y}_{1}}$ ada 3 pilihan, dan ${{Y}_{2}}$ ada 3 pilihan. Jadi, total sebanyak $4\times 3\times 4\times 3=144$
Ada sebanyak 4 x 3 x 4 x 3 x 5 = 720 bilangan
Jadi, banyak bilangan yang dimaksud adalah: $5 \times 6 \times 144=4320$
Jawaban: C
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 46
Misalkan ${{A}^{T}}$ ialah transpose matriks A dan $I=\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$. Jika $A=\left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right)$ sehingga $2A+3{{A}^{T}}=15I$, maka nilai ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ ialah …
A. 2
B. 4
C. 5
D. 8
E. 9
Pembahasan:
$2A+3{{A}^{T}}=15I$
$2\left( \begin{matrix} a & b \\ 0 & 3 \\ \end{matrix} \right)+3\left( \begin{matrix} a & 0 \\ b & 3 \\ \end{matrix} \right)=15\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2a & 2b \\ 0 & 6 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 3a & 0 \\ 3b & 9 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 5a & 2b \\ 3b & 15 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 15 & 0 \\ 0 & 15 \\ \end{matrix} \right)$
$5a=15\Leftrightarrow a=3$
$2b=0\Leftrightarrow b=0$
Nilai ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{3}^{2}}+{{0}^{2}}=9$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 47
Jika himpunan penyelesaian $|2x-a| < 5$ ialah {$x|-1 < x < 4$}, maka nilai $a$ ialah …
A. -4
B. -3
C. -1
D. 3
E. 4
Pembahasan:
$|2x-a| < 5$
$-5 < 2x-a < 5$
$-5+a < 2x < 5+a$
$\frac{-5+a}{2} < x < \frac{5+a}{2}$ ekuivalen dengan $-1 < x < 4$, maka:
$\frac{5+a}{2}=4\Leftrightarrow 5+a=8\Leftrightarrow a=3$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 48
Pada segitiga siku-siku samakaki ABC, sisi AB dan BC masing-masing terbagi menjadi tiga belahan yang sama, berturut-turut oleh titik K, L, M, dan N. Jika luas segitiga ABC ialah $x$ $c{{m}^{2}}$, maka luas segitiga KMN ialah … $c{{m}^{2}}$.
A. $\frac{x}{3}$
B. $\frac{2x}{9}$
C. $\frac{x}{9}$
D. $\frac{x}{18}$
E. $\frac{x}{36}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar.
Misalkan BC = AC = $y$
Sehingga luas ABC:
$\frac{1}{2}{{y}^{2}}=x$
BM = MN = NC = $\frac{1}{3}y$ serta BK = $\frac{2}{3}y$.
Luas segitiga KMN dengan bantalan = MN dan tinggi = BK adalah:
= $\frac{1}{2}.\frac{1}{3}y.\frac{2}{3}y=\frac{2}{9}.\frac{1}{2}{{y}^{2}}$
= $\frac{2}{9}.\frac{1}{2}{{y}^{2}}$
= $\frac{2}{9}.x=\frac{2x}{9}$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 49
Jika $f(x)=\sqrt{x-1}$ dan $g(x)=\frac{x-5}{x-1}$, $x\ne 1$, maka kawasan asal $f.g$ ialah …
A. $-\infty < x < \infty $
B. $x\ne 0$
C. $x\ne 1$
D. $x\ge 1$
E. $x > 1$
Pembahasan:
$f.g=\sqrt{x-1}.\frac{x-5}{x-1}$
$f.g=\frac{(x-5)\sqrt{x-1}}{x-1}$
Daerah asal $f.g$ yaitu:
i) syarat bentuk akar $\sqrt{x-1}$ ialah $x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge 1$
ii) syarat penyebut $x-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne 1$
dari i) dan ii) diperoleh:
Daerah asal $f.g$ ialah $x > 1$
Jawaban: E
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 50
Diketahui median dan rata-rata berat tubuh 5 balita ialah sama. Setelah ditambahkan satu data berat tubuh balita, rata-ratanya meningkat 1 kg, sedangkan mediannya tetap. Jika 6 data berat tubuh tersebut diurutkan dari yang paling ringan ke yang paling berat, maka selisih berat tubuh antara balita terakhir yang ditambahkan dan balita di urutan ke-4 ialah … kg.
A. 4
B. $\frac{9}{2}$
C. 5
D. 6
E. $\frac{13}{2}$
Pembahasan:
Setelah diurutkan berat tubuh kelima balita itu adalah:
$a$, $b$, $c$, $d$, $e$
$Me=c=\bar{x}$
$\bar{x}=\frac{a+b+c+d+e}{5}=c$, maka:
$a+b+c+d+e=5c$.
Jika ditambah data berat tubuh seorang balita lagi, misalkan $f$, maka rata-ratanya naik 1 dan mediannya tetap, artinya:
*) sebab rata-rata mengalami kenaikan maka dapatlah disimpulkan bahwa $f$ data terbesar.
*) $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$
$Me=c$, maka $d=c$
*) rata-rata menjadi:
$\frac{a+b+c+d+e+f}{6}=c+1$
$\frac{5c+f}{6}=c+1$
$5c+f=6c+6$
$f-c=6$
Selisih berat tubuh balita ke-6 ($f$) dengan balita urutan ke-4 ($d$) adalah:
$f-d=f-c=6$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 51
Jumlah suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmetika dengan suku-sukunya bilangan orisinil ialah 28. Jika beda barisan tersebut 3, maka suku ke-7 ialah …
A. 19
B. 20
C. 21
D. 22
E. 23
Pembahasan:
Barisan Aritmetika: ${{U}_{n}}=a+(n-1)b$
${{U}_{3}}+{{U}_{7}}=28$
$(a+2b)+(a+6b)=28$
$2a+8b=28$
$a+4b=14$; $b=3$
$a+4.3=14\Leftrightarrow a=2$
${{U}_{7}}=a+6b=2+6.3=20$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 52
Seseorang memelihara ikan di suatu kolam. Rata-rata bobot ikan per ekor pada dikala panen dari bak tersebut ialah $(6-0,02x)$ kg, dengan $x$ menyatakan banyak ikan yang dipelihara. Maksimum total bobot semua ikan pada dikala panen yang mungkin ialah … kg.
A. 400
B. 420
C. 435
D. 450
E. 465
Pembahasan:
Total bobot semua ikan adalah:
$f(x)=(6-0,02x)x=6x-0,02{{x}^{2}}$.
Agar total maksimum, maka $f'(x)=0$
$f(x)=6x-0,02{{x}^{2}}$
$f'(x)=6-0,04x=0$
$0,04x=6\Leftrightarrow x=\frac{6}{0,04}=150$
$f(150)=(6-0,02.(150)).150$
$f(150)=(6-3).150=450$
Maka total bobot maksimum ialah 450 kg.
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 53
Lima bilangan orisinil membentuk barisan geometri dengan rasio positif. Jika jumlah 3 suku terbesar dan jumlah 3 suku terkecil barisan geometri berturut-turut ialah 171 dan 76, maka jumlah 5 bilangan tersebut ialah …
A. 125
B. 130
C. 180
D. 211
E. 347
Pembahasan:
Barisan Geometri: ${{U}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$,
${{U}_{1}},{{U}_{2}},{{U}_{3}},{{U}_{4}},{{U}_{5}}$ $r > 0$
Jumlah 3 suku terbesar ialah 171, maka:
${{U}_{3}}+{{U}_{4}}+{{U}_{5}}=171$
$a{{r}^{2}}+a{{r}^{3}}+a{{r}^{4}}=171$
$a{{r}^{2}}(1+r+{{r}^{2}})=171$ …. Persamaan (1)
Jumlah 3 suku terbesar ialah 76, maka:
${{U}_{1}}+{{U}_{2}}+{{U}_{3}}=76$
$a+ar+a{{r}^{2}}=76$
$a(1+r+{{r}^{2}})=76$ …. Persamaan (2)
Persamaan (1) dibagi dengan persamaan (2), maka:
$\frac{a{{r}^{2}}(1+r+{{r}^{2}})}{a(1+r+{{r}^{2}})}=\frac{171}{76}$
${{r}^{2}}=\frac{9}{4}\Leftrightarrow r=\frac{3}{2}$
Substitusi ke persamaan (2):
$a(1+r+{{r}^{2}})=76$
$a\left( 1+\frac{3}{2}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}} \right)=76$
$a\left( 1+\frac{3}{2}+\frac{9}{4} \right)=76$
$\frac{19}{4}a=76\Leftrightarrow a=16$
${{S}_{n}}=\frac{a({{r}^{n}}-1)}{r-1}$
${{S}_{5}}=\frac{16\left( {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{5}}-1 \right)}{\frac{3}{2}-1}$
${{S}_{5}}=\frac{16\left( \frac{243}{32}-1 \right)}{\frac{1}{2}}$
${{S}_{5}}=32.\frac{211}{32}=211$
Jawaban: D
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 54
Jika $f(x)={{x}^{2}}+2$ dan $g(x)=-3x+8$, maka nilai maksimum fungsi $(g\circ f)(x)$ ialah …
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Pembahasan:
$\begin{align} (g\circ f)(x) &=g(f(x)) \\ &=g({{x}^{2}}+2) \\ & =-3({{x}^{2}}+2)+8 \\ (g\circ f)(x) &=-3{{x}^{2}}+2
\end{align}$
Nilai maksimum diperoleh jika:
$(g\circ f)'(x)=0$
$-6x=0\Leftrightarrow x=0$
$(g\circ f)(x)=-3{{x}^{2}}+2$
$(g\circ f)(0)=-{{3.0}^{2}}+2=2$
Jawaban: C
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 55
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan titik P terletak pada perpanjangan BF sehingga FP = 3 cm dan garis AP berpotongan dengan garis EF di titik Q. Jika panjang rusuk kubus tersebut ialah 6 cm, maka jarak Q ke D ialah … cm.
A. $2\sqrt{13}$
B. $2\sqrt{18}$
C. $2\sqrt{22}$
D. $4\sqrt{7}$
E. $4\sqrt{11}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Segitiga ABP sebangun dengan segitiga QFP, maka berlaku:
$\frac{x}{6}=\frac{3}{3+6}\Leftrightarrow \frac{x}{6}=\frac{3}{9}\Leftrightarrow x=2$
Karena $QF=x=2$, maka $EQ=6-2=4$ sehingga:
$A{{Q}^{2}}=E{{Q}^{2}}+E{{A}^{2}}$
$A{{Q}^{2}}={{4}^{2}}+{{6}^{2}}=52$
Perhatikan segitiga DAQ siku-siku di A, maka:
$\begin{align} DQ &= \sqrt{D{{A}^{2}}+A{{Q}^{2}}} \\ & =\sqrt{{{6}^{2}}+52} \\ & =\sqrt{88} \\ DQ &=2\sqrt{22} \end{align}$
Jawaban: C
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 56
Luas kawasan penyelesaian sistem pertidaksamaan $y+4x\le 12$, $y+2x\ge 8$, $x\ge 0$ ialah … satuan luas.
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10
Pembahasan:
Derah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut ialah kawasan yang diarsir pada gambar berikut!
Derah yang diarsir merupakan segitiga yang alasnya $a=12-8=4$ dan tingginya $t=2$.
Jadi, luasnya adalah:
L = $\frac{1}{2}.a.t$
L = $\frac{1}{2}.4.2=4$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 57
Transformasi yang bersesuaian dengan matriks $A=\left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \\ \end{matrix} \right)$ memetakan titik $(1,2)$ ke titik $(4,2)$. Jika transformasi yang sama memetakan titik $(x,y)$ ke titik $(12,6)$, maka nilai $x-y$ ialah …
A. -9
B. -3
C. 0
D. 3
E. 9
Pembahasan:
$\left( \begin{matrix} 0 & a \\ b & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2a \\ b \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 4 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)\Leftrightarrow a=2,b=2$
$A=\left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \\ \end{matrix} \right)$
Sehingga:
$\left( \begin{matrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x \\ y \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 12 \\ 6 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} 2y \\ 2x \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 12 \\ 6 \\ \end{matrix} \right)$
$2y=12\Leftrightarrow y=6$
$2x=6\Leftrightarrow x=3$
Nilai $x-y=3-6=-3$
Jawaban: B
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 58
$\int{\sqrt{x}\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}$ = …
A. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}+c$
B. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+c$
C. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+c$
D. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}+c$
E. $\frac{2}{7}{{x}^{3}}\sqrt{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}+c$
Pembahasan:
$\int{\sqrt{x}\left( {{x}^{2}}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx}$
= $\int{{{x}^{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}-{{x}^{-2}} \right)dx}$
= $\int{\left( {{x}^{\frac{5}{2}}}-{{x}^{\frac{-3}{2}}} \right)dx}$
= $\frac{2}{7}{{x}^{\frac{7}{2}}}+2{{x}^{\frac{-1}{2}}}+c$
= $\frac{2}{7}{{x}^{2}}\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}+c$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 59
Jika kurva $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+c$ memotong sumbu-y di titik $(0,1)$ dan $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=-4$, maka $\frac{b+c}{a}$ = …
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. 1
E. $\frac{3}{2}$
Pembahasan:
$(0,1)\to f(0)=a{{.0}^{2}}+b.0+c=1$ maka $c=1$ atau $f(x)=a{{x}^{2}}+bx+1$
Dari $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=-4$, maka $f(1)=0$
$f(1)=a{{.1}^{2}}+b.1+1=0$
$a+b+1=0$
$a+b=-1$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x-1}=-4$
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{a{{x}^{2}}+bx+1}{x-1}=-4$
Dengan Teorema L’Hospital
$\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{2ax+b}{1}=-4$
$2a+b=-4$
$a+b=-1$
-------------- (-)
$a=-3$ ,
$a+b=-1\Leftrightarrow -3+b=-1\Leftrightarrow b=2$
$\frac{b+c}{a}=\frac{2+1}{-3}=-1$
Jawaban: A
Matematika Dasar SBMPTN 2017 No. 60
Sebuah bilangan ganjil 5 angka diketahui memuat sempurna 2 angka genap dan tidak mempunyai angka berulang, serta tidak memuat angka 0. Banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut ialah …
A. 4.260
B. 4.290
C. 4.320
D. 5.400
E. 7.200
Pembahasan:
Langkah pertama:
Bilangan ganjil 5 angka, maka tersedia 5 kotak.
Untuk mengisi angka terakhir haruslah ganjil, sehingga ada 5 pilihan.
Langkah kedua:
Untuk mengisi 4 kotak pertama, sebab dihentikan memuat nol, tidak berulang, dan memuat sempurna 2 angka genap, maka haruslah terdiri dari 2 pilihan angka genap (XX) dan 2 angka ganjil (YY), sehingga:
Susunan ${{X}_{1}}{{X}_{2}}{{Y}_{1}}{{Y}_{2}}$ ada sebanyak $\frac{4!}{2!.2!}=6$.
Langkah ketiga:
Kemudian untuk mengisi ${{X}_{1}}$ ada sebanyak 4 Pilihan, ${{X}_{2}}$ ada 3 pilihan, ${{Y}_{1}}$ ada 3 pilihan, dan ${{Y}_{2}}$ ada 3 pilihan. Jadi, total sebanyak $4\times 3\times 4\times 3=144$
Ada sebanyak 4 x 3 x 4 x 3 x 5 = 720 bilangan
Jadi, banyak bilangan yang dimaksud adalah: $5 \times 6 \times 144=4320$
Jawaban: C
Artikel Terkait: |