Postingan kali ini yaitu Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2011 Kode 591. Di dalam postingan ini juga saya menunjukkan file soal dalam bentuk pdf yang sanggup kalian unduh.
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 1
Diketahui vektor $\vec{u}=(a,-2,-1)$ dan $\vec{v}=(a,a,-1)$. Jika vektor $\vec{u}$ tegak lurus pada $\vec{v}$, maka nilai $a$ yaitu …
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3
Pembahasan:
Jika $\vec{u}\bot \vec{v}$ maka:
$\vec{u}.\vec{v}=0$
$\left( \begin{matrix} a \\ -2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a \\ a \\ -1 \\ \end{matrix} \right)=0$
${{a}^{2}}-2a+1=0$
$(a-1)(a-1)=0$
$a=1$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 2
Pernyataan berikut yang benar yaitu …
A. Jika sin x = sin y, maka x = y
B. Untuk setiap vektor $\vec{u}$, $\vec{v}$, dan $\vec{w}$ berlaku $\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w})=(\vec{u}.\vec{v}).\vec{w}$
C. Jika $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=0$ maka $f(x)=0$
D. Ada fungsi $f$ sehingga $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne f(c)$ untuk suatu c.
E. $1-\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x$
Pembahasan:
A salah, contoh: $\sin {{30}^{o}}=\sin {{150}^{o}}$, ${{30}^{o}}\ne {{150}^{o}}$
B salah, $\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w})\ne (\vec{u}.\vec{v}).\vec{w}$
C salah, $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$, jadi $f(x)$ tidak selalu nol.
D benar, alasannya yaitu walaupun f(x) jikalau dimasukkan c jadinya menjadi $\infty $, apabila kita kerjakan dengan limit sanggup jadi jadinya bilangan real.
E salah,
$1-\cos 2x=1-(2{{\cos }^{2}}x-1)$
$1-\cos 2x=2-2{{\cos }^{2}}x$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 3
Luas tempat di bawah $y=-{{x}^{2}}+8x$, di atas $y=6x-24$, dan terletak di kuadran I yaitu …
A. $\int\limits_{0}^{4}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}+\int\limits_{4}^{6}{({{x}^{2}}-2x-24)dx}$
B. $\int\limits_{0}^{4}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}+\int\limits_{4}^{6}{(-{{x}^{2}}+2x+24)dx}$
C. $\int\limits_{0}^{6}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}+\int\limits_{6}^{8}{(-{{x}^{2}}+2x+24)dx}$
D. $\int\limits_{4}^{6}{(6x-24)dx}+\int\limits_{6}^{8}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}$
E. $\int\limits_{0}^{4}{(6x-24)dx}+\int\limits_{4}^{6}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
Luas yang diarsir:
= $\int\limits_{0}^{4}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}$ + $\int\limits_{4}^{6}{((-{{x}^{2}}+8x)-(6x-24))dx}$
= $\int\limits_{0}^{4}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}+\int\limits_{4}^{6}{(-{{x}^{2}}+2x+24)dx}$
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 4
Jika $\sin x+\cos x=-\frac{1}{5}$ dan $\frac{3\pi }{4}\le x < \pi $, maka nilai $\sin 2x$ yaitu …
A. $\frac{-24}{25}$
B. $\frac{-7}{25}$
C. $\frac{7}{25}$
D. $\frac{8}{25}$
E. $\frac{24}{25}$
Pembahasan:
$\sin x+\cos x=-\frac{1}{5}$
Kuadratkan kedua ruas
${{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}={{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{2}}$
${{\sin }^{2}}x+2\sin x.\cos x+{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{25}$
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+2\sin x.\cos x=\frac{1}{25}$
$1+\sin 2x=\frac{1}{25}$
$\sin 2x=\frac{1}{25}-1=\frac{-24}{25}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 5
Kedua akar suku banyak $S(x)={{x}^{2}}-63x+c$ merupakan bilangan prima. Banyak nilai $c$ yang mungkin yaitu ….
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. lebih dari 3
Pembahasan:
$S(x)={{x}^{2}}-63x+c$, akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ maka:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=63$ alasannya yaitu ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ bilangan prima, maka yang memungkinkan yaitu ${{x}_{1}}=2$ dan ${{x}_{2}}=61$.
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=c\Leftrightarrow c=2.61=122$.
Banyak nilai $c$ yang memungkinkan yaitu 1.
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 6
Diketahui segilima ABCDE, dengan $A(0,2)$, $B(4,0)$, $C(2\pi +1,0)$, $D(2\pi +1,4)$, dan $E(0,4)$. Titik P dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut APB berukuran tumpul yaitu …
A. $\frac{3}{8}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{16}$
E. $\frac{5}{8}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
$AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}$
${{L}_{1}}$ = Luas setengah bundar dengan diameter AB
${{L}_{1}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\pi {{d}^{2}}$
$=\frac{1}{8}\pi {{(2\sqrt{5})}^{2}}$
${{L}_{1}}=\frac{5}{2}\pi $
${{L}_{2}}$ = Luas tempat ABCDE
= Luas OCDE – Luas OAB
$=4(2\pi +1)-\frac{1}{2}.4.2$
${{L}_{2}}$ $=8\pi $
Peluang sudut APB tumbul adalah:
$=\frac{{{L}_{1}}}{{{L}_{2}}}=\frac{\frac{5}{2}\pi }{8\pi }=\frac{5}{16}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 7
Diketahui limas T.ABC dengan TA tegak lurus bidang ABC. Panjang rusuk AB, AC, BC dan TA berturut-turut yaitu 3 cm, 4 cm, 5 cm, dan$\frac{9}{5}$ cm. Jika $\varphi $ sudut antara bidang BCT dengan bidang ABC, maka nilai $\cos \varphi $ yaitu …
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{6}{25}$
D. $\frac{9}{25}$
E. $\frac{12}{25}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Luas segitiga ABC:
$\frac{1}{2}.AD.BC=\frac{1}{2}.AB.AC$
$AD=\frac{AB.AC}{BC}$
$AD=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}$
Perhatikan segitiga TAD siku-siku di A, maka:
$TD=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{T}^{2}}}$
$TD=\sqrt{{{\left( \frac{12}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{9}{5} \right)}^{2}}}=\frac{15}{5}$
$\cos \alpha =\frac{AE}{TE}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{15}{5}}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 8
Kolam renang berbentuk adonan persegi panjang dan setengah bundar menyerupai gambar di atas. Keliling bak renang sama dengan $a$ satuan panjang. Agar luas bak renang maksimum, maka $x$ = … satuan panjang.
A. $\frac{2a}{\pi }$
B. $\frac{a}{\pi }$
C. $\frac{a}{4+\pi }$
D. $\frac{a}{4+2\pi }$
E. $\frac{2a}{4+\pi }$
Pembahasan:
Keliling = $a$
$x+2y+\frac{1}{2}\pi x=a$
$\left( 1+\frac{1}{2}\pi \right)x+2y=a$
$2y=a-\left( 1+\frac{1}{2}\pi \right)x$
$y=\frac{1}{2}a-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi \right)x$
Luas = Luas persegi panjang + Luas setengah lingkaran
$L=x.y+\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\pi {{x}^{2}}$
$L=x\left( \frac{1}{2}a-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi \right)x \right)+\frac{1}{8}\pi {{x}^{2}}$
$L=\frac{1}{2}ax-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi \right){{x}^{2}}+\frac{1}{8}\pi {{x}^{2}}$
$L=\frac{1}{2}ax+\left( -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{8}\pi \right){{x}^{2}}$
$L=\frac{1}{2}ax+\left( -\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\pi \right){{x}^{2}}$
Agar luas maksimum, maka L’ = 0
$\frac{1}{2}a+\left( -1-\frac{1}{4}\pi \right)x=0$
$\frac{1}{2}a=\left( \frac{4+\pi }{4} \right)x$
$2a=\left( 4+\pi \right)x$
$x=\frac{2a}{4+\pi }$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 9
Diberikan $f(x)=a+bx$ dan $F(x)$ yaitu anti turunan $f(x)$. Jika $F(1)-F(0)=3$ maka $2a+b$ yaitu …
A. 10
B. 6
C. 5
D. 4
E. 3
Pembahasan:
$f(x)=a+bx$
$\int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx=F(1)-F(0)$
$\int\limits_{0}^{1}{(a+bx)}dx=3$
$(\left. ax+\frac{1}{2}b{{x}^{2}}) \right|_{0}^{1}=3$
$(a.1+\frac{1}{2}b{{.1}^{2}})-(a.0+\frac{1}{2}b{{.0}^{2}})=3$
$a+\frac{1}{2}b=3$ } kedua ruas dikali 2
$2a+b=6$
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 10
Jika $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}=\frac{1}{2}$, maka nilai $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$ yaitu …
A. -4
B. -2
C. -1
D. 2
E. 4
Pembahasan:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}\times \frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)(\sqrt{1-x}+1)}{(1-x)-1}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{-x}\times (\sqrt{1-x}+1)$
$=-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}\times (\sqrt{1-x}+1)$
$=-\frac{1}{2}\times (\sqrt{1-0}+1)$
$=-1$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 11
$\cos {{35}^{o}}.\cos {{20}^{o}}-\sin {{35}^{o}}.\sin {{20}^{o}}$ = …
A. $\sin {{35}^{o}}$
B. $\sin {{55}^{o}}$
C. $\cos {{35}^{o}}$
D. $\cos {{15}^{o}}$
E. $\sin {{15}^{o}}$
Pembahasan:
$\cos {{35}^{o}}.\cos {{20}^{o}}-\sin {{35}^{o}}.\sin {{20}^{o}}$
$=\cos ({{35}^{o}}+{{20}^{o}})$
$=\cos {{55}^{o}}$
$=\cos ({{90}^{o}}-{{35}^{o}})$
$=\sin {{35}^{o}}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 12
Banyak siswa pria 10 orang dan siswa wanita 5 orang. Banyaknya cara untuk membentuk panitia yang beranggotakan 10 orang dan terdiri atas paling sedikit 2 orang wanita dan paling banyak 4 orang wanita yaitu …
A. 4800
B. 3150
C. 2700
D. 2300
E. 2250
Pembahasan:
Kemungkinan-kemungkinannya adalah:
2 wanita dan 8 laki-laki
$=C_{2}^{5}\times C_{8}^{10}=\frac{5!}{2!.3!}\times \frac{10!}{8!.2!}=450$
3 wanita dan 7 pria
$=C_{3}^{5}\times C_{7}^{10}=\frac{5!}{3!.2!}\times \frac{10!}{7!.3!}=1200$
4 wanita dan 6 pria
$=C_{4}^{5}\times C_{6}^{10}=\frac{5!}{4!.1!}\times \frac{10!}{6!.4!}=1050$
Seluruhnya = 450 + 1200 + 1050 = 2700
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 13
Diketahui $\vec{u}={{p}^{2}}\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$ dan $\vec{v}=p\vec{i}+p\vec{j}-5\vec{k}$ dengan $-2 < p < 2$. Nilai maksimum $\vec{u}.\vec{v}$ yaitu …
A. 8
B. 7
C. 5
D. 4
E. 3
Pembahasan:
$\vec{u}={{p}^{2}}\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$ dan $\vec{v}=p\vec{i}+p\vec{j}-5\vec{k}$
$\vec{u}.\vec{v}=\left( \begin{matrix} {{p}^{2}} \\ 3 \\ -1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} p \\ p \\ -5 \\ \end{matrix} \right)$
$\vec{u}.\vec{v}=-{{p}^{3}}+3p+5$
Agar maksimum maka $(\vec{u}.\vec{v})'=0$, maka:
$-3{{p}^{2}}+3=0$
${{p}^{2}}-1=0$
$(p+1)(p-1)=0$
$p=-1\vee p=1$
Substitusi ke: $\vec{u}.\vec{v}=-{{p}^{3}}+3p+5$
$p=-1\to \vec{u}.\vec{v}=-{{(-1)}^{3}}+3(-1)+5=3$
$p=1\to \vec{u}.\vec{v}=-{{1}^{3}}+3.1+5=7$
Jadi, nilai maksimum $\vec{u}.\vec{v}$ yaitu 7.
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 14
Persamaan bundar dengan sentra $(2,3)$ dan menyinggung garis $y=2x$ yaitu …
A. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+12=0$
B. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+49=0$
C. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+54=0$
D. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+60=0$
E. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+64=0$
Pembahasan:
$y=2x\Leftrightarrow 2x-y=0$
$r$ = Jarak titik sentra $(2,3)$ ke garis $2x-y=0$
$r=\left| \frac{2{{x}_{1}}-{{y}_{1}}}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}} \right|$
$r=\left| \frac{2.2-3}{\sqrt{4+1}} \right|$
$r=\frac{1}{\sqrt{5}}$
Persamaan garis singgung bundar dengan sentra $(2,3)$ dan jari-jari $r=\frac{1}{\sqrt{5}}$ adalah:
${{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}$
${{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}-6y+9=\frac{1}{5}$
$5{{x}^{2}}-20x+20+5{{y}^{2}}-30y+45=1$
$5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+64=0$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 15
Parabola $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ puncaknya $(p,q)$, dicerminkan terhadap garis $y=q$ menghasilkan parabola $y=k{{x}^{2}}+lx+m$. Nilai $a+b+c+k+l+m$ yaitu …
A. q
B. 2p
C. p
D. 2q
E. p + q
Pembahasan:
$(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=q$ bayangannya $(x,2q-y)=(x',y')$, maka substitusikan $x=x'$ dan $y=2q-y'$ ke $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, diperoleh:
$2q-y'=a{{(x')}^{2}}+b.x'+c$
$y=-a{{x}^{2}}-bx+2q-c$
$k{{x}^{2}}+lx+m\equiv -a{{x}^{2}}-bx+2q-c$
$k=-a$, $l=-b$, $m=2q-c$
Jadi, nilai
$a+b+c+k+l+m$
$=a+b+c-a-b+2q-c=2q$
$=2q$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 1
Diketahui vektor $\vec{u}=(a,-2,-1)$ dan $\vec{v}=(a,a,-1)$. Jika vektor $\vec{u}$ tegak lurus pada $\vec{v}$, maka nilai $a$ yaitu …
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3
Pembahasan:
Jika $\vec{u}\bot \vec{v}$ maka:
$\vec{u}.\vec{v}=0$
$\left( \begin{matrix} a \\ -2 \\ -1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} a \\ a \\ -1 \\ \end{matrix} \right)=0$
${{a}^{2}}-2a+1=0$
$(a-1)(a-1)=0$
$a=1$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 2
Pernyataan berikut yang benar yaitu …
A. Jika sin x = sin y, maka x = y
B. Untuk setiap vektor $\vec{u}$, $\vec{v}$, dan $\vec{w}$ berlaku $\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w})=(\vec{u}.\vec{v}).\vec{w}$
C. Jika $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=0$ maka $f(x)=0$
D. Ada fungsi $f$ sehingga $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)\ne f(c)$ untuk suatu c.
E. $1-\cos 2x=2{{\cos }^{2}}x$
Pembahasan:
A salah, contoh: $\sin {{30}^{o}}=\sin {{150}^{o}}$, ${{30}^{o}}\ne {{150}^{o}}$
B salah, $\vec{u}.(\vec{v}.\vec{w})\ne (\vec{u}.\vec{v}).\vec{w}$
C salah, $\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)$, jadi $f(x)$ tidak selalu nol.
D benar, alasannya yaitu walaupun f(x) jikalau dimasukkan c jadinya menjadi $\infty $, apabila kita kerjakan dengan limit sanggup jadi jadinya bilangan real.
E salah,
$1-\cos 2x=1-(2{{\cos }^{2}}x-1)$
$1-\cos 2x=2-2{{\cos }^{2}}x$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 3
Luas tempat di bawah $y=-{{x}^{2}}+8x$, di atas $y=6x-24$, dan terletak di kuadran I yaitu …
A. $\int\limits_{0}^{4}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}+\int\limits_{4}^{6}{({{x}^{2}}-2x-24)dx}$
B. $\int\limits_{0}^{4}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}+\int\limits_{4}^{6}{(-{{x}^{2}}+2x+24)dx}$
C. $\int\limits_{0}^{6}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}+\int\limits_{6}^{8}{(-{{x}^{2}}+2x+24)dx}$
D. $\int\limits_{4}^{6}{(6x-24)dx}+\int\limits_{6}^{8}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}$
E. $\int\limits_{0}^{4}{(6x-24)dx}+\int\limits_{4}^{6}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
Luas yang diarsir:
= $\int\limits_{0}^{4}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}$ + $\int\limits_{4}^{6}{((-{{x}^{2}}+8x)-(6x-24))dx}$
= $\int\limits_{0}^{4}{(-{{x}^{2}}+8x)dx}+\int\limits_{4}^{6}{(-{{x}^{2}}+2x+24)dx}$
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 4
Jika $\sin x+\cos x=-\frac{1}{5}$ dan $\frac{3\pi }{4}\le x < \pi $, maka nilai $\sin 2x$ yaitu …
A. $\frac{-24}{25}$
B. $\frac{-7}{25}$
C. $\frac{7}{25}$
D. $\frac{8}{25}$
E. $\frac{24}{25}$
Pembahasan:
$\sin x+\cos x=-\frac{1}{5}$
Kuadratkan kedua ruas
${{\left( \sin x+\cos x \right)}^{2}}={{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{2}}$
${{\sin }^{2}}x+2\sin x.\cos x+{{\cos }^{2}}x=\frac{1}{25}$
${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x+2\sin x.\cos x=\frac{1}{25}$
$1+\sin 2x=\frac{1}{25}$
$\sin 2x=\frac{1}{25}-1=\frac{-24}{25}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 5
Kedua akar suku banyak $S(x)={{x}^{2}}-63x+c$ merupakan bilangan prima. Banyak nilai $c$ yang mungkin yaitu ….
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. lebih dari 3
Pembahasan:
$S(x)={{x}^{2}}-63x+c$, akar-akarnya ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ maka:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=63$ alasannya yaitu ${{x}_{1}}$ dan ${{x}_{2}}$ bilangan prima, maka yang memungkinkan yaitu ${{x}_{1}}=2$ dan ${{x}_{2}}=61$.
${{x}_{1}}.{{x}_{2}}=c\Leftrightarrow c=2.61=122$.
Banyak nilai $c$ yang memungkinkan yaitu 1.
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 6
Diketahui segilima ABCDE, dengan $A(0,2)$, $B(4,0)$, $C(2\pi +1,0)$, $D(2\pi +1,4)$, dan $E(0,4)$. Titik P dipilih secara acak dari titik di dalam segilima tersebut. Peluang sudut APB berukuran tumpul yaitu …
A. $\frac{3}{8}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{5}{16}$
E. $\frac{5}{8}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut ini!
$AB=\sqrt{{{4}^{2}}+{{2}^{2}}}=2\sqrt{5}$
${{L}_{1}}$ = Luas setengah bundar dengan diameter AB
${{L}_{1}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\pi {{d}^{2}}$
$=\frac{1}{8}\pi {{(2\sqrt{5})}^{2}}$
${{L}_{1}}=\frac{5}{2}\pi $
${{L}_{2}}$ = Luas tempat ABCDE
= Luas OCDE – Luas OAB
$=4(2\pi +1)-\frac{1}{2}.4.2$
${{L}_{2}}$ $=8\pi $
Peluang sudut APB tumbul adalah:
$=\frac{{{L}_{1}}}{{{L}_{2}}}=\frac{\frac{5}{2}\pi }{8\pi }=\frac{5}{16}$
Jawaban: D
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 7
Diketahui limas T.ABC dengan TA tegak lurus bidang ABC. Panjang rusuk AB, AC, BC dan TA berturut-turut yaitu 3 cm, 4 cm, 5 cm, dan$\frac{9}{5}$ cm. Jika $\varphi $ sudut antara bidang BCT dengan bidang ABC, maka nilai $\cos \varphi $ yaitu …
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{6}{25}$
D. $\frac{9}{25}$
E. $\frac{12}{25}$
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
Luas segitiga ABC:
$\frac{1}{2}.AD.BC=\frac{1}{2}.AB.AC$
$AD=\frac{AB.AC}{BC}$
$AD=\frac{3.4}{5}=\frac{12}{5}$
Perhatikan segitiga TAD siku-siku di A, maka:
$TD=\sqrt{A{{D}^{2}}+A{{T}^{2}}}$
$TD=\sqrt{{{\left( \frac{12}{5} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{9}{5} \right)}^{2}}}=\frac{15}{5}$
$\cos \alpha =\frac{AE}{TE}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{15}{5}}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 8
Kolam renang berbentuk adonan persegi panjang dan setengah bundar menyerupai gambar di atas. Keliling bak renang sama dengan $a$ satuan panjang. Agar luas bak renang maksimum, maka $x$ = … satuan panjang.
A. $\frac{2a}{\pi }$
B. $\frac{a}{\pi }$
C. $\frac{a}{4+\pi }$
D. $\frac{a}{4+2\pi }$
E. $\frac{2a}{4+\pi }$
Pembahasan:
Keliling = $a$
$x+2y+\frac{1}{2}\pi x=a$
$\left( 1+\frac{1}{2}\pi \right)x+2y=a$
$2y=a-\left( 1+\frac{1}{2}\pi \right)x$
$y=\frac{1}{2}a-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi \right)x$
Luas = Luas persegi panjang + Luas setengah lingkaran
$L=x.y+\frac{1}{2}.\frac{1}{4}\pi {{x}^{2}}$
$L=x\left( \frac{1}{2}a-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi \right)x \right)+\frac{1}{8}\pi {{x}^{2}}$
$L=\frac{1}{2}ax-\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\pi \right){{x}^{2}}+\frac{1}{8}\pi {{x}^{2}}$
$L=\frac{1}{2}ax+\left( -\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{8}\pi \right){{x}^{2}}$
$L=\frac{1}{2}ax+\left( -\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\pi \right){{x}^{2}}$
Agar luas maksimum, maka L’ = 0
$\frac{1}{2}a+\left( -1-\frac{1}{4}\pi \right)x=0$
$\frac{1}{2}a=\left( \frac{4+\pi }{4} \right)x$
$2a=\left( 4+\pi \right)x$
$x=\frac{2a}{4+\pi }$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 9
Diberikan $f(x)=a+bx$ dan $F(x)$ yaitu anti turunan $f(x)$. Jika $F(1)-F(0)=3$ maka $2a+b$ yaitu …
A. 10
B. 6
C. 5
D. 4
E. 3
Pembahasan:
$f(x)=a+bx$
$\int\limits_{0}^{1}{f(x)}dx=F(1)-F(0)$
$\int\limits_{0}^{1}{(a+bx)}dx=3$
$(\left. ax+\frac{1}{2}b{{x}^{2}}) \right|_{0}^{1}=3$
$(a.1+\frac{1}{2}b{{.1}^{2}})-(a.0+\frac{1}{2}b{{.0}^{2}})=3$
$a+\frac{1}{2}b=3$ } kedua ruas dikali 2
$2a+b=6$
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 10
Jika $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}=\frac{1}{2}$, maka nilai $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$ yaitu …
A. -4
B. -2
C. -1
D. 2
E. 4
Pembahasan:
$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{\sqrt{1-x}-1}\times \frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)(\sqrt{1-x}+1)}{(1-x)-1}$
$=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{-x}\times (\sqrt{1-x}+1)$
$=-\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{x}\times (\sqrt{1-x}+1)$
$=-\frac{1}{2}\times (\sqrt{1-0}+1)$
$=-1$
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 11
$\cos {{35}^{o}}.\cos {{20}^{o}}-\sin {{35}^{o}}.\sin {{20}^{o}}$ = …
A. $\sin {{35}^{o}}$
B. $\sin {{55}^{o}}$
C. $\cos {{35}^{o}}$
D. $\cos {{15}^{o}}$
E. $\sin {{15}^{o}}$
Pembahasan:
$\cos {{35}^{o}}.\cos {{20}^{o}}-\sin {{35}^{o}}.\sin {{20}^{o}}$
$=\cos ({{35}^{o}}+{{20}^{o}})$
$=\cos {{55}^{o}}$
$=\cos ({{90}^{o}}-{{35}^{o}})$
$=\sin {{35}^{o}}$
Jawaban: A
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 12
Banyak siswa pria 10 orang dan siswa wanita 5 orang. Banyaknya cara untuk membentuk panitia yang beranggotakan 10 orang dan terdiri atas paling sedikit 2 orang wanita dan paling banyak 4 orang wanita yaitu …
A. 4800
B. 3150
C. 2700
D. 2300
E. 2250
Pembahasan:
Kemungkinan-kemungkinannya adalah:
2 wanita dan 8 laki-laki
$=C_{2}^{5}\times C_{8}^{10}=\frac{5!}{2!.3!}\times \frac{10!}{8!.2!}=450$
3 wanita dan 7 pria
$=C_{3}^{5}\times C_{7}^{10}=\frac{5!}{3!.2!}\times \frac{10!}{7!.3!}=1200$
4 wanita dan 6 pria
$=C_{4}^{5}\times C_{6}^{10}=\frac{5!}{4!.1!}\times \frac{10!}{6!.4!}=1050$
Seluruhnya = 450 + 1200 + 1050 = 2700
Jawaban: C
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 13
Diketahui $\vec{u}={{p}^{2}}\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$ dan $\vec{v}=p\vec{i}+p\vec{j}-5\vec{k}$ dengan $-2 < p < 2$. Nilai maksimum $\vec{u}.\vec{v}$ yaitu …
A. 8
B. 7
C. 5
D. 4
E. 3
Pembahasan:
$\vec{u}={{p}^{2}}\vec{i}+3\vec{j}-\vec{k}$ dan $\vec{v}=p\vec{i}+p\vec{j}-5\vec{k}$
$\vec{u}.\vec{v}=\left( \begin{matrix} {{p}^{2}} \\ 3 \\ -1 \\ \end{matrix} \right).\left( \begin{matrix} p \\ p \\ -5 \\ \end{matrix} \right)$
$\vec{u}.\vec{v}=-{{p}^{3}}+3p+5$
Agar maksimum maka $(\vec{u}.\vec{v})'=0$, maka:
$-3{{p}^{2}}+3=0$
${{p}^{2}}-1=0$
$(p+1)(p-1)=0$
$p=-1\vee p=1$
Substitusi ke: $\vec{u}.\vec{v}=-{{p}^{3}}+3p+5$
$p=-1\to \vec{u}.\vec{v}=-{{(-1)}^{3}}+3(-1)+5=3$
$p=1\to \vec{u}.\vec{v}=-{{1}^{3}}+3.1+5=7$
Jadi, nilai maksimum $\vec{u}.\vec{v}$ yaitu 7.
Jawaban: B
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 14
Persamaan bundar dengan sentra $(2,3)$ dan menyinggung garis $y=2x$ yaitu …
A. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+12=0$
B. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+49=0$
C. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+54=0$
D. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+60=0$
E. $5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+64=0$
Pembahasan:
$y=2x\Leftrightarrow 2x-y=0$
$r$ = Jarak titik sentra $(2,3)$ ke garis $2x-y=0$
$r=\left| \frac{2{{x}_{1}}-{{y}_{1}}}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}} \right|$
$r=\left| \frac{2.2-3}{\sqrt{4+1}} \right|$
$r=\frac{1}{\sqrt{5}}$
Persamaan garis singgung bundar dengan sentra $(2,3)$ dan jari-jari $r=\frac{1}{\sqrt{5}}$ adalah:
${{(x-2)}^{2}}+{{(y-3)}^{2}}={{\left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)}^{2}}$
${{x}^{2}}-4x+4+{{y}^{2}}-6y+9=\frac{1}{5}$
$5{{x}^{2}}-20x+20+5{{y}^{2}}-30y+45=1$
$5{{x}^{2}}+5{{y}^{2}}-20x-30y+64=0$
Jawaban: E
Matematika IPA SBMPTN 2011 No. 15
Parabola $y=a{{x}^{2}}+bx+c$ puncaknya $(p,q)$, dicerminkan terhadap garis $y=q$ menghasilkan parabola $y=k{{x}^{2}}+lx+m$. Nilai $a+b+c+k+l+m$ yaitu …
A. q
B. 2p
C. p
D. 2q
E. p + q
Pembahasan:
$(x,y)$ dicerminkan terhadap garis $y=q$ bayangannya $(x,2q-y)=(x',y')$, maka substitusikan $x=x'$ dan $y=2q-y'$ ke $y=a{{x}^{2}}+bx+c$, diperoleh:
$2q-y'=a{{(x')}^{2}}+b.x'+c$
$y=-a{{x}^{2}}-bx+2q-c$
$k{{x}^{2}}+lx+m\equiv -a{{x}^{2}}-bx+2q-c$
$k=-a$, $l=-b$, $m=2q-c$
Jadi, nilai
$a+b+c+k+l+m$
$=a+b+c-a-b+2q-c=2q$
$=2q$
Jawaban: D
Artikel Terkait: |