To the point aja ya...! Berikut ini yaitu Pembahasan Matematika IPA SBMPTN 2013 Kode 135. yang mau d0wnl0ad soalnya aja, silahkan...! Yang mau share soalnya juga silahkan..! mau jalan-jalan dan lihat2 pemandangan di blog Catatan Matematika juga silahkan...! Beri waktu dan tingkatkan semangat kalian ya, biar harapan dan cita-cita kalian untuk sanggup lulus dan melanjutkan pendidikan dengan kuliah di sekolah tinggi tinggi favorit sanggup tercapai. Ingat, tolong-menolong hal itu bukan hanya harapan kalian, tapi juga harapan orang renta adik-adik sekalian. Untuk itu mari bahagiakan orang renta kalian, buat mereka besar hati terhadapmu. Kalian siap? Yuk pelajari dan pahami soal dan pembahasan berikut ini.
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 1
Persamaan bundar dengan sentra $(-1,1)$ dan menyinggung garis $3x-4y+12=0$ yaitu …
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+1=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y-7=0$
C. $4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+8x-8y-17=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y-2=0$
E. $4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+8x-8y-1=0$
Pembahasan:
Panjang jari-jari (r) yaitu jarak titik $(-1,1)$ ke garis $3x-4y+12=0$, maka:
$r=\left| \frac{3{{x}_{1}}-4{{y}_{1}}+12}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}} \right|$
$r=\left| \frac{3(-1)-4.1+12}{\sqrt{9+16}} \right|$
$r=1$
Persamaan bundar dengan sentra $(-1,1)$ dan r = 1 adalah:
${{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{1}^{2}}$
${{x}^{2}}+2x+1+{{y}^{2}}-2y+1=1$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+1=0$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 2
$\cot {{105}^{o}}\tan {{15}^{o}}$ = …
A. $-7+4\sqrt{3}$
B. $7+4\sqrt{3}$
C. $7-4\sqrt{3}$
D. $-7-4\sqrt{3}$
E. $-7+2\sqrt{3}$
Pembahasan:
$\cot {{105}^{o}}\tan {{15}^{o}}$
$=\cot ({{90}^{o}}+{{15}^{o}})\tan {{15}^{o}}$
$=-\tan {{15}^{o}}\tan {{15}^{o}}$
$=-{{\tan }^{2}}{{15}^{o}}$
$=-{{\tan }^{2}}({{60}^{o}}-{{45}^{o}})$
$=-{{\left( \frac{\tan {{60}^{o}}-\tan {{45}^{o}}}{1+\tan {{60}^{o}}.\tan {{45}^{o}}} \right)}^{2}}$
$=-{{\left( \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}.1} \right)}^{2}}$
$=-\frac{3-2\sqrt{3}+1}{1+2\sqrt{3}+3}$
$=-\frac{4-2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}\times \frac{4-2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$
$=-\frac{16-16\sqrt{3}+12}{16-12}$
$=-\frac{28-16\sqrt{3}}{4}$
$=-(7-4\sqrt{3})$
$=-7+4\sqrt{3}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 3
Enam anak, 3 pria dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 wanita duduk berdampingan yaitu …
A. $\frac{1}{60}$
B. $\frac{1}{30}$
C. $\frac{1}{15}$
D. $\frac{1}{10}$
E. $\frac{1}{5}$
Pembahasan:
Posisi duduk: LLLPPP maka $n(S)=P_{6}^{6}=6!$
A = insiden 3 wanita duduk berdampingan
Pertama: posisi duduk 3 wanita = $P_{3}^{3}=3!$
Kedua: alasannya yaitu 3 wanita selalu duduk berdampingan, maka kita anggap 1 tempat duduk digabung dengan 3 laki-laki, maka menjadi menyusun 4 tempat duduk yaitu: $P_{4}^{4}=4!$, maka:
$n(A)=3!.4!$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4!.3!}{6!}=\frac{4!.3.2.1}{6.5.4!}=\frac{1}{5}$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 4
Jika dalam segitiga ABC diketahui $5\sin A+12\cos B=13$ dan $5\cos A+12\sin B=6\sqrt{2}$, maka $\sin C$ = …
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}$
E. $\frac{3}{5}$
Pembahasan:
$5\sin A+12\cos B=13$, kuadratkan:
${{\left( 5\sin A+12\cos B \right)}^{2}}={{13}^{2}}$
$25{{\sin }^{2}}A+120\sin A\cos B+144{{\cos }^{2}}B=169$ … (1)
$5\cos A+12\sin B=6\sqrt{2}$, kuadratkan:
${{\left( 5\cos A+12\sin B \right)}^{2}}={{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{2}}$
$25{{\cos }^{2}}A+120\cos A\sin B+144{{\sin }^{2}}B=72$ … (2)
Jumlahkan persamaan (1) dan (2), diperoleh:
$25{{\sin }^{2}}A$ + $25{{\cos }^{2}}A$ + $120\sin A\cos B$ +$120\cos A\sin B$ + $144{{\sin }^{2}}B$ + $144{{\cos }^{2}}B=169+72$
$25+120(\sin A\cos B$ + $\cos A\sin B)+144=241$
$120(\sin A\cos B$ + $\cos A\sin B)+169=241$
$120\sin (A+B)=72$
$\sin (A+B)=\frac{72}{120}=\frac{3}{5}$
Pada segitiga ABC:
${{180}^{o}}-C=A+B$
$\sin ({{180}^{o}}-C)=\sin (A+B)$
$\sin C=\frac{3}{5}$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 5
Diketahui $(4,0,0)$, $B(0,-4,0)$, dan $C(0,0,8)$. Panjang vektor proyeksi $\overrightarrow{AC}$ ke vektor $\overrightarrow{AB}$ yaitu ….
A. $2\sqrt{2}$
B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
D. $\sqrt{2}$
E. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Pembahasan:
$\overrightarrow{AC}=C-A$
$\overrightarrow{AC}=(0,0,8)-(4,0,0)=(-4,0,8)$
$\overrightarrow{AB}=B-A$
$\overrightarrow{AB}=(0,-4,0)-(4,0,0)=(-4,-4,0)$
Panjang vektor proyeksi $\overrightarrow{AC}$ ke vektor $\overrightarrow{AB}$:
$=\left| \frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \right|$
$=\left| \frac{(-4,0,8).(-4,-4,0)}{\sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{(-4)}^{2}}+{{0}^{2}}}} \right|$
$=\left| \frac{16+0+0}{\sqrt{32}} \right|$
$=\frac{16}{4\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{2}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 6
Titik $(2a,-a)$ diputar ${{90}^{o}}$ berlawanan arah jarum jam dengan sentra perputaran titik $(2,2)$. Jika hasil rotasinya yaitu $(a+4,-2)$ maka $a$ = …
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
E. -2
Pembahasan:
$R\left( (a,b),\theta \right)=R\left( (2,2),{{90}^{o}} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} a+4 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos {{90}^{o}} & -\sin {{90}^{o}} \\ \sin {{90}^{o}} & \cos {{90}^{o}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2a-2 \\ -a-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} a+4 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2a-2 \\ -a-2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} a+2 \\ -4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a+2 \\ 2a-2 \\ \end{matrix} \right)$
$2a-2=-4\Leftrightarrow a=-1$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 7
Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki sisi 4 cm. Titik P, yaitu titik tengah CD, titik Q yaitu titik tengah EH, dan titik R titik tengah BF. Jarak P ke QR yaitu ….
A. $\sqrt{15}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $\sqrt{6}$
D. $\sqrt{5}$
E. $2\sqrt{2}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
Perhatikan segitiga PCB, siku-siku di C
$BP=\sqrt{B{{C}^{2}}+P{{C}^{2}}}$
$BP=\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{20}$
Perhatikan segitiga PBR, siku-siku di B
$PR=\sqrt{B{{P}^{2}}+B{{R}^{2}}}$
$PR=\sqrt{{{(\sqrt{20})}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{6}$
Perhatikan segitiga PQR, ternyata segitiga PQR yaitu segitiga sama sisi:
Jarak titik P ke QR yaitu panjang PS:
$PS=\sqrt{P{{Q}^{2}}-Q{{S}^{2}}}$
$PS=\sqrt{{{(2\sqrt{6})}^{2}}-{{(\sqrt{6})}^{2}}}$
$PS=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 8
Suku banyak ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3$ membagi habis ${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+4bx+c$ maka nilai $a+b$ yaitu …
A. 12
B. 10
C. 9
D. 6
E. 3
Pembahasan:
Misalkan hasil $(x+p)$ yaitu hasil pembagian ${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+4bx+c$ oleh ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3$ maka:
Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+4bx+c$$\equiv ({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3)(x+p)+0$
${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+4bx+c$$\equiv {{x}^{4}}+(p+3){{x}^{3}}+(3p+9){{x}^{2}}+(9p+3)x+3p$
$p+3=4\Leftrightarrow p=1$
$2a=3p+9\Leftrightarrow 2a=3.1+9\Leftrightarrow a=6$
$4b=9p+3\Leftrightarrow 4b=9.1+3\Leftrightarrow b=3$
$a+b=3+6=9$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 9
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{\sin }^{2}}x-{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}x}{x\tan x}$ = …
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. -1
D. $-\frac{1}{2}$
E. -2
Pembahasan:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{\sin }^{2}}x-{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}x}{x\tan x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{\sin }^{2}}x}{x\tan x}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}x}{x\tan x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\sin x}{x}.\frac{\sin x}{\tan x}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\tan x}.{{\cos }^{2}}x$
$=3.1-1.{{\cos }^{2}}{{0}^{o}}$
$=3-1$
$=2$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 10
Diketahui $f(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+\frac{1}{6}$. Jika $g(x)=f(1-2x)$, maka kurva $g$ naik pada selang …
A. $-\frac{1}{4}\le x\le 1$
B. $-1\le x\le \frac{1}{4}$
C. $-\frac{5}{4}\le x\le 1$
D. $-\frac{3}{4}\le x\le 1$
E. $\frac{3}{4}\le x\le 1$
Pembahasan:
$f(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+\frac{1}{6}$
$f'(x)=2{{x}^{2}}-x-3$
$g(x)$ naik maka $g'(x)\ge 0$
$g(x)=f(1-2x)$
$g'(x)=-2f'(1-2x)\ge 0$
$-2\left( 2{{(1-2x)}^{2}}-(1-2x)-3 \right)\ge 0$
$-2\left( 2(1-4x+4{{x}^{2}})-1+2x-3 \right)\ge 0$
$-2\left( 2-8x+8{{x}^{2}}+2x-4 \right)\ge 0$
$-2\left( 8{{x}^{2}}-6x-2 \right)\ge 0$
$-16{{x}^{2}}+12x+4\ge 0$
$4{{x}^{2}}-3x-1\le 0$
$(4x+1)(x-1)\le 0$
$-\frac{1}{4}\le x\le 1$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 11
$\int{2\cos x.\cos (1-2x)dx}$ = …
A. $\sin (x-1)+\sin (3x-1)+c$
B. $\sin (x-1)-\sin (3x-1)+c$
C. $-\sin (x-1)+\frac{1}{3}\sin (3x-1)+c$
D. $-\sin (x-1)-\frac{1}{3}\sin (3x-1)+c$
E. $\sin (x-1)+\frac{1}{3}\sin (3x-1)+c$
Pembahasan:
$\int{2\cos x.\cos (1-2x)dx}$
$=\int{\left\{ \cos (1-x)+\cos (3x-1) \right\}dx}$
$=\int{\left\{ \cos (x-1)+\cos (3x-1) \right\}dx}$
$=\sin (x-1)+\frac{1}{3}\sin (3x-1)+c$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 12
Diketahui bundar dengan jari-jari 2, sebagaimana diberikan dalam gambar di atas. Jika tali busur pada gambar berjarak 1 dari garis tengah, maka luas kawasan di bawah tali busur yaitu …
A. $2\pi -2\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
B. $2\pi -2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
C. $4\pi -2\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
D. $4\pi -2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
E. $4\pi -2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)dx}$
Pembahasan:
$L=\pi {{.2}^{2}}-2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)dx}$
$L=4\pi -2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 13
Dalam kantong terdapat bola yang diberi nomor 1, 2, 3, 4 dan 5. Andi mengambil satu bola secara acak kemudian mencatat nomornya dan tidak mengembalikannya. Andi melaksanakan pengambilan bola tersebut sebanyak tiga kali. Banyak cara Andi mendapat jumlah ketiga nomor bola yang diambilnya sama dengan 10 yaitu …
A. 6
B. 12
C. 15
D. 16
E. 18
Pembahasan:
Banyaknya cara untuk mendapat jumlah ketiga angka yaitu 10.
Kemunginan-kemungkinannya adalah:
Angka: 1, 4, 5 terdapat 3! = 6
Angka: 2, 3, 5 terdapat 3! = 6
Seluruhnya adalah: 6 + 6 = 12 cara.
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 14
Diketahui $F(x)=(1+a){{x}^{3}}-3b{{x}^{2}}-9x$ habis dibagi ${{x}^{2}}-2x+1$. Jika kurva $y=F(x)$ memiliki titik ekstrem lokal di $(-1,F(-1))$ maka $b$ = …
A. 2
B. $\frac{6}{5}$
C. 1
D. $-\frac{6}{5}$
E. -2
Pembahasan:
$(1+a){{x}^{3}}-3b{{x}^{2}}-9x=({{x}^{2}}-2x+1).H(x)$
$(1+a){{x}^{3}}-3b{{x}^{2}}-9x=(x-1)(x-1).H(x)$
untuk $x=1$ persaman di atas menjadi:
$(1+a){{.1}^{3}}-3b{{.1}^{2}}-9.1=(1-1)(1-1).H(1)$
$1+a-3b-9=0$
$a-3b=8$ … (1)
Mempunyai ekstrim lokal di $(-1,F(-1))$ maka:
$F'(-1)=0$
$F'(x)=3(1+a){{x}^{2}}-6bx-9$
$F'(-1)=3(1+a){{(-1)}^{2}}-6b(-1)-9=0$
$3+3a+6b-9=0$
$3a+6b=6$
$a+2b=2$ …. (2)
$a-3b=8$ … (1)
-------------------- (-)
$5b=-6\Leftrightarrow b=\frac{-6}{5}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 15
Misalkan L(a) yaitu luas kawasan yang dibatasi oleh sumbu-X dan parabola $y=ax+{{x}^{2}}$, $0 < a < 1$. Peluang nilai $a$ sehingga $L(a)\le \frac{1}{12}$ yaitu …
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
C. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
D. $\frac{1}{6}$
E. $\frac{1}{3}$
Pembahasan:
$0 < a < 1 \Leftrightarrow n(S)=1$
$y=ax+{{x}^{2}}$
$y={{x}^{2}}+ax$
$D={{b}^{2}}-4ac={{a}^{2}}-4.1.0$
$D={{a}^{2}}$
$L=\frac{D\sqrt{D}}{{{6.1}^{2}}}$
$L=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}}}{6}=\frac{{{a}^{3}}}{6}$
$L(a)\le \frac{1}{12}$
$\frac{{{a}^{3}}}{6}\le \frac{1}{12}\Leftrightarrow {{a}^{3}}\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow a\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Jadi, $L(a)\le \frac{1}{12}$ untuk $0 < a \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, maka $n(A)=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Peluang nilai a:
$=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 1
Persamaan bundar dengan sentra $(-1,1)$ dan menyinggung garis $3x-4y+12=0$ yaitu …
A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+1=0$
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y-7=0$
C. $4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+8x-8y-17=0$
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y-2=0$
E. $4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+8x-8y-1=0$
Pembahasan:
Panjang jari-jari (r) yaitu jarak titik $(-1,1)$ ke garis $3x-4y+12=0$, maka:
$r=\left| \frac{3{{x}_{1}}-4{{y}_{1}}+12}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}} \right|$
$r=\left| \frac{3(-1)-4.1+12}{\sqrt{9+16}} \right|$
$r=1$
Persamaan bundar dengan sentra $(-1,1)$ dan r = 1 adalah:
${{(x+1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}={{1}^{2}}$
${{x}^{2}}+2x+1+{{y}^{2}}-2y+1=1$
${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-2y+1=0$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 2
$\cot {{105}^{o}}\tan {{15}^{o}}$ = …
A. $-7+4\sqrt{3}$
B. $7+4\sqrt{3}$
C. $7-4\sqrt{3}$
D. $-7-4\sqrt{3}$
E. $-7+2\sqrt{3}$
Pembahasan:
$\cot {{105}^{o}}\tan {{15}^{o}}$
$=\cot ({{90}^{o}}+{{15}^{o}})\tan {{15}^{o}}$
$=-\tan {{15}^{o}}\tan {{15}^{o}}$
$=-{{\tan }^{2}}{{15}^{o}}$
$=-{{\tan }^{2}}({{60}^{o}}-{{45}^{o}})$
$=-{{\left( \frac{\tan {{60}^{o}}-\tan {{45}^{o}}}{1+\tan {{60}^{o}}.\tan {{45}^{o}}} \right)}^{2}}$
$=-{{\left( \frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}.1} \right)}^{2}}$
$=-\frac{3-2\sqrt{3}+1}{1+2\sqrt{3}+3}$
$=-\frac{4-2\sqrt{3}}{4+2\sqrt{3}}\times \frac{4-2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}}$
$=-\frac{16-16\sqrt{3}+12}{16-12}$
$=-\frac{28-16\sqrt{3}}{4}$
$=-(7-4\sqrt{3})$
$=-7+4\sqrt{3}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 3
Enam anak, 3 pria dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 wanita duduk berdampingan yaitu …
A. $\frac{1}{60}$
B. $\frac{1}{30}$
C. $\frac{1}{15}$
D. $\frac{1}{10}$
E. $\frac{1}{5}$
Pembahasan:
Posisi duduk: LLLPPP maka $n(S)=P_{6}^{6}=6!$
A = insiden 3 wanita duduk berdampingan
Pertama: posisi duduk 3 wanita = $P_{3}^{3}=3!$
Kedua: alasannya yaitu 3 wanita selalu duduk berdampingan, maka kita anggap 1 tempat duduk digabung dengan 3 laki-laki, maka menjadi menyusun 4 tempat duduk yaitu: $P_{4}^{4}=4!$, maka:
$n(A)=3!.4!$
$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4!.3!}{6!}=\frac{4!.3.2.1}{6.5.4!}=\frac{1}{5}$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 4
Jika dalam segitiga ABC diketahui $5\sin A+12\cos B=13$ dan $5\cos A+12\sin B=6\sqrt{2}$, maka $\sin C$ = …
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}\sqrt{2}$
C. $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}$
E. $\frac{3}{5}$
Pembahasan:
$5\sin A+12\cos B=13$, kuadratkan:
${{\left( 5\sin A+12\cos B \right)}^{2}}={{13}^{2}}$
$25{{\sin }^{2}}A+120\sin A\cos B+144{{\cos }^{2}}B=169$ … (1)
$5\cos A+12\sin B=6\sqrt{2}$, kuadratkan:
${{\left( 5\cos A+12\sin B \right)}^{2}}={{\left( 6\sqrt{2} \right)}^{2}}$
$25{{\cos }^{2}}A+120\cos A\sin B+144{{\sin }^{2}}B=72$ … (2)
Jumlahkan persamaan (1) dan (2), diperoleh:
$25{{\sin }^{2}}A$ + $25{{\cos }^{2}}A$ + $120\sin A\cos B$ +$120\cos A\sin B$ + $144{{\sin }^{2}}B$ + $144{{\cos }^{2}}B=169+72$
$25+120(\sin A\cos B$ + $\cos A\sin B)+144=241$
$120(\sin A\cos B$ + $\cos A\sin B)+169=241$
$120\sin (A+B)=72$
$\sin (A+B)=\frac{72}{120}=\frac{3}{5}$
Pada segitiga ABC:
${{180}^{o}}-C=A+B$
$\sin ({{180}^{o}}-C)=\sin (A+B)$
$\sin C=\frac{3}{5}$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 5
Diketahui $(4,0,0)$, $B(0,-4,0)$, dan $C(0,0,8)$. Panjang vektor proyeksi $\overrightarrow{AC}$ ke vektor $\overrightarrow{AB}$ yaitu ….
A. $2\sqrt{2}$
B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
D. $\sqrt{2}$
E. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
Pembahasan:
$\overrightarrow{AC}=C-A$
$\overrightarrow{AC}=(0,0,8)-(4,0,0)=(-4,0,8)$
$\overrightarrow{AB}=B-A$
$\overrightarrow{AB}=(0,-4,0)-(4,0,0)=(-4,-4,0)$
Panjang vektor proyeksi $\overrightarrow{AC}$ ke vektor $\overrightarrow{AB}$:
$=\left| \frac{\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} \right|$
$=\left| \frac{(-4,0,8).(-4,-4,0)}{\sqrt{{{(-4)}^{2}}+{{(-4)}^{2}}+{{0}^{2}}}} \right|$
$=\left| \frac{16+0+0}{\sqrt{32}} \right|$
$=\frac{16}{4\sqrt{2}}$
$=2\sqrt{2}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 6
Titik $(2a,-a)$ diputar ${{90}^{o}}$ berlawanan arah jarum jam dengan sentra perputaran titik $(2,2)$. Jika hasil rotasinya yaitu $(a+4,-2)$ maka $a$ = …
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
E. -2
Pembahasan:
$R\left( (a,b),\theta \right)=R\left( (2,2),{{90}^{o}} \right)$
$\left( \begin{matrix} x' \\ y' \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} x-a \\ y-b \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} a+4 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} \cos {{90}^{o}} & -\sin {{90}^{o}} \\ \sin {{90}^{o}} & \cos {{90}^{o}} \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2a-2 \\ -a-2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} a+4 \\ -2 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 2 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} 2a-2 \\ -a-2 \\ \end{matrix} \right)$
$\left( \begin{matrix} a+2 \\ -4 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} a+2 \\ 2a-2 \\ \end{matrix} \right)$
$2a-2=-4\Leftrightarrow a=-1$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 7
Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki sisi 4 cm. Titik P, yaitu titik tengah CD, titik Q yaitu titik tengah EH, dan titik R titik tengah BF. Jarak P ke QR yaitu ….
A. $\sqrt{15}$
B. $3\sqrt{2}$
C. $\sqrt{6}$
D. $\sqrt{5}$
E. $2\sqrt{2}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
Perhatikan segitiga PCB, siku-siku di C
$BP=\sqrt{B{{C}^{2}}+P{{C}^{2}}}$
$BP=\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=\sqrt{20}$
Perhatikan segitiga PBR, siku-siku di B
$PR=\sqrt{B{{P}^{2}}+B{{R}^{2}}}$
$PR=\sqrt{{{(\sqrt{20})}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{6}$
Perhatikan segitiga PQR, ternyata segitiga PQR yaitu segitiga sama sisi:
Jarak titik P ke QR yaitu panjang PS:
$PS=\sqrt{P{{Q}^{2}}-Q{{S}^{2}}}$
$PS=\sqrt{{{(2\sqrt{6})}^{2}}-{{(\sqrt{6})}^{2}}}$
$PS=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 8
Suku banyak ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3$ membagi habis ${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+4bx+c$ maka nilai $a+b$ yaitu …
A. 12
B. 10
C. 9
D. 6
E. 3
Pembahasan:
Misalkan hasil $(x+p)$ yaitu hasil pembagian ${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+4bx+c$ oleh ${{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3$ maka:
Yang dibagi = pembagi x hasil + sisa
${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+4bx+c$$\equiv ({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+9x+3)(x+p)+0$
${{x}^{4}}+4{{x}^{3}}+2a{{x}^{2}}+4bx+c$$\equiv {{x}^{4}}+(p+3){{x}^{3}}+(3p+9){{x}^{2}}+(9p+3)x+3p$
$p+3=4\Leftrightarrow p=1$
$2a=3p+9\Leftrightarrow 2a=3.1+9\Leftrightarrow a=6$
$4b=9p+3\Leftrightarrow 4b=9.1+3\Leftrightarrow b=3$
$a+b=3+6=9$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 9
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{\sin }^{2}}x-{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}x}{x\tan x}$ = …
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. -1
D. $-\frac{1}{2}$
E. -2
Pembahasan:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{\sin }^{2}}x-{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}x}{x\tan x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3{{\sin }^{2}}x}{x\tan x}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}x}{x\tan x}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\sin x}{x}.\frac{\sin x}{\tan x}-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{\tan x}.{{\cos }^{2}}x$
$=3.1-1.{{\cos }^{2}}{{0}^{o}}$
$=3-1$
$=2$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 10
Diketahui $f(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+\frac{1}{6}$. Jika $g(x)=f(1-2x)$, maka kurva $g$ naik pada selang …
A. $-\frac{1}{4}\le x\le 1$
B. $-1\le x\le \frac{1}{4}$
C. $-\frac{5}{4}\le x\le 1$
D. $-\frac{3}{4}\le x\le 1$
E. $\frac{3}{4}\le x\le 1$
Pembahasan:
$f(x)=\frac{2}{3}{{x}^{3}}-\frac{1}{2}{{x}^{2}}-3x+\frac{1}{6}$
$f'(x)=2{{x}^{2}}-x-3$
$g(x)$ naik maka $g'(x)\ge 0$
$g(x)=f(1-2x)$
$g'(x)=-2f'(1-2x)\ge 0$
$-2\left( 2{{(1-2x)}^{2}}-(1-2x)-3 \right)\ge 0$
$-2\left( 2(1-4x+4{{x}^{2}})-1+2x-3 \right)\ge 0$
$-2\left( 2-8x+8{{x}^{2}}+2x-4 \right)\ge 0$
$-2\left( 8{{x}^{2}}-6x-2 \right)\ge 0$
$-16{{x}^{2}}+12x+4\ge 0$
$4{{x}^{2}}-3x-1\le 0$
$(4x+1)(x-1)\le 0$
$-\frac{1}{4}\le x\le 1$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 11
$\int{2\cos x.\cos (1-2x)dx}$ = …
A. $\sin (x-1)+\sin (3x-1)+c$
B. $\sin (x-1)-\sin (3x-1)+c$
C. $-\sin (x-1)+\frac{1}{3}\sin (3x-1)+c$
D. $-\sin (x-1)-\frac{1}{3}\sin (3x-1)+c$
E. $\sin (x-1)+\frac{1}{3}\sin (3x-1)+c$
Pembahasan:
$\int{2\cos x.\cos (1-2x)dx}$
$=\int{\left\{ \cos (1-x)+\cos (3x-1) \right\}dx}$
$=\int{\left\{ \cos (x-1)+\cos (3x-1) \right\}dx}$
$=\sin (x-1)+\frac{1}{3}\sin (3x-1)+c$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 12
Diketahui bundar dengan jari-jari 2, sebagaimana diberikan dalam gambar di atas. Jika tali busur pada gambar berjarak 1 dari garis tengah, maka luas kawasan di bawah tali busur yaitu …
A. $2\pi -2\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
B. $2\pi -2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
C. $4\pi -2\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
D. $4\pi -2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
E. $4\pi -2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)dx}$
Pembahasan:
$L=\pi {{.2}^{2}}-2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( {{y}_{1}}-{{y}_{2}} \right)dx}$
$L=4\pi -2\int\limits_{0}^{\sqrt{3}}{\left( \sqrt{4-{{x}^{2}}}-1 \right)dx}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 13
Dalam kantong terdapat bola yang diberi nomor 1, 2, 3, 4 dan 5. Andi mengambil satu bola secara acak kemudian mencatat nomornya dan tidak mengembalikannya. Andi melaksanakan pengambilan bola tersebut sebanyak tiga kali. Banyak cara Andi mendapat jumlah ketiga nomor bola yang diambilnya sama dengan 10 yaitu …
A. 6
B. 12
C. 15
D. 16
E. 18
Pembahasan:
Banyaknya cara untuk mendapat jumlah ketiga angka yaitu 10.
Kemunginan-kemungkinannya adalah:
Angka: 1, 4, 5 terdapat 3! = 6
Angka: 2, 3, 5 terdapat 3! = 6
Seluruhnya adalah: 6 + 6 = 12 cara.
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 14
Diketahui $F(x)=(1+a){{x}^{3}}-3b{{x}^{2}}-9x$ habis dibagi ${{x}^{2}}-2x+1$. Jika kurva $y=F(x)$ memiliki titik ekstrem lokal di $(-1,F(-1))$ maka $b$ = …
A. 2
B. $\frac{6}{5}$
C. 1
D. $-\frac{6}{5}$
E. -2
Pembahasan:
$(1+a){{x}^{3}}-3b{{x}^{2}}-9x=({{x}^{2}}-2x+1).H(x)$
$(1+a){{x}^{3}}-3b{{x}^{2}}-9x=(x-1)(x-1).H(x)$
untuk $x=1$ persaman di atas menjadi:
$(1+a){{.1}^{3}}-3b{{.1}^{2}}-9.1=(1-1)(1-1).H(1)$
$1+a-3b-9=0$
$a-3b=8$ … (1)
Mempunyai ekstrim lokal di $(-1,F(-1))$ maka:
$F'(-1)=0$
$F'(x)=3(1+a){{x}^{2}}-6bx-9$
$F'(-1)=3(1+a){{(-1)}^{2}}-6b(-1)-9=0$
$3+3a+6b-9=0$
$3a+6b=6$
$a+2b=2$ …. (2)
$a-3b=8$ … (1)
-------------------- (-)
$5b=-6\Leftrightarrow b=\frac{-6}{5}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2013 No. 15
Misalkan L(a) yaitu luas kawasan yang dibatasi oleh sumbu-X dan parabola $y=ax+{{x}^{2}}$, $0 < a < 1$. Peluang nilai $a$ sehingga $L(a)\le \frac{1}{12}$ yaitu …
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
C. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
D. $\frac{1}{6}$
E. $\frac{1}{3}$
Pembahasan:
$0 < a < 1 \Leftrightarrow n(S)=1$
$y=ax+{{x}^{2}}$
$y={{x}^{2}}+ax$
$D={{b}^{2}}-4ac={{a}^{2}}-4.1.0$
$D={{a}^{2}}$
$L=\frac{D\sqrt{D}}{{{6.1}^{2}}}$
$L=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{{{a}^{2}}}}{6}=\frac{{{a}^{3}}}{6}$
$L(a)\le \frac{1}{12}$
$\frac{{{a}^{3}}}{6}\le \frac{1}{12}\Leftrightarrow {{a}^{3}}\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow a\le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Jadi, $L(a)\le \frac{1}{12}$ untuk $0 < a \le \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$, maka $n(A)=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Peluang nilai a:
$=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{2}}}{1}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$
Jawaban: C
Artikel Terkait: |